◆qzc◆的个人资料

7672 等角共轭点已知P、Q是△ABC的一对等角共轭点，P关于△ABC的垂足三角形为△PaPbPc R为P关于△PaPbPc的等角共轭点，T∈⊙(PaPbPc)，且PaT⊥PaR 设垂直BC的直线交⊙(AQ)、⊙(PaPbPc)于D、E、F、G四点 U、V满足PU∥QD，RU∥TG，PV∥QE，RV∥TF 证明：U、V为△PaPbPc的一对等角共轭点且△PaVR∼△PaPU

7477 三角形透视设Κ为△ABC的一条外接主等角三次曲线，P、Q在Κ上。设AP、BP、CP分别和Κ再次交于第三点D、E、F，点U、V、W分别满足BU⊥BD，CU⊥CD，CV⊥CE，AV⊥AE，AW⊥AF，BW⊥BF。△XYZ是Q关于△ABC的逆垂足三角形。证明：UX、VY、WZ三线共点

如图，△ABC中，AP、BP、CP分别交对边于D、E、F。S、T为ABCP的QA-Cu1上两点，⊙(TEF)、⊙(TFD)、⊙(TDE)分别再交ABCP的QA-Cu1于U、V、W。SU、SV、SW分别再交⊙(TEF)、⊙(TFD)、⊙(TDE)于点X、Y、Z。证明：X、Y、Z、T四点共圆

6938 nice but easy(own) 证明：对于非退化bicircular quartic curve，存在且仅存在四个圆，使得这条四次曲线关于它们自反演。进一步，这四个圆构成某个垂心组的四个极圆。

6772 正交截线反演设H、G分别为△ABC的垂心、重心，I为BC上一点，D为AI中点，E、F分别在直线BD、CD上且AD∥BE∥CF。设O'、H'分别为△DEF的外心、垂心，U、V分别为AD方向、O'H垂向的等角共轭点，H"为H'关于△ABC的反补。 P、Q为△ABC的一对等角共轭点，满足PH⊥AD且Q、U、V共线。c为以P为圆心且和△ABC的极圆正交的圆，X、Y为c的一对反演点。证明：X的正交截线经过H"当且仅当Y的正交截线经过H"

如图，△ABC的内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于D、E、F，DE、DF分别交AC、AB于F*、E*。E'、F'分别为E、F关于⊙I的对径点，M、N分别为⊙(ABC)上弧AC、AB的中点，T=F'N∩E'M，过T作IE'、IF'的平行线分别交E*E'、F*F'于V、W，L为VW的中点。证明：TL⊥BC

6415 四点形九点圆心如图，设四点形ABCD，N_A,H_A分别为△BCD的九点圆心,垂心，A'为A关于△BCD的等角共轭点，A"为A关于N_A的对称点，M_A在射线A"A'上，且A"M_A·A"A'=A"H_A²。类似定义M_B,M_C,M_D。证明：A为△M_BM_CM_D的九点圆心。

107 singular focus 如图，Γ为一条circular cubic，T是Γ的渐近线和Γ的交点，F是平面内一点，使得F对Γ的polar conic为圆。证明： (i)若TF交Γ于另外两点X,Y，则F是XY的中点； (ii)直线TF和T的polar conic的一条渐近线垂直。

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6310 等度共轭设f为△ABC的一个等度共轭。H为△ABC的垂心，Y,Z分别在BH,CH上，且HfH,YfY,ZfZ共点。P是平面内任意一点，P*=fP，YP,ZP分别交AC,AB于点E,F。过P作PPb⊥AC,PPc⊥AB分别交BE,CF于点Pb,Pc。证明：AP*⊥PbPc

6299 反塞瓦三角形，透视。如图，设△ABC，△XYZ对应边交于点D,E,F。AD,BE,CF共点G，XD,YE,ZF共点I。对平面内一点P，设P关于△XYZ的反塞瓦三角形为△P¹P²P³。证明：若AP¹,BP²,CP³共点，则这点在过A,B,C,G,I的二次曲线上或一条定直线上。

如图，蓝色曲线是以M为Miquel点的巨龙曲线，O为其上任意一点，蓝色曲线在以O为中心的反演下变为红色曲线。证明：（1）红色曲线是一条巨龙曲线，设其Miquel点为M' （2）设MX,MY;MX'MY'分别为蓝色曲线和红色曲线的实切线，X,Y,X',Y'为切点，则∠XMY=∠X'M'Y'。

6119 垂极点发现自己12级了，发个Easy but Nice 证明:对平面内每一点P，有且仅有三条实直线l使P是l关于给定三角形的垂极点，并且这三条直线围成的三角形和给定三角形有相同的外接圆。

5997 水一贴如图，设固定的绿色大圆的黑色弦为红色定椭圆的切线，黄色的圆经过弦的两个端点且与固定的绿色小圆正交。证明:当切线变动时，黄色圆的圆心在定圆锥曲线上。

106 Hagge圆反演 QA-Cu1(own) 设Q为平面上一点，I_Q为Q关于Q关于△ABC的Hagge圆的反演点，E为X_{3448}关于I_QX_{265}垂直平分线的对称点。证明：Q关于四点形ABCE的QA-Cu1的极锥线(polar conic)为等轴双曲线。

5961 K003 Hagge圆反演(own) 已知O,H分别为△ABC的外心，垂心。设g,c,a分别为关于△ABC的等角共轭，补和反补。对平面一点E，设I_E为点E关于⊙(HagE)的反演点，I_{gcE}为点gcE关于⊙(HE)的反演点。X_{265}为O关于△ABC的反角共轭点，X_{3448}为H关于X_{265}的对称点。O'为⊙(I_E,I_{gcE},X_{265})的圆心。证明：O'E=O'X_{3448}当且仅当E,O,gE共线。

已知O,H,X_{265}分别为△ABC的外心、垂心、外心的反角共轭点。Q为直线OH上一点，P是Q关于△ABC的等角共轭点，S是P关于△ABC的补点，R是S关于△ABC的等角共轭点。L是HP中点证明：∠(OH,PR)=∠LX_{265}H.

给定平面上8点P_i(i=1,...,8)，每四点不共线且每七点不共二次曲线（i）已知过P_i(i=1,...,8)的三次曲线经过第九个定点P_9.证明：P_9是可以尺规作图的并给出一种构造；（ii）若P_9使得过P_i(i=1,...,9)的三次曲线唯一。设P是任意直线上一个动点，证明存在一个尺规作图P→f(P)，使得当P在直线上运动时，f(P)遍历这条三次曲线的一个稠密子集，并给出构造。

5910 三次曲线的作图问题给定平面上8点P_i(i=1,...,8)，每四点不共线且每七点不共二次曲线（i）已知过P_i(i=1,...,8)的三次曲线经过第九个定点P_9.证明：P_9是可以尺规作图的并给出一种构造. （ii）若P_9使得过P_i(i=1,...,9)的三次曲线唯一。设P是任意直线上一个动点，证明存在一个尺规作图P→f(P)，使得当P在直线上运动时，f(P)遍历这条三次曲线的一个稠密子集，并给出构造。

已知O,H分别为△ABC的外心、垂心。R,S为△ABC的一对等角共轭点，P为S关于△ABC的补点，U为OS方向无穷远点关于△ABC的等角共轭点，Q为P关于⊙(OR)的反演。证明：△RPH和△ROU逆相似

5885 发个简单题设点P在AC,AB上投影分别为E,F，Y,Z分别在PE,PF上，点Q满足PQ⊥BC且AQ⊥YZ。证明：Q在⊙(CEY),⊙(BFZ)的根轴上

设a,b,c分别为△ABC中A,B,C的对边，V为平面上一点,过V作三条直线v_a,v_b,v_c，使得过A,B,C分别作v_a,v_b,v_c的平行线共点.对i,j∈{a,b,c}，记V_{ij}为直线v_i和直线j的交点。设V_A为过V_{cb}作v_c的垂线和过V_{bc}作v_b的垂线的交点，V_a为过V_{ca}作v_c的垂线和过V_{ba}作v_b的垂线的交点，循环定义V_B,V_C,V_b,V_c, 证明： (i)V,V_a,V_b,V_c,V_A,V_B,V_C共二次曲线. (ii)设平面上一点P在直线v_a,v_b,v_c上的投影分别为X,Y,Z，则AX,BY,CZ共点当且仅当P在(i)中的二次曲线上.

已知G是△ABC的重心，R是Q关于△ABC的等截共轭点，S在直线RG上且RG=2GS.O_A,O_B,O_C分别是△BQC,△CQA,△AQB的外心.设X为有限平面上一点,τ_X为X关于△ABC的三线性极线. 证明：过O_A,O_B,O_C分别作AX,BX,CX的垂线共点当且仅当τ_X经过点S.

设△PaPbPc是点P关于△ABC的垂足三角形，满足△PaPbPc和△ABC不透视. 证明：存在唯一一点Q，使得对Q关于△ABC的垂足三角形△QaQbQc，有⊙(APaQa),⊙(BPbQa),⊙(CPcQa);⊙(APaQb),⊙(BPbQb),⊙(CPcQb);⊙(APaQc),⊙(BPbQc),⊙(CPcQc)分别共轴.

已知G,H,Ni,E分别为△ABC的重心,垂心,九点圆心,欧拉反射点.P在GH上的投影是Ni.设Q是P关于△ABC的等角共轭点,R是直线EQ和⊙(ABC)另一个交点,直线GQ交△ABC的Kiepert双曲线于另一点S. 证明：RS经过一个定点.

5759 冒个泡已知P、Q为△ABC的一对等角共轭点,R、S分别在BP、CP上且△BAR∼△ACS(顺相似). Q_a为Q在BC上投影，G为△QRS的重心证明：G是AQ_a靠近Q_a的三等分点.

5528 七夕快乐设P,Q是△ABC的一对等角共轭点,L是PQ中点.H,Ni分别是△ABC的垂心,九点圆心.R是P关于△ABC的反角共轭点. 证明：LNi∥PR当且仅当P,Q,H共线.

如图,已知△ABC,直线AP,CP分别交BC,AB于D,F. L,N分别为AC,DF的中点. 三角形APF,CPD的外接圆交于点P,M. 过C作LN的平行线交AM于点J. P关于AC的对称点是P'. 证明:A,B,J,P'四点共圆.

5458 等角共轭点连线垂直设P,Q;R,S是△ABC的两对等角共轭点,PQ∩RS=T,U为T关于△ABC的等角共轭点.L,M,N分别为PQ,RS,TU的中点. 证明：若PQ⊥RS ,则 L,M,N共线.

5280 K003 (own) 已知P关于BC、CA、AB的对称点分别为Pa、Pb、Pc，P关于PbPc、PcPa、PaPb的对称点分别为D、E、F 设⊙(APa)，⊙(BPb)，⊙(CPc)的根心为X，⊙(PaD)，⊙(PbE)，⊙(PcF)的根心为Y，O、Q分别为△ABC、△PaPbPc的外心证明：O、P、Q共线 ⇔ P、X、Y共线

弄个简单题设AD∥BE∥CF，D∈BC,E∈CA,F∈AB，X,Y,Z分别为AD,BE,CF中点证明：AD方向无穷远点关于△XYZ的等角共轭点M在△ABC反补三角形的外接圆上

设△DEF为点P关于△ABC的外接塞瓦三角形，N、N'分别是△ABC、△DEF的九点圆圆心 Q、R分别为P关于△ABC、△DEF的等角共轭点，L、L'分别为PQ、PR的中点证明：∠QLN=∠PL'N'

5235 四线共点(own) 设O,H分别是△ABC的外心、垂心。平面上一点P关于直线BC,CA,AB的对称点分别为Pa,Pb,Pc.设三条互相平行的直线OaXD,ObYE,OcZF，其中X,Y,Z分别在直线AH,BH,CH上，D,E,F分别在直线BC,CA,AB上. 证明： (1)D,E,F共线 (2)PaX,PbY,PcE共点当且仅当P在AB,BC,CA,DEF的QL-Cu1上,并且所共点T满足PT∥XD∥YE∥ZF.

已知O,N是△ABC的外心、九点圆心，P,Q是一对等角共轭点，R是P的反角共轭点，△QaQbQc是Q关于△ABC的垂足三角形，H_Q为△QaQbQc的垂心，M是PQ的中点证明：若P,O,R共线，则MN平行QH_Q

可能不难已知H,N是△ABC的垂心,九点圆心，P,Q;P'Q'是两对等角共轭点，使得点Q不在AH上且P,P'关于BC中垂线对称，H'是H关于BC中垂线的对称点，L,L'分别是PQ,P'Q'的中点. 证明：NL∥H'P⇔NL'∥H'P'，且此时△H'P'P∽△NLM

设O,H,V是△ABC的外心,垂心,外心的反角共轭点.点P在直线OH上,Q是P关于△ABC的等角共轭点,过Q且和OH相切于点H的圆和直线QV交于点Q,R.X在直线QR上,S,Y分别是R,X关于△ABC的等角共轭点. 证明：O,Y,S共线当且仅当XO=XH.

已知O,H,W是△AC的外心，垂心，外心的反角共轭点.Ha是AH和BC的交点，OHa和过W作AW的垂线交于点X，三角形AWX的外接圆交BC于U,V两点.D,E在过A且垂直OA的直线上，且∠HOD=∠HWU,∠HOE=∠HWV(有向角). 证明：B,C,D,E共圆

已知O,H是三角形ABC的外心,垂心，Oa,Ob,Oc分别是I关于BC,CA,AB的对称点.设一条不经过X265的直线交⊙OaBC于点A_1,A_2.OaA_1,OaA_2分别交BC于X_1,X_2.类似定义Y_1,Y_2,Z_1,Z_2. 证明:(i)X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2,O共二次曲线. (ii)若点P,Q使得OP=HP,OQ=HQ,OP⊥OQ.则Q关于(i)中二次曲线的极线经过P.

已知O,N是三角形ABC的外心,九点圆心，R,S是三角形ABC的一对等角共轭点.R'是R关于N的对称点U'在射线SR'上且OS^2=SR'·SU'，U是U'关于N的对称点.Oa是O关于BC的对称点.OaU∩BC=D,K是RD方向无穷远点的等角共轭点，KU'∩BC=E. 证明:∠CDR=∠U'EB

已知O,N,K分别为△ABC的外心,九点圆心,Kosnita点(N的等角共轭).V是O的反角共轭点.射线NK交△ABC的外接圆于L，N',K'分别为N,K关于直线BC的对称点，D=LK'∩VN'. 证明：AD⊥BC

5072 等度共轭(own) 已知f为一个等度共轭，设U,U*;Q,Q*为f的任意两对对对应点，QQ*∩UU*=T，直线QQ*交过U,Q*的外接二次曲线于点Q*,R，AR∩BC=D，QD∩AU=E，AU∩BC=U_1. 证明：当f,U给定时比值(U*T·EU_1)/(TU·AE)为定值

102 等度共轭(own) 此经验要留到11级水已知f为一个等度共轭，设U,U*;Q,Q*为f的任意两对对对应点，QQ*∩UU*=T，直线QQ*交过U,Q*的外接二次曲线于点Q*,R，AR∩BC=D，QD∩AU=E，AU∩BC=U_1. 证明：当f,U给定时比值(U*T·EU_1)/(TU·AE)为定值

在三角形ABC中，N,H为九点圆心，垂心，P,Q为一对等角共轭点，且P,Q,N共线，设Pa为点P关于BC的对称点，X为点Pa关于点P的对称点，R为点Q关于N的对称点，S在射线RP上，且RS·RP=RH² 证明：A,X,S共线

97 给吧友出一个小问题证明：给定一点S（≠X265），则唯一存在点P，使S是P关于P的Hagge圆的反演点

4910(Own) 在三角形ABC中，P,Q为一对等角共轭点，O,H为外心，垂心，点R满足QHOR为平行四边形，点T满足△RPH∽△RHT，E是Euler反射点，点V满足OHEV平行四边形，作PD⊥OH于点D，直线ED交直线VH于点F 证明：△FTV∽△PDO

在三角形ABC中，PaPbPc、XYZ分别是点P关于三角形ABC的垂足三角形、反塞瓦三角形，若PaPbPc与XYZ透视于点Q 证明：PQ⊥Q关于三角形ABC的三线性极线

在三角形ABC中，Q是任意一点，K是陪位重心，以Q为中心的内切二次曲线切BC,CA,AB于点D,E,F，设H是三角形DEF的垂心，J是H关于三角形ABC的等角共轭点的等截补点，P是点Q关于三角形ABC的等角共轭点证明：J,P,K共线

在三角形ABC中，O,H,K分别是外心，垂心，陪位重心，设OK交边BC于点X，直线AX交圆ABC于另一点D，圆AOD交直线OH于点O,E，O'是O关于BC的对称点，直线O'E交圆AOD于点P 证明：E是PO'的中点

好久没来了在三角形ABC中，P,R为一对反角共轭点，O为外心，且P,R,O共线，设Q是P关于三角形ABC的等角共轭点，Q_AQ_BQ_C为点Q关于三角形ABC的外接塞瓦三角形，H_aH_bH_c为三角形ABC的垂三角形证明：三角形H_aH_bH_c和三角形Q_AQ_BQ_C正交

在三角形ABC中，G,H是重心,垂心，点P在直线GH上，Q是P的等角共轭点，R在射线QG上且QG=2GR，点D,E分别在边AC,AB上且BP⊥PD，CP⊥PE 证明：PR⊥DE

4844 nice but cubic(own) Property of Grebe cubicK102 在三角形ABC中，K为陪位重心，X_76为第三布洛卡点，g,t,c为等角共轭、等距共轭、补证明：P,K,gP共线等价于X_76,cP,tP共线

4836 nice but quintic(own) 已知P,Q是三角形ABC的一对等角共轭点，Q_aQ_bQ_c为点Q关于三角形ABC的垂足三角形，R为Q关于三角形Q_aQ_bQ_c的等角共轭点，epsilon_Q为三角形Q_aQ_bQ_c的欧拉线，QR交epsilon_Q于点T，设O,K为三角形ABC的外心,陪位重心，Q/P为塞瓦商证明：Q/P,O,P共线等价于T,K,P共线

4835 小清新

4715 联赛难度(own) 已知A是BC中点，D为直线外一点，G为ACD重心，HI为以BC为直径的圆Γ的弦且HI垂直DB，L,M分别为直线BH,BI上的点且LGM共线，K在Γ上且GH垂直KH，直线BK交直线DL于点N，证明:MN平分线段AC

4627逆垂足三角形(own) 已知O、K、H分别是△ABC的外心、陪位重心、垂心，直线OK交直线BC于点T，点U在直线OH上且A[O，H；U，T]=-1；△XYZ是U关于△ABC的逆垂足三角形，E、F分别在直线AC、AB上且AE=EB、AF=FC，直线YF交EZ于点Q，直线XQ交BC的中垂线于点D 证明：∠TAB=∠CAD

4626 等角共轭点的一个小性质(own) 已知三角形ABC的一对等角共轭点P,Q，点X,Y满足∠PBX=∠PCX=∠QBY=∠QCY=90°；过X,Y分别作AP,AQ的平行线交于点R 证明：AR经过PQ的中点