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啦啦啦啦啦qwe8
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9287 Hagge圆反演和三圆根心 如图。
110 poncelet闭合 如图,△ABC内接于定锥线Γ且外切于定锥线。 证明: i.Γ关于△ABC的等角像包络一个定锥线 ii.设切点为T,T关于△ABC的等角共轭点为S,D为⊙(ABC)和Γ的第四交点,则直线SD过一定点
8557 poncelet闭合 如图,△ABC内接于定锥线Γ且外切于定锥线。 证明: i.Γ关于△ABC的等角像包络一个定锥线 ii.设切点为T,T关于△ABC的等角共轭点为S,D为⊙(ABC)和Γ的第四交点,则直线SD过一定点
7717 塔克圆 设O,K是△ABC的外心、陪位重心,K'在OK上且OK=2KK'.P在OK上,l是以P为圆心的塔克圆和外接圆的根轴,m是△ABC的莱莫恩轴。 证明:K'P/K'O=d(K,l)/d(K,m)
7672 等角共轭点 已知P、Q是△ABC的一对等角共轭点,P关于△ABC的垂足三角形为△PaPbPc R为P关于△PaPbPc的等角共轭点,T∈⊙(PaPbPc),且PaT⊥PaR 设垂直BC的直线交⊙(AQ)、⊙(PaPbPc)于D、E、F、G四点 U、V满足PU∥QD,RU∥TG,PV∥QE,RV∥TF 证明:U、V为△PaPbPc的一对等角共轭点且△PaVR∼△PaPU
7477 三角形透视 设Κ为△ABC的一条外接主等角三次曲线,P、Q在Κ上。设AP、BP、CP分别和Κ再次交于第三点D、E、F,点U、V、W分别满足BU⊥BD,CU⊥CD,CV⊥CE,AV⊥AE,AW⊥AF,BW⊥BF。△XYZ是Q关于△ABC的逆垂足三角形。 证明:UX、VY、WZ三线共点
如图,△ABC中,AP、BP、CP分别交对边于D、E、F。S、T为ABCP的QA-Cu1上两点,⊙(TEF)、⊙(TFD)、⊙(TDE)分别再交ABCP的QA-Cu1于U、V、W。SU、SV、SW分别再交⊙(TEF)、⊙(TFD)、⊙(TDE)于点X、Y、Z。 证明:X、Y、Z、T四点共圆
6938 nice but easy(own) 证明:对于非退化bicircular quartic curve,存在且仅存在四个圆,使得这条四次曲线关于它们自反演。进一步,这四个圆构成某个垂心组的四个极圆。
6772 正交截线 反演 设H、G分别为△ABC的垂心、重心,I为BC上一点,D为AI中点,E、F分别在直线BD、CD上且AD∥BE∥CF。设O'、H'分别为△DEF的外心、垂心,U、V分别为AD方向、O'H垂向的等角共轭点,H"为H'关于△ABC的反补。 P、Q为△ABC的一对等角共轭点,满足PH⊥AD且Q、U、V共线。c为以P为圆心且和△ABC的极圆正交的圆,X、Y为c的一对反演点。 证明:X的正交截线经过H"当且仅当Y的正交截线经过H"
如图,△ABC的内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于D、E、F,DE、DF分别交AC、AB于F*、E*。E'、F'分别为E、F关于⊙I的对径点,M、N分别为⊙(ABC)上弧AC、AB的中点,T=F'N∩E'M,过T作IE'、IF'的平行线分别交E*E'、F*F'于V、W,L为VW的中点。 证明:TL⊥BC
6415 四点形 九点圆心 如图,设四点形ABCD,N_A,H_A分别为△BCD的九点圆心,垂心,A'为A关于△BCD的等角共轭点,A"为A关于N_A的对称点,M_A在射线A"A'上,且A"M_A·A"A'=A"H_A²。类似定义M_B,M_C,M_D。 证明:A为△M_BM_CM_D的九点圆心。
107 singular focus 如图,Γ为一条circular cubic,T是Γ的渐近线和Γ的交点,F是平面内一点,使得F对Γ的polar conic为圆。 证明: (i)若TF交Γ于另外两点X,Y,则F是XY的中点; (ii)直线TF和T的polar conic的一条渐近线垂直。
6318
6310 等度共轭 设f为△ABC的一个等度共轭。H为△ABC的垂心,Y,Z分别在BH,CH上,且HfH,YfY,ZfZ共点。P是平面内任意一点,P*=fP,YP,ZP分别交AC,AB于点E,F。过P作PPb⊥AC,PPc⊥AB分别交BE,CF于点Pb,Pc。 证明:AP*⊥PbPc
6299 反塞瓦三角形,透视。 如图,设△ABC,△XYZ对应边交于点D,E,F。AD,BE,CF共点G,XD,YE,ZF共点I。对平面内一点P,设P关于△XYZ的反塞瓦三角形为△P¹P²P³。 证明:若AP¹,BP²,CP³共点,则这点在过A,B,C,G,I的二次曲线上或一条定直线上。
如图,蓝色曲线是以M为Miquel点的巨龙曲线,O为其上任意一点,蓝色曲线在以O为中心的反演下变为红色曲线。 证明: (1)红色曲线是一条巨龙曲线,设其Miquel点为M' (2)设MX,MY;MX'MY'分别为蓝色曲线和红色曲线的实切线,X,Y,X',Y'为切点,则∠XMY=∠X'M'Y'。
6119 垂极点 发现自己12级了,发个Easy but Nice 证明:对平面内每一点P,有且仅有三条实直线l使P是l关于给定三角形的垂极点,并且这三条直线围成的三角形和给定三角形有相同的外接圆。
5997 水一贴 如图,设固定的绿色大圆的黑色弦为红色定椭圆的切线,黄色的圆经过弦的两个端点且与固定的绿色小圆正交。证明:当切线变动时,黄色圆的圆心在定圆锥曲线上。
106 Hagge圆反演 QA-Cu1(own) 设Q为平面上一点,I_Q为Q关于Q关于△ABC的Hagge圆的反演点,E为X_{3448}关于I_QX_{265}垂直平分线的对称点。 证明:Q关于四点形ABCE的QA-Cu1的极锥线(polar conic)为等轴双曲线。
5961 K003 Hagge圆反演(own) 已知O,H分别为△ABC的外心,垂心。设g,c,a分别为关于△ABC的等角共轭,补和反补。对平面一点E,设I_E为点E关于⊙(HagE)的反演点,I_{gcE}为点gcE关于⊙(HE)的反演点。X_{265}为O关于△ABC的反角共轭点,X_{3448}为H关于X_{265}的对称点。O'为⊙(I_E,I_{gcE},X_{265})的圆心。 证明:O'E=O'X_{3448}当且仅当E,O,gE共线。
已知O,H,X_{265}分别为△ABC的外心、垂心、外心的反角共轭点。Q为直线OH上一点,P是Q关于△ABC的等角共轭点,S是P关于△ABC的补点,R是S关于△ABC的等角共轭点。L是HP中点 证明:∠(OH,PR)=∠LX_{265}H.
给定平面上8点P_i(i=1,...,8),每四点不共线且每七点不共二次曲线 (i)已知过P_i(i=1,...,8)的三次曲线经过第九个定点P_9.证明:P_9是可以尺规作图的并给出一种构造; (ii)若P_9使得过P_i(i=1,...,9)的三次曲线唯一。设P是任意直线上一个动点,证明存在一个尺规作图P→f(P),使得当P在直线上运动时,f(P)遍历这条三次曲线的一个稠密子集,并给出构造。
5910 三次曲线的作图问题 给定平面上8点P_i(i=1,...,8),每四点不共线且每七点不共二次曲线 (i)已知过P_i(i=1,...,8)的三次曲线经过第九个定点P_9.证明:P_9是可以尺规作图的并给出一种构造. (ii)若P_9使得过P_i(i=1,...,9)的三次曲线唯一。设P是任意直线上一个动点,证明存在一个尺规作图P→f(P),使得当P在直线上运动时,f(P)遍历这条三次曲线的一个稠密子集,并给出构造。
已知O,H分别为△ABC的外心、垂心。R,S为△ABC的一对等角共轭点,P为S关于△ABC的补点,U为OS方向无穷远点关于△ABC的等角共轭点,Q为P关于⊙(OR)的反演。 证明:△RPH和△ROU逆相似
5885 发个简单题 设点P在AC,AB上投影分别为E,F,Y,Z分别在PE,PF上,点Q满足PQ⊥BC且AQ⊥YZ。 证明:Q在⊙(CEY),⊙(BFZ)的根轴上
设a,b,c分别为△ABC中A,B,C的对边,V为平面上一点,过V作三条直线v_a,v_b,v_c,使得过A,B,C分别作v_a,v_b,v_c的平行线共点.对i,j∈{a,b,c},记V_{ij}为直线v_i和直线j的交点。设V_A为过V_{cb}作v_c的垂线和过V_{bc}作v_b的垂线的交点,V_a为过V_{ca}作v_c的垂线和过V_{ba}作v_b的垂线的交点,循环定义V_B,V_C,V_b,V_c, 证明: (i)V,V_a,V_b,V_c,V_A,V_B,V_C共二次曲线. (ii)设平面上一点P在直线v_a,v_b,v_c上的投影分别为X,Y,Z,则AX,BY,CZ共点当且仅当P在(i)中的二次曲线上.
已知G是△ABC的重心,R是Q关于△ABC的等截共轭点,S在直线RG上且RG=2GS.O_A,O_B,O_C分别是△BQC,△CQA,△AQB的外心.设X为有限平面上一点,τ_X为X关于△ABC的三线性极线. 证明:过O_A,O_B,O_C分别作AX,BX,CX的垂线共点当且仅当τ_X经过点S.
设△PaPbPc是点P关于△ABC的垂足三角形,满足△PaPbPc和△ABC不透视. 证明:存在唯一一点Q,使得对Q关于△ABC的垂足三角形△QaQbQc,有⊙(APaQa),⊙(BPbQa),⊙(CPcQa);⊙(APaQb),⊙(BPbQb),⊙(CPcQb);⊙(APaQc),⊙(BPbQc),⊙(CPcQc)分别共轴.
已知G,H,Ni,E分别为△ABC的重心,垂心,九点圆心,欧拉反射点.P在GH上的投影是Ni.设Q是P关于△ABC的等角共轭点,R是直线EQ和⊙(ABC)另一个交点,直线GQ交△ABC的Kiepert双曲线于另一点S. 证明:RS经过一个定点.
5759 冒个泡 已知P、Q为△ABC的一对等角共轭点,R、S分别在BP、CP上且△BAR∼△ACS(顺相似). Q_a为Q在BC上投影,G为△QRS的重心 证明:G是AQ_a靠近Q_a的三等分点.
5528 七夕快乐 设P,Q是△ABC的一对等角共轭点,L是PQ中点.H,Ni分别是△ABC的垂心,九点圆心.R是P关于△ABC的反角共轭点. 证明:LNi∥PR当且仅当P,Q,H共线.
如图,已知△ABC,直线AP,CP分别交BC,AB于D,F. L,N分别为AC,DF的中点. 三角形APF,CPD的外接圆交于点P,M. 过C作LN的平行线交AM于点J. P关于AC的对称点是P'. 证明:A,B,J,P'四点共圆.
5458 等角共轭点连线垂直 设P,Q;R,S是△ABC的两对等角共轭点,PQ∩RS=T,U为T关于△ABC的等角共轭点.L,M,N分别为PQ,RS,TU的中点. 证明:若PQ⊥RS ,则 L,M,N共线.
5280 K003 (own) 已知P关于BC、CA、AB的对称点分别为Pa、Pb、Pc,P关于PbPc、PcPa、PaPb的对称点分别为D、E、F 设⊙(APa),⊙(BPb),⊙(CPc)的根心为X,⊙(PaD),⊙(PbE),⊙(PcF)的根心为Y,O、Q分别为△ABC、△PaPbPc的外心 证明:O、P、Q共线 ⇔ P、X、Y共线
弄个简单题 设AD∥BE∥CF,D∈BC,E∈CA,F∈AB,X,Y,Z分别为AD,BE,CF中点 证明:AD方向无穷远点关于△XYZ的等角共轭点M在△ABC反补三角形的外接圆上
设△DEF为点P关于△ABC的外接塞瓦三角形,N、N'分别是△ABC、△DEF的九点圆圆心 Q、R分别为P关于△ABC、△DEF的等角共轭点,L、L'分别为PQ、PR的中点 证明:∠QLN=∠PL'N'
5235 四线共点(own) 设O,H分别是△ABC的外心、垂心。平面上一点P关于直线BC,CA,AB的对称点分别为Pa,Pb,Pc.设三条互相平行的直线OaXD,ObYE,OcZF,其中X,Y,Z分别在直线AH,BH,CH上,D,E,F分别在直线BC,CA,AB上. 证明: (1)D,E,F共线 (2)PaX,PbY,PcE共点当且仅当P在AB,BC,CA,DEF的QL-Cu1上,并且所共点T满足PT∥XD∥YE∥ZF.
已知O,N是△ABC的外心、九点圆心,P,Q是一对等角共轭点,R是P的反角共轭点,△QaQbQc是Q关于△ABC的垂足三角形,H_Q为△QaQbQc的垂心,M是PQ的中点 证明:若P,O,R共线,则MN平行QH_Q
可能不难 已知H,N是△ABC的垂心,九点圆心,P,Q;P'Q'是两对等角共轭点,使得点Q不在AH上且P,P'关于BC中垂线对称,H'是H关于BC中垂线的对称点,L,L'分别是PQ,P'Q'的中点. 证明:NL∥H'P⇔NL'∥H'P',且此时△H'P'P∽△NLM
设O,H,V是△ABC的外心,垂心,外心的反角共轭点.点P在直线OH上,Q是P关于△ABC的等角共轭点,过Q且和OH相切于点H的圆和直线QV交于点Q,R.X在直线QR上,S,Y分别是R,X关于△ABC的等角共轭点. 证明:O,Y,S共线当且仅当XO=XH.
已知O,H,W是△AC的外心,垂心,外心的反角共轭点.Ha是AH和BC的交点,OHa和过W作AW的垂线交于点X,三角形AWX的外接圆交BC于U,V两点.D,E在过A且垂直OA的直线上,且∠HOD=∠HWU,∠HOE=∠HWV(有向角). 证明:B,C,D,E共圆
已知O,H是三角形ABC的外心,垂心,Oa,Ob,Oc分别是I关于BC,CA,AB的对称点.设一条不经过X265的直线交⊙OaBC于点A_1,A_2.OaA_1,OaA_2分别交BC于X_1,X_2.类似定义Y_1,Y_2,Z_1,Z_2. 证明:(i)X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2,O共二次曲线. (ii)若点P,Q使得OP=HP,OQ=HQ,OP⊥OQ.则Q关于(i)中二次曲线的极线经过P.
已知O,N是三角形ABC的外心,九点圆心,R,S是三角形ABC的一对等角共轭点.R'是R关于N的对称点U'在射线SR'上且OS^2=SR'·SU',U是U'关于N的对称点.Oa是O关于BC的对称点.OaU∩BC=D,K是RD方向无穷远点的等角共轭点,KU'∩BC=E. 证明:∠CDR=∠U'EB
已知O,N,K分别为△ABC的外心,九点圆心,Kosnita点(N的等角共轭).V是O的反角共轭点.射线NK交△ABC的外接圆于L,N',K'分别为N,K关于直线BC的对称点,D=LK'∩VN'. 证明:AD⊥BC
5072 等度共轭(own) 已知f为一个等度共轭,设U,U*;Q,Q*为f的任意两对对对应点,QQ*∩UU*=T,直线QQ*交过U,Q*的外接二次曲线于点Q*,R,AR∩BC=D,QD∩AU=E,AU∩BC=U_1. 证明:当f,U给定时比值(U*T·EU_1)/(TU·AE)为定值
102 等度共轭(own) 此经验要留到11级水 已知f为一个等度共轭,设U,U*;Q,Q*为f的任意两对对对应点,QQ*∩UU*=T,直线QQ*交过U,Q*的外接二次曲线于点Q*,R,AR∩BC=D,QD∩AU=E,AU∩BC=U_1. 证明:当f,U给定时比值(U*T·EU_1)/(TU·AE)为定值
在三角形ABC中,N,H为九点圆心,垂心,P,Q为一对等角共轭点,且P,Q,N共线,设Pa为点P关于BC的对称点,X为点Pa关于点P的对称点,R为点Q关于N的对称点,S在射线RP上,且RS·RP=RH² 证明:A,X,S共线
97 给吧友出一个小问题 证明:给定一点S(≠X265),则唯一存在点P,使S是P关于P的Hagge圆的反演点
4910(Own) 在三角形ABC中,P,Q为一对等角共轭点,O,H为外心,垂心,点R满足QHOR为平行四边形,点T满足△RPH∽△RHT,E是Euler反射点,点V满足OHEV平行四边形,作PD⊥OH于点D,直线ED交直线VH于点F 证明:△FTV∽△PDO
在三角形ABC中,PaPbPc、XYZ分别是点P关于三角形ABC的垂足三角形、反塞瓦三角形,若PaPbPc与XYZ透视于点Q 证明:PQ⊥Q关于三角形ABC的三线性极线
在三角形ABC中,Q是任意一点,K是陪位重心,以Q为中心的内切二次曲线切BC,CA,AB于点D,E,F,设H是三角形DEF的垂心,J是H关于三角形ABC的等角共轭点的等截补点,P是点Q关于三角形ABC的等角共轭点 证明:J,P,K共线
在三角形ABC中,O,H,K分别是外心,垂心,陪位重心,设OK交边BC于点X,直线AX交圆ABC于另一点D,圆AOD交直线OH于点O,E,O'是O关于BC的对称点,直线O'E交圆AOD于点P 证明:E是PO'的中点
好久没来了 在三角形ABC中,P,R为一对反角共轭点,O为外心,且P,R,O共线,设Q是P关于三角形ABC的等角共轭点,Q_AQ_BQ_C为点Q关于三角形ABC的外接塞瓦三角形,H_aH_bH_c为三角形ABC的垂三角形 证明:三角形H_aH_bH_c和三角形Q_AQ_BQ_C正交
在三角形ABC中,G,H是重心,垂心,点P在直线GH上,Q是P的等角共轭点,R在射线QG上且QG=2GR,点D,E分别在边AC,AB上且BP⊥PD,CP⊥PE 证明:PR⊥DE
4844 nice but cubic(own) Property of Grebe cubicK102 在三角形ABC中,K为陪位重心,X_76为第三布洛卡点,g,t,c为等角共轭、等距共轭、补 证明:P,K,gP共线等价于X_76,cP,tP共线
4836 nice but quintic(own) 已知P,Q是三角形ABC的一对等角共轭点,Q_aQ_bQ_c为点Q关于三角形ABC的垂足三角形,R为Q关于三角形Q_aQ_bQ_c的等角共轭点,epsilon_Q为三角形Q_aQ_bQ_c的欧拉线,QR交epsilon_Q于点T,设O,K为三角形ABC的外心,陪位重心,Q/P为塞瓦商 证明:Q/P,O,P共线等价于T,K,P共线
4835 小清新
4715 联赛难度(own) 已知A是BC中点,D为直线外一点,G为ACD重心,HI为以BC为直径的圆Γ的弦且HI垂直DB,L,M分别为直线BH,BI上的点且LGM共线,K在Γ上且GH垂直KH,直线BK交直线DL于点N,证明:MN平分线段AC
4627逆垂足三角形(own) 已知O、K、H分别是△ABC的外心、陪位重心、垂心,直线OK交直线BC于点T,点U在直线OH上且A[O,H;U,T]=-1;△XYZ是U关于△ABC的逆垂足三角形,E、F分别在直线AC、AB上且AE=EB、AF=FC,直线YF交EZ于点Q,直线XQ交BC的中垂线于点D 证明:∠TAB=∠CAD
4626 等角共轭点的一个小性质(own) 已知三角形ABC的一对等角共轭点P,Q,点X,Y满足∠PBX=∠PCX=∠QBY=∠QCY=90°;过X,Y分别作AP,AQ的平行线交于点R 证明:AR经过PQ的中点
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