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点的直角坐标和极（球）坐标值的引用设平面有一点B(5,3): B = (5, 3) c = x(B) d = y(B) c和d就是对B点直角坐标值的引用，我们可以直接把B点转化为极坐标值：点极坐标，B点变为B = (5.83095; 30.96376°)，现在问题是如何直接在计算过程中引用其极坐标值？ b = abs(B) δ = arg(B) 其中b=5.83095,δ=30.96376°,利用绝对值函数和方位角函数就实现了极坐标值的引用了。同理，对于三维坐标A(4,3,2): A=(4,3,2) a = abs(A) γ = arg(A) α = alt(A) 增加了一个仰角函数alt，a、γ、α分别对应A点球坐标中模、方位角、仰角。

如上图，图形在滚动过程中，始终与兰色线保持一个点接触，这图形叫勒洛三角形，是由三条1/6圆弧组成。 A = (0, 0) α = 0 （滑动条，0，2π） B = A + (1; -α) C = A + (1; -α + 2π / 3) D = A + (1; -α + 4π / 3) 分别以B、C、D为圆心，作三段圆弧： c: 圆弧(D, B, C) d: 圆弧(B, C, D) e: 圆弧(C, D, B)我们想让它滚动起来，为了简化，我们把上图转化为多边形： l1 = {c, d, e} （注意按顺序排列） l2 = 序列(描点(l1, i), i, 0, 1, 1 / 200) p1 = 多边形(l2)现在它可以以A点为中心旋转了，我们要让它在x轴上滚动，要平移图形的同时，需要修正图形纵坐标： a = 最大值(y(l2)) p2 = 平移(p1, (α, sqrt(3) - a)) O_1 = 平移(A, (α, sqrt(3) - a)) p3 = 平移(p1, (α + 3, sqrt(3) - a)) O_2 = 平移(A, (α + 3, sqrt(3) - a)) g = 线段(O_1, O_2) f: y = sqrt(3)好了，开启α动画，速度可调到4，就可以在x轴上动起来了。

希尔伯特曲线如上图，初看没头绪，它是一条折线，叫希尔伯特曲线，是通过分形所得： q = 4 （整数滑动条，1--5，千万别弄大了） l3 = {(-1, -1), (-1, 1), (1, 1), (1, -1)} l7 = 迭代({逆序排列(位似(旋转(扁平列表(a), (-π) / 2), 0.5, (-2, -2))), 位似(扁平列表(a), 0.5, (-2, 2)), 位似(扁平列表(a), 0.5, (2, 2)), 逆序排列(位似(旋转(扁平列表(a), π / 2), 0.5, (2, -2)))}, a, {l3}, q - 1) h = 折线(扁平列表(l7)) 就上边几条命令就可以把它画出来，过程是这样的，初始图如下：一次迭代图：和初图相比，上图是经过初图四个点旋转位似得到的，共四个图形组成，左下角是原图缩小后顺时针旋转90度，构成的点反序排列，上边两图不旋转，右下反旋90度，点逆排，这样就构成了迭代的表达式了。

运算区的一个简单运用已知：f(x-2)=-f(x)，求函数f(x)的周期。周期函数：若有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数，其周期为T，我们用运算区试试：第一行输入：f(x-2)=-f(x) 第二行输入：左边($1) - 右边($1) = 0 第三行输入：替换($2,x,x - 2) 第四行输入：$2 - $3 第五行输入：替换($4,x,x + 4) 第六行输入：左边($5) + f(x) = 右边($5) + f(x)由此解得f(x)的周期为4。

三角网的提取 GeoGebra中有 Delaunay三角网命令，可以根据点列作出三角网，但作出来的图形是轨迹，不便于进一步使用，本文旨在提取出三角网中各三角形。 A = (-3.96295, 2.11481) B = (-1.54313, 2.90919) C = (1.1464, 2.52577) D = (3.05969, -0.23008) E = (0.98896, -3.39859) F = (-1.63927, -4.1948) G = (-4.45459, -3.5173) H = (-6.25215, -0.54963) l1 = {A, B, C, D, E, F, G, H} g1 = Delaunay三角网(l1)我们主要讨论凸多边形，点是随意点的，形成的三角网如上，它只是轨迹，我们的目标是把这些三角形分离出来。先找出这些三角形外心吧，我们利用三角网的孪生兄弟Voronoi图命令： g2 = Voronoi图(l1) l2 = 最前元素(g2, 长度(g2)) l3 = 条件子列(abs(x(A)) < 6, A, l2) l4 = 互异(l3) l5 = 升序排列(l4)我们把 Voronoi图轨迹得到的点限定在一定范围，就可以确定外心点列，这里限定范围作了简化，实际过程中，可以根据点列l1中点横向坐标或者纵坐标最大最小值确定范围的。剔除重复元素，我们得到了外心点列并从左到右排列了一下，便于后续找出的三角形也按此排列。 l6 = 映射(距离(m, l1), m, l5) 让每个外心在l1中找一个最近点，因为三角网中的三角形外接圆不会包含其它点，这个找出的距离就为我们找到构成三角形其它两点提供了参数） m1 = 映射(序列((距离(b, l1(i)), i), i, 1, 长度(l1)), b, l5) （列出每个外心与l1中每个点的距离） l8 = 序列(条件子列(x(W) ≟ l6(i), W, m1(i)), i, 1, 长度(l6)) （找出另两个点，并附带上序号） m2 = y(l8) （提取出每个三角形的点在l1中的序号，序号由l8附带生成的） m3 = 序列(序列(l1(m2(i, j)), j, 1, 3), i, 1, 长度(m2)) (根据序号，在l1中把各点提取出来) l7 = 映射(多边形(m), m, m3)至此，我们就得到了三角网中各三角形了，我们还可以把它们单列出来： l9 = 序列("A" + (m) + "=Element(l7," + (m) + ")", m, 1, 长度(l7)) 执行(l9) 最后对A1、A2.........分别着色就行了。

悼袁隆平院士（一）亿亩新禾碧泱泱，为解饥肠粒粒香。浏阳水畔波澜起，马坡岭下风雨伤。一缕英魂归故里，万千哀思到潇湘。此生不负苍天意，博爱如光照大江。（二）后稷劝农作，子规催布谷。千江碧水流，满地新禾出。一肩挑月明，两袖伴日落。万古凌霄羽，青史留锄禾。

悼袁隆平院士惊闻袁隆平院士仙逝，借此吧感伤一下，望谅。悼袁隆平院士亿亩新禾碧泱泱，为解饥肠粒粒香。浏阳水畔波澜起，马坡岭下风雨伤。一缕英魂归故里，万千哀思到潇湘。此生不负苍天意，博爱如光照大江。

正十二面体与正二十面体复合这个图形是由正十二体与正二十面体组合而成，截三分之一二十面体，其实就是足球模型图，看似简单的图，在GeoGebra中可以用指令实现，但问题关键是如何让两图形心在原点，且面与顶点完全对应上呢？我们先画个形心在原点的正十二面体吧： a=1 (棱长初始值,滑动条，最小为1，最大暂时定为2吧） O=(0,0,0) A = (a, 0, 0) l1 = {多边形(O, A, 5, xOy平面)} poly1 = 元素(l1, 1) （这样画多边形或者立体图形，省去那些不要的点、线、面信息） B = 形心(poly1) ψ = (sqrt(5) + 1) / 2 （黄金分割数） r1 = a ψ² / (2sqrt(3 - ψ)) （正十二面体内接球半径计算公式） O_1 = (0, 0, -r1) face12 = 平移(poly1, 向量(B, O_1)) （这里取这样的名字，是为了后续提取十二个面方便）我们成功将构成正十二面体的初始五边形移到了需要的位置，然后可以用系统命令画了： t12 = 正十二面体(face12, true) l2 = 序列(对象("face" + (i)), i, 1, 12) （根据生成图形各面的名称信息，把各面组成列表） l3 = 映射(射线(O, 形心(a)), a, l2) （画出十二条射线，用于确定正二十面体顶点方向)b = 3 (正二十面体棱长） r2 = b (3sqrt(3) + sqrt(15)) / 12 （正二十面体外接球半径计算公式） c2: 球面(O, r2) l4 = 映射(交点(a, c2), a, l3) （取得正二十面体顶点） T = l4(2) U = l4(3) V = l4(12) （找出三个点，构建初始三角形） t1 = 多边形({T, U, V})t20 = 正二十面体(t1, true) H_1 = E_1 + 1 / 3 (B_1 - E_1) I_1 = E_1 + 1 / 3 (F_1 - E_1) J_1 = E_1 + 1 / 3 (G_1 - E_1) 找到正二十面体最上顶点及与其相邻三个点，分别作三分之一点。过这三点作平面，与z轴交于一点，此点z坐标为切二十面体于三分之一处时，十二面体内接球半径。 p: 平面(H_1, I_1, J_1) K_1 = 交点(z轴, p) a_0 = 2sqrt(3 - ψ) z(K_1) / ψ² （根据公式，把半径换算为十二面体棱长）当a=a_0时，为我们需要的图形了，这里可以把a_0的值复制出来，放到a的最大值中。

球面参数方程多数情况下，我们都是通过作图法操作球面，如使用工具画个球： O=(0,0,0) R=1 f: 球面(O, R) 系统自动给出其方程：x^2+y^2+z^2=1 但有时候使用参数方程，更容易控制球在局部，特别是结合点的球坐标表示法，更便于计算。 R=1 a = 曲面(R sin(α) cos(β), R sin(α) sin(β), R cos(α), α, 0, π, β, 0, 2π) 这就是球坐标参数方程，α是球上的点连接原点与z轴夹角（是夹角，不是角度，是有区别的，因此它是0到π），β是点到xOy平面的投影连接原点，与x轴形成的角度，（这里是角度，不是夹角，因此是0到2π）我们设两个滑动条α、β，α范围0到π，β范围0到2π,这里的α、β与参数方程里的α、β是两个不同的变量哈，前者是全局变量，后者是局部变量，作为参数，只在它表达的方程中起作用。 α = 0.9 β = 0 b = 曲线(R sin(α) cos(β), R sin(α) sin(β), R cos(α), β, 0, 2π) c = 曲线(R sin(α) cos(β), R sin(α) sin(β), R cos(α), α, 0, π) 根据球面参数方程，我们很容易得到其指定角度经纬线：其中纬线b可随α 变化上下下移动，经线是一个半圆，随β变化可左右旋转。同理，我们可以得到球面经纬线系列： l1 = 序列(曲线(R sin(α) cos(β), R sin(α) sin(β), R cos(α), β, 0, 2π), α, 0, π, π / 7) l2 = 序列(曲线(R sin(α) cos(β), R sin(α) sin(β), R cos(α), α, 0, π), β, 0, 2π, π / 11) 两个列表有点像，但看清楚谁作为曲线的参数，谁作为序列的参数。至于什么 π / 7、 π / 11完全是为了与球面参数方程自带经纬线重合。回到2条可动的经线和纬线，它们的交点是什么呢？ A = (R; β; π / 2 - α)这里A点我们直接使用了球坐标形式，β的意义与球参数方程的意义一样，可以叫“方位角”，这里π / 2 - α叫仰角，是A点连原点的线与xOy平面夹角，它正好与球面参数方程中与z轴的夹角之和为π / 2，这个简单画一下图就明白了，因此这这里用π / 2 - α把与z轴的夹角转化为仰角。点线有了，再看看局部的面： α = 0.9 d = 曲面(R sin(α') cos(β), R sin(α') sin(β), R cos(α'), α', 0, α, β, 0, 2π) 这里α全局变量与局部变量同时出现在一个方程中，这是不允许的，因为电脑分不出来，所以将原式α加个撇。β = 1.14 e = 曲面(R sin(α) cos(β'), R sin(α) sin(β'), R cos(α), α, 0, π, β', 0, β)

足球（难度较高，有耐心的可看）不打算讲代码，说一下思路：第一步目标，建立一个如下足球模型：采用的是多边形拼接法： A = (1, 0, 0) B = 旋转(A, (360°) / 5, z轴) poly1 = 多边形(A, B, 5, xOy平面) poly2 = 多边形(B, A, 6, xOy平面) 画一个正五边形和正六边形E = 多边形(A, B, 5, xOy平面) K = 多边形(B, A, 6, xOy平面) H = 多边形(B, A, 6, xOy平面) c: 圆周(直线(A, B), H) d: 圆周(直线(A, E), 旋转(K, -(72°), z轴)) G = 交点(d, c) poly3 = 正六边形(B, A, G)通过两圆交点把六边形旋转上来，下面就是拼接图形，不再一一讲了： poly4 = 正六边形(E, A, G) poly5 = 正六边形(D, E, Q) poly6 = 正六边形(C, D, T) poly7 = 正五边形(L, G, O) poly8 = 正五边形(P, Q, R) poly9 = 正六边形(O, P, C_1) poly10 = 正六边形(B_1, C_1, D_1) poly11 = 正五边形(E_1, D_1, G_1) poly12 = 正六边形(H_1, G_1, J_1) poly13 = 正六边形(K_1, J_1, L_1) poly14 = 正五边形(L_1, M_1, O_1)保留poly1和poly14显示，其它所有图形不再显示，选取其中关键图形（六边形和五边形）旋转： l1 = 序列(旋转({poly3, poly9, poly10, poly13}, 72° i, z轴), i, 1, 5) l2 = 序列(旋转({poly7, poly11}, 72° i, z轴), i, 1, 5)至此，第一步目标完成，建立了模型，我们需要取得所有点，根据这些点画弧线： T_1 = 中点(形心(poly1), 形心(poly14)) （这是根据两相对面确定球心） l3 = 映射(序列(描点(SS, tt / 6), tt, 1, 6), SS, 扁平列表({l1})) （取出全部六边形顶点） l6 = 映射(映射(圆弧(T_1, AA, BB), AA, TT, BB, 扁平列表({最后元素(TT, 5), 最前元素(TT, 1)})), TT, l3)这时，我们成功将模型转化为弧线模型，这算是完成了第二步。下边是最后一步，我们采用曲面条粘贴出各正六边形，余下五边形用球的本色： o: 球面(T_1, A) （画个黑球） e: 圆弧(T_1, B, A) l4 = 序列(旋转(曲面(e, 84°, 直线(T_1, 直线(B, A))), 72° i, z轴), i, 1, 5)从最下边开始，第1次贴条。 r: 圆弧(T_1, S, T) l5 = 序列(旋转(曲面(r, 84°, 直线(T_1, 直线(T, S))), 72° i, z轴), i, 1, 5)用旋转法，第2次贴条。这个旋转图形是下边这样：其它不再讲了，原理都一样： l4' = 旋转(旋转(l4, 180°, 直线(T_1, x轴)), 36°, z轴) l7 = 旋转(旋转(l5, 180°, 直线(T_1, x轴)), 36°, z轴) s: 圆弧(T_1, F_1, O) l8 = 序列(旋转(曲面(s, 84°, 直线(T_1, 直线(F_1, O))), 72° i, z轴), i, 1, 5) t: 圆弧(T_1, C_1, P) l9 = 序列(旋转(曲面(t, 84°, 直线(T_1, 直线(P, C_1))), 72° i, z轴), i, 1, 5) 完成图：

三角形垂心到顶点的距离是外心到边的距离2倍的多种证明

先说一下费马点，如下图，在三角形ABC中有一点动点P，求PA+PB+PC最小值，这个最小值就是P移动到费马点时的值： A = (7.33194, 6.51164) B = (3.30534, 2.73497) C = (10.54883, 2.63574) f = 线段(A, B) g = 线段(B, C) h = 线段(C, A) P = (7.7401, 4.24824) l = 线段(P, A) m = 线段(P, B) n = 线段(P, C)特殊情况我们暂不考虑，如三角形有顶角大于120度的情况，我们不妨再看看费马点的作法： A' = 旋转(A, 60°, B) c: 圆周(A, A', B) i = 线段(A', C) D = 交点(c, i, 2) j = 线段(A, A') k = 线段(A', B)当P点移动到D点时，PA+PB+PC最小，且等于A‘C，下面再看看证明过程： P' = 旋转(P, -(60°), A) t1 = 多边形(P', A, A') p = 线段(P', P)我们将三角形APB旋转60度,如上图，当C、P、P‘、A’四点共线时，PA+PB+PC最小，P移动到D点时满足条件。当然我们这贴子不是讨论以上情况，只是对费马点作了回顾，下边要用到上面的思路。问题来了：求2PA + 3PB + 4PC的最小值，这个求值就叫加权费马点问题。由上边费马点的作法，我们是在一条边上构建了一个等边三角形，因为这时候PA、PB、PC权重比为1：1：1，由此我们将上边问题先除以最大权重4，得PA：PB：PC=1/2：3/4：1，PC对应边为AB，于是我们仿费马点做法，在AB边上构建三角形，边上比为1/2：3/4：1： d: 圆周(B, f / 2) e: 圆周(A, 3 / 4 f) E = 交点(d, e, 1) q = 线段(A, E) r = 线段(E, B) s = 线段(E, C) t: 圆周(A, E, B) F = 交点(t, s, 2)当P点移动到F点时，2PA + 3PB + 4PC最小，且等于4CE，证明可参考上边费马点证明，略去。注：若PA、PB、PC权重不足以构成三角形，则F点为权重最大对应点，若上图C点在兰色外接圆内，则C为F点，这些特殊情况不再一一作图。

单尺作图——圆上切线已知一个圆（圆心未知）和圆上一点，用一把无刻度的尺子作圆在此点的切线。1、任意在圆上描三个点，连接A和其中一点：2、作出过这四点的四边形的边所在的直线：3、A点不动，调整D、B、C，让四条直线交于两点，过这两点作一直线：4、复制出直线方程，如果是5.0的话，直接用F4复制，然后A、B不动，调整C，如下，新兰色直线与复制的兰色直线交于一点，此点为A的极点，连结A和此点，切线就用出来了（红色）：当然，真正单尺作图是直接重画，而不是调整一下C点得新直线，这里只不过利用了GeoGebra的优势。

函数列表初识设有一列表如下： l1 = 序列(x^a, a, 1, 9)这是一系列函数，函数可以放入列表中来进行系列运算的。如上边l1，我们要引用其中一个函数： f(x) = 元素(l1, 3) （输入元素(l1, 3)即可，这里不建议用l1(3)引用，一般会出错，特别是填入表格时） a = l1(3, 2) （求某个函数在自变量为2时的值） A = (2, l1(3, 2)) （某个函数上的一个点）再看一个函数： g(x) = 乘积(序列(x - a, a, 0, 9)) （对函数列表进行相乘运算，结果为如下表达式：） g(x)=(x) (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6) (x - 7) (x - 8) (x - 9)当我们需要形如 x (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6) (x - 7) (x - 8) (x - 9) =0这样的方程时： eq1: g - 0 = 0 这里不能用g=0来对一个表达式处理，因为这样是直接定义变量g为0。 eq1:x (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6) (x - 7) (x - 8) (x - 9) = 0 再看两个很直观的函数列表： l3 = 序列(x² + y² = a², a, 0.1, 4, 0.2)l4 = 序列(a sin(x), a, 0.2, 2, 0.2)当然，我们的迭代大神也是可以用于函数列表的： l5 = 迭代列表(a(x) x² + a(x) x, a, {x}, 3) 这个列表如下： {x, x x² + x x, (x x² + x x) x² + (x x² + x x) x, ((x x² + x x) x² + (x x² + x x) x) x² + ((x x² + x x) x² + (x x² + x x) x) x} 我们可以用总和命令把它串在一起，然后用多项式函数命令简化： h(x) = 总和(l5) p(x) = 多项式函数(h) 最后表达式为： p(x)=x⁷ + 3x⁶ + 4x⁵ + 3x⁴ + 2x³ + x² + x再举一个应用场景：设有两条直线如下，从一条直接到另一条直接的过渡函数怎么弄： B = (-6.69662, 1.47976) C = (-1.6758, 5.29996) i: 直线(B, C) D = (-4.55992, -3.42023) E = (5.06412, -2.55873) j: 直线(D, E) l7 = 序列((1 - u) i(x) + u j(x), u, 0, 1, 0.1)这个好像看不出什么，完全可以用旋转实现，但其实不是这样的，如果另一条直线是曲线呢，还旋转个屁，我们把上边场景改为两线段，这样可能更直观： b = 曲线((1 - u) B + u C, u, 0, 1) c = 曲线((1 - u) D + u E, u, 0, 1) l6 = 序列(曲线(u b(t) + (1 - u) c(t), t, 0, 1), u, 0, 1, 0.1)总结：函数是可以放入列表的，并且可以作为对象参与运算的。

多边形形心计算在GeoGebra中，多边形的形心就是重心，系统直接给出命令“形心(多边形)”，这个形心又是怎么计算出来的呢？我们从三角形说起，三条中线交点为三角形形心（即重心） A = (-1.51488, 1.01771) B = (0.69845, 2.3271) C = (2.55702, -0.82121) t1 = 多边形({A, C, B}) i: 直线(A, 中点(B, C)) h: 直线(B, 中点(A, C)) F = 交点(h, i)当图形扩展为四边形后，形心又是怎么确定的呢？这时候我们将图形分为两个三角形，分别作出这两个三角形的形心，连面线段，则四边形形心在线段上，其与两三角形形心距离比与两三角形面积比成反比。 D = (-2.21104, -1.74067) l1 = {A, B, C, D} q1 = 多边形(l1) t2 = 多边形({A, C, D}) G = 三角形中心(A, C, D, 2) f = 线段(F, G) b = t1 / t2 a = 1 / (b + 1) H = F + a (G - F)其中a = 1 / (b + 1)是将面积比换算成H在线段FG上的仿射比，即路径值。同理，将图形扩展到五边形，新增加的三角形确定其重心，然后根据四边形与这个三角形面积比，确定五边形形心位置： E = (0.9731, -2.82384) l2 = {A, B, C, E, D} p1 = 多边形(l2) t3 = 多边形({D, C, E}) J = 三角形中心(D, C, E, 2) g = 线段(H, J) c = q1 / t3 d = 1 / (c + 1) K = H + d (J - H)

封闭参数曲线面积计算如上，参数椭圆的面积，形如d = 曲线(f(t), g(t), t, 0, 2π)的封闭曲线，其面积计算公式如下： S = 1 / 2 积分(abs(f(x) g'(x) - g(x) f'(x)), 0, 2π) 积分取值区间与参数曲线取值区间一致。上图是对样条曲线封闭图形计算面积，我们使用h(t) = x(e(t))、p(t) = y(e(t))取出方程中的x和y的函数，但这里不能直接对h和p求导，应该是对曲线求导后，再次提取求导后的x和y函数。对于无法求导的封闭曲线，还可以遥描点法将曲线转化为多边形，然后计算面积： l2 = 序列(描点(e, i), i, 0, 1, 1 / 1000) poly1 = 多边形(l2)

多边形面积计算 Geogebra中给定系列点，作出的多边形会直接给出其面积值，如下：A=(2,4) B=(4,5) C=(6,4) D=(7,2) E=(5,1) F=(4,2) G=(2,1) H=(1,2) l1 = {A, B, C, D, E, F, G, H} p1 = 多边形(l1) 但Geogebra是怎么计算出多边形的面积呢？这里给出一个公式：其中x_(n+1)=x_1,y_(n+1)=y_1,n为点的个数。 l2 = 追加(l1, l1(1)) n = 长度(l1) S = 1 / 2 abs(总和(序列(x(l2(i)) y(l2(i + 1)) - x(l2(i + 1)) y(l2(i)), i, 1, n))) 上边三行代码是将上边的公式翻译成Geogebra表达式，也就是Geogebra中多边形面积计算式。我们看上图，线段AB和其在x轴上的投影，围成一个梯形，这个梯形面积是可求的： a = 1 / 2 (x(l2(2)) - x(l2(1))) (y(l2(2)) + y(l2(1))) 同样，第二段线计算面积如下： b = 1 / 2 (x(l2(3)) - x(l2(2))) (y(l2(3)) + y(l2(2)))我们这样一直按顺时针取点计算面积，然后求和： S' = 1 / 2 总和(序列((x(l2(i + 1)) - x(l2(i))) (y(l2(i + 1)) + y(l2(i))), i, 1, n)) 这个也是多边形面积计算公式，它展开后相加的过程是可以约去形如x(l2(i))*y(l2(i))项的，约去后就是S表达式： S = 1 / 2 abs(总和(序列(x(l2(i)) y(l2(i + 1)) - x(l2(i + 1)) y(l2(i)), i, 1, n)))

推荐一个GeoGebra5.0版本这个版本主要解决问题：一是可以“设置”中设置各类几何图形的标签特征，二是可以在“预设”中预先设定各类几何图形的标签特征，例如创建的线段不要标签，点的标签缺省带坐标值，还有标签的大小，风格等等。这些现在都可以设置了。下载地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fwww.ggb123.cn%2Fdownload%2FGeoGebra5.0.621.2.exe+&urlrefer=4175de1dc7f5e94491334abe5dfba037

点在GeoGebra平面中的运算我们知道，点在GeoGebra中可以是直角坐标、极坐标、向量、复数等形式表示，我们先从直角坐标开始：设平面内有两点A（-1，2）、B（3，1） A = (-1, 2) B = (3, 1)两点间的中点坐标可表示如下： C = (A + B) / 2其1/3处（靠近A点）坐标如下： D = A + (B - A) / 3更进一步，其五等分点如下： l1 = 序列(A + k (B - A) / 5, k, 1, 5)那到底A+B或者B+A以及B-A是什么意思呢？这个可从向量的加减说起了，把点转化为向量： u = 向量(A) v = 向量(B) E = B + A w = 向量(E) f = 线段(A, E) g = 线段(B, E)因此点的相加可以理解为向量相加，如果要计算公式则A+B=(x(A) + x(B), y(A) + y(B)) 同理，点的相减，就是向量相减： F = B - A a = 向量(F) h = 线段(F, A) i = 线段(B, A) j = 线段(B, F)其计算公式为：B-A=(x(B) - x(A), y(B) - y(A)) 点的加减还是比较好理解的，从向量加减去理解其几何意义，但点的相除、相乘就要复杂点了，如： z_1 = B / A，我们输入B/A，得到的是一个复数，因此两点相除、相乘可以从复数角度去理解，先将点转化为复数： z_A = 转换为复数(A) z_B = 转换为复数(B) z_1 = z_B/z_A z_2 = z_B*z_A 复数相除的几何意义是模相除，辐角相减，相乘的几何意义是模相乘，辐角相加。但这里有个问题，我们可以直接用B/A得到一个复数点，但我们并不能用B*A得到一个点，只能是一个数。因此直角坐标的两点直接相乘是向量的数量积，如这里B*A=v*u，其计算式为：x(A) x(B) + y(A) y(B)，它是一个数，不是一个点了。如果我们用叉乘呢？如e = v ⊗ u，这里因为是在平面内，因此也是得到一个数，如果把u、v换成三维向量，其叉乘就是一个垂直于u、v平面的向量了。平面内两向量（或者两点）的叉乘计算式为： k= -行列式({{x(A), y(A)}, {x(B), y(B)}}) 当然，在GeoGebra中点的运算远不止这些，如把一个点乘以一个常数，相当于横坐标和纵坐标同时乘以这个数，这时候点可以看作是一个列表了。如M=2A，若A坐标为（-1，2），则M坐标为（-2，4）。

形---数---形结合解题几何吧有一道简单的几何题：这题本身难度不大，这里采用数形结合，用GeoGebra解题，先把已知条件转化为纯数学表达式，再用几何图形解题：设a=x,b=y,且A、B、C如下图：则有：A=(0,0) B=(x,0) C=(-y cos(60°),y sin(60°)) 由于BC=4，根据两点距离公式，得： (x + y cos(60°))² + (y sin(60°))² = 16 化简得： x² + x y + y² = 16 于是问题转化为：已知x² + x y + y² = 16 ，求3x+2y最小值。这里成功将形转化为数，下边就把数再转化为形来求值，当然你可以直接用拉格朗日法，或者代入判定法求，关键不在这题怎么解，而在数形结合：作图法求解：上边用作图法，已知斜率直线与一个椭圆的关系，在GeoGebra中，已知形如3x+2y=k(k待定）直线，是可以直接作出圆锥曲线的切线的，上边就是用切线法直接解题，除了推导出椭圆方程外，根本没经过其它计算、几何证明等，这就是数形结合的好处。

绘制过程：从网上找个图，描点，画折线。

A = (0, 2, 0) B = (0, 1, 0) C = (0, 3, 0) c: 圆周(z轴, A) f = 线段(B, C) 先画一个半径为2的圆c，再画一个长度为2的线段f。线段f自旋180度的同时，其中点在圆周上运动一周，由此可计算线段和其端点： α = 0° （滑动条，0度到360度，增量1度） B' = ((2 - cos(α / 2)) sin(α), (2 - cos(α / 2)) cos(α), -sin(α / 2)) C' = ((2 + cos(α / 2)) sin(α), (2 + cos(α / 2)) cos(α), sin(α / 2)) b = 曲线((2 + u cos(α / 2)) sin(α), (2 + u cos(α / 2)) cos(α), u sin(α / 2), u, -1, 1)根据b的运动，可以推出曲面： d = 曲面((2 + u cos(v / 2)) sin(v), (2 + u cos(v / 2)) cos(v), u sin(v / 2), u, -1, 1, v, 0, α)因此，得莫比乌斯环参数方程： a = 曲面((2 + u cos(v / 2)) sin(v), (2 + u cos(v / 2)) cos(v), u sin(v / 2), u, -1, 1, v, 0, 2π)

上述图形不是固定的，是可以随机变化的，如下：先介绍两个自定义工具：第一个自定义工具叫“二分线”，就是根据两点，作二分叉图形，如下：其输入是点C、点D、两分叉长度、两分叉角度，输出为两分叉线段的列表。另一个工具叫“粗线段”，根据两点和宽度值，作一矩形：两个工具都很简单，就不多说，关键是上边的树如何实现？代码并不复杂： A = (0.25419, -6.29294) B = (0.30268, -3.2623) f = 线段(A, B) n = 8 α = 0.43633 rad β = -0.7854 rad l1 = 迭代列表(扁平列表(序列(二分线(顶点(元素(list1, i), 1), 顶点(元素(list1, i), 2), 0.3 + 0.7random(), 0.3 + 0.7random(), α, β), i, 1, 长度(list1))), list1, {{线段(A, B)}}, n) l3 = 序列(序列(粗线段(l1(m, n), 0.2 / 1.4^m), n, 1, 长度(l1(m))), m, 1, 长度(l1)) 主要就是后边两条命令，用了迭代和自定义工具，本来到l1就出图了，但图各线段粗细一样，如下：因此，我们用了l3，效果如下：

浅谈迭代列表 GeoGebra中生成集合可以用序列、映射、迭代列表。其中映射最好理解，从一个列表，通过运算到另一个列表，元素是一一对应关系，如列表l1={A，B，C，D，E，F}，用这5个点画5个单位圆：映射(圆周(m,1),m,l1) 它的使用是不需要元素序数参与计算时非常简捷。再来说序列，这是GeoGebra中用的最多的命令，需要元素序数参与计算时，就用使用“列表”命令了，如不使用折线命令的情况下，把l1={A，B，C，D，E，F}五个点用线段连起来：序列(线段(l1(m),l1(m+1)),m,1,长度(l1)-1) 这里用来元素的序数了，因此用上了"序列"命令。最不好理解或者不易掌握的是迭代列表，生成元素与上一个元素或者上几个元素有关时，用迭代列表，这个几句话也说不清，先举个迭代中最常用的斐不拉其数列： l3 = 迭代列表(a + b, a, b, {1, 1}, 10) 其结果是： {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89} 前两元素相加，得后一元素，依此类推，其中a+b为表达式，a,b为变量，{1,1}为a、b初始取值，必须是列表形式给出，10为迭代次数。当然，GeoGebra不仅可以对数值进行迭代，它可以是其它几何对象，如下有A、B两点，从A点出发，求出AB中点C后，用C代替A，继续求CB中点，一直重复6次。l4 = 迭代列表(中点(m, B), m, {A}, 6) 这里的变量m不再是数值，而是点，请注意的是你要生成的东西，和变量初始值必须是同一类东西才行。下边相对复杂一点了，正方形迭代图：A = (2, 2) B = (-2, 2) f = 线段(A, B) k = 0.08 n = 16 l1 = 迭代列表(线段(描点(m, k), 描点(线段(顶点(m, 2), 顶点(m, 2) + 法向量(m)), k)), m, {f}, n) l2 = 映射(多边形(顶点(m, 1), 顶点(m, 2), 4), m, l1) 在这个l1中，迭代变得复杂点，主要是我们把若干命令整理到一个表达式中了，它是这么一个过程： C = 描点(f, k) g = 线段(B, B + 法向量(f)) D = 描点(g, k) h = 线段(C, D) E = 描点(h, k) ..........................................上述命令除最后一条，组合在一起，就是迭代列表中的表达式了，只是把变量，有明确名称的点换成通用表达。当然，在使用迭代列表时，我们有时候要迭代出来的东西，不太可能整合成一个表达式，这个时候可以使用自定义工具来协助了，如下勾股树的生成，我们先定义一个自定义工具，取名叫“生成元”：这个工具输入参数是a和poly3，输出为lst2 然后我们用迭代列表来生成勾股树： a = 0.6 n = 4 poly1 = 多边形((1, 0), (3, 0), 4) L = 合并(迭代列表(合并(映射(生成元(p, a), p, lst)), lst, {{poly1}}, n))

关机图：开机图：代码：按钮点击时脚本：赋值(a,!a) 启动动画(b,a) 滑动条b更新时脚本： T=系统时间()

简单的界面示意功能，没有实现球边撞击、球球撞击运动。 l1 = 序列((4 + 4ί) ί^k, k, 0, 3) l2 = (x(l1) * 2, y(l1)) q1 = 多边形(l2) 用复数画一个边长2：1的绿色矩形，作为桌面。l3 = 合并({l2, {(0, -4), (0, 4)}}) l4 = 映射(圆周(a, 0.4), a, l3) q2 = 多边形(映射(a - 0.3b, a, l2, b, l1 / 4)) A = 内点(q2) c: 圆周(A, 0.3) 画六个洞，母球，母球圆心活动范围的框。l7 = 合并({l2, {l2(1)}}) l8 = 序列(线段(l7(i), l7(i + 1)), i, 1, 4) l9 = 映射(平移(a, b), a, l8, b, {(0, 0.5), (-0.5, 0), (0, -0.5), (0.5, 0)}) l10 = 映射(圆周(a, 0.5), a, l2) poly1 = 多边形(扁平列表(映射({顶点(a, 1), 顶点(a, 2)}, a, l9))) 画出球桌外边框d: 圆周(A, 0.3) q3 = 多边形(l2) B = (-1.24926, -0.5167) C = 描点(圆周(B, 2.5)) D = 对称(C, B) f = 线段(C, D) 给母球和桌面加个边框，然后事球杆，B点移动、C点旋转球杆。E = 交点(c, 直线(C, D), 2) g: 射线(D, E) F = 交点(g, q1) G = 交点(射线(A, 向量(E, F)), q2) 瞄准线及母球球心移动线button1 a = 1 k: 垂线(A, g) H = 交点(g, k) b = 是否已定义(E) A_0 = A 击球按钮button1，其点击时脚本如下：赋值(a,0) A_0=A if(b,赋值(B,H-向量(B,D))) 启动动画(a,b) 滑动条a（0--1）,其更新时脚本如下：赋值(A,A_0+a (G-A_0)) H点确定球杆击出时移动位置p: 如果(abs(x(G)) ≟ 7.7, y = y(G), x = x(G)) G' = 对称(G, p) A' = 对称(A, p) l: 射线(G', A') I_{1} = 交点(l, q2) I = 交点(l, q2) I_0 = 如果(距离(I, G) ≟ 0, I_{1}, I) m = 线段(G, I_0) 反射线路计算

在封闭区域内随机产生多个不重叠的圆以多边形为例，在封闭区域产生随机点很容易，一个命令的事：序列(随机内点(p1),i,1,100) 但是我们现在想在封闭区域内随机产生多个圆，且这些圆不能相交，方便小朋友去数个数，情况就娈复杂多了。（点坐标省去） l1 = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, A} （列表时，最后加上第一个点，后面用的上） p1 = 多边形(l1)由于产生的是圆,我们不能简单地以这个多边形为边界，要根据圆半径向内等距缩小（不能用位似命令）。 r = 0.1 （要生成圆半径） l2 = 序列(直线(l1(i), l1(i + 1)), i, 1, 长度(l1) - 1) l3 = 映射(平移(m, 向量(-r 单位法向量(m))), m, l2) l5 = 合并({l3, {l3(1)}}) l4 = 序列(交点(l5(i), l5(i + 1)), i, 1, 长度(l5) - 1) p2 = 多边形(l4)我们通过以上操作，把多边形各边向内等距移动r，得到新的多边形作为边界（蓝色） a = 最大值(x(l4)) b = 最小值(x(l4)) c = 最大值(y(l4)) d = 最小值(y(l4)) e = 曲面((u, v), u, b, a, v, d, c) l6 = 序列(序列((i, j), j, d, c, 2r), i, b, a, 2r)生成刚好能盖住p2的点阵，点阵间距为2r,这是我们生成圆的基础，下边是确定在p2内的这些点。 l7 = 扁平列表(l6) l9 = 序列((距离(l7(i), 区域内最近点(p2, l7(i))), i), i, 1, 长度(l7)) l8 = 条件子列(x(A) ≟ 0, A, l9) l10 = y(l8) l11 = 序列(l7(l10(i)), i, 1, 长度(l10))上边图可以看到，我们在蓝色区域内生成了点阵，从这些点中随机生成点就行了。 n = 36 （整数滑动条，1到长度(l11),增量1，确定生成圆个数） l12 = 序列(随机元素(l11), i, 1, n) l13 = 映射(圆周(a, r), a, l12)上边是完成图，实现了在封闭区域内随机产生不相交的圆的设想。

一道几何题绘制中的重心坐标应用如上图，是一道初中几何题，求解很容易，现在的问题是这个P点我们在绘制图的时候怎么确定？因为阴影面积与平行四边形面积无关，说明这个平行四边形是可以变形的，我们先来作出上述图，P点先任意给出： A = 交点(x轴, y轴) B = 描点(x轴) C = 平移(B, (1, 3)) D = 平移(A, (1, 3)) （C、D通过A、B平移而得，平移量随便给出） q1 = 多边形({A, B, C, D}) P=内点(q1) text1 = "S_1=S∆PAD=2" text5 = "S_x=?" text4 = "S_4=S∆PDC" t1 = 多边形({P, A, D}) t2 = 多边形({P, A, B}) t3 = 多边形({P, A, C}) S_0 = 多边形({A, C, D})我们现在只考虑三角形ACD，很明显P点在三角形ACD中的位置，只与S_1、S_x和S_4有关，也就是说P点完全可以用重心坐标公式来表示，即P是坐标公式为： P = (2C + 3D + (S_0 - 5) A) / S_0 这里我们直接引用了求解后阴影面积，三角形ACD面积我们在作图时定义为S_0,P点把三角形分成了三部分，其中两部分已知，那这三个部分面积占三角形面积的比值是可以表示出来的，因此可以确定P点。当我们移动A、B点时，S_1、S_2、S_x面积保持不变，分别为2、5、3。

如图，如何用线段或者直线HM把多边形切割成两部分？（多边形顶点坐标略去） p1 = 多边形(A, B, C, D, E, F, G) H = (-5.54802, -2.84714) M = (1.41735, 2.14021) h = 线段(H, M) 在多边形外描一点，与线段组成一个矩形： J = (-0.80837, -3.67539) i = 距离(J, 直线(H, M)) u = i 单位法向量(h) I = H - u K = M - u q1 = 多边形({H, M, K, I})再做一个以HM为对称轴的矩形： q2 = 对称(q1, h) 两矩形以盖住多边形为准，可以拖动J点调整，然后分别用这两矩形与多边形相交，所得图形为所求： poly1 = 相交路径(p1, q1) poly2 = 相交路径(p1, q2)

利用多边形相交路径实现图形编织，圆可以通过描点法转化为多边形。

GeoGebra中复数应用初探在GeoGebra中，复数可以用点来表示，反过来，点的坐标可以用复数形式给出，如： z_1 = 4 + 6ί，在绘图区显示坐标为(4,6)的点。如果仅仅如此的话，复数在GeoGebra中就显得多余，其实复数是在复平面上，只是我们这里的直角坐标平面与复数平面重叠罢了，复数简单运用先举个例子： z_2 = 4 + 4ί l1 = 序列(z_2 ί^k, k, 0, 3) q1 = 多边形(l1) 这个运用有时候比点的旋转还好使，看你怎么设计表达式了。（注ί不是i，看清楚，是虚数ί）复数作为变量又是什么呢？输入 x + 0ί，我们得到了一平面，这个平面就是复平面了，而这个函数就是复函数了： b(x) = x + 0ί为什么说它是复平面，我们引用一下函数：输入 b(4,6),我们会得到一个复数z_3=b(4,6),它的表达式是4+6ί，对应实平面(4,6)点。如果我们再进一步，输入x+y ί，情况如下： e = 曲面(x + y ί, x, -10, 10, y, -10, 10)，系统自动用了曲面命令，显然它不再是复平面了，输入e(4,6)试试：得到 A = e(4, 6)，它是实平面一个点了，因此e平面与下边平面等价： d = 曲面((u, v), u, -10, 10, v, -10, 10)，用x+y ί与用(u,v)是一样的，是点的表达式不同形式，至少GeoGebra在这里就是这样处理的。对于b(x) = x + 0ί平面，如果我们输入 x ί呢，得到c(x) = x ί，它也是一个复平面，表面上与b(x)g一样，但你输入c(4,6)试试，得到的复数与b(4,6)是不同的，它是-6+4ί，相当于把b(4,6)再乘以一个虚数ί，因此c平面内的复数与b平面内对应的复数相比，是旋转了90 度的。

给任意曲线加个框、、 l1 = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, A} a = 样条曲线(l1, 3) 如图，任意样条曲线a,如何给它加个如下框，要求框随线动？样条曲线是不能直接求最大最小值的，可以用导数来求，我在另一篇贴子讲过，这里精度要求不高，作简化处理：用的是描点法求出四个边界值，嫌精确不够，你电脑又很牛X的情况下，描点可以增加到一万。

二维平面画出立体心形效果其中Bezier11为自定义工具，代码如下：

格子乘法

曲线拟合法求古堡朝圣问题（近似）如上图，A、B为固定点，P为单位圆上一动点，圆心在原点，A在y轴上，求AP+BP最小值。 b = 曲线(cos(t), sin(t), t, 0, 2π) A = 描点(y轴) O=(0,0) B = (4, 1) P = 描点(b) f = 线段(A, P) g = 线段(P, B) h = 线段(A, B) i = 线段(A, O) j = 线段(O, B) 我们设一参数t，t为0到2π,然后用(t,b(t))在圆周上取序列点，再给出AP+BP的表达式，t与表达式组成点列数据。 l1 = 序列((t, 距离(A, b(t)) + 距离(B, b(t))), t, 0, 2π, 0.1)这个点列非常接近正弦或者余弦图形，因此，我们用正弦拟合： p(x) = 如果(0 ≤ x ≤ 2π, 正弦拟合(l1)) 此时，正弦函数最小值就近似AP+BP最小值了，我们继续，对函数求导，取零值点： q(x) = p'(x) D = 零值点(q, -3.76028, 8.5701) C = 零值点(q, -3.76028, 8.5701) E = b(x(C))红色虚线为曲线导数图形，C点为原曲线最小值对应点，E点为我们所求点，也就是当P运动到E点时，AP+BP最小，或者我们直接给出AE+BE，可近似求出最小值。

三点包络曲线方程如图，有A、B、C三点，在线段AB、BC上均匀取n个点，定义一线段，起点为AB上的点，止点为B上的点，依次取均匀点，则线段序列如下：A = (-2.50468, -1.46694) B = (3.72762, -1.60998) C = (2.07248, 2.73219) f = 线段(A, B) g = 线段(B, C) h = 线段(C, A) n = 40 l1 = 序列(A + t (B - A), t, 0, 1, 1 / n) l2 = 序列(B + t (C - B), t, 0, 1, 1 / n) l3 = 序列(C + t (A - C), t, 0, 1, 1 / n) l4 = 序列(线段(l1(i), l2(i)), i, 1, n) 同理，其它两边包络线如下： l5 = 序列(线段(l2(i), l3(i)), i, 1, n) l6 = 序列(线段(l3(i), l1(i)), i, 1, n)我们需要包络形成的曲线呢？如下边红色线方程是什么？这时候，上边用序列法是不能得到曲线的，我们用下边方法，先定义AB、BC、CA线段： a = 曲线(A + t (B - A), t, 0, 1) b = 曲线(B + t (C - B), t, 0, 1) c = 曲线(C + t (A - C), t, 0, 1) 画一个从a到b的曲面： t = 曲面((1 - u / n) a(v / n) + u / n b(v / n), u, 0, n, v, 0, n)我们发现，这个曲面与序列法生成的线段序列是一样的，而这个曲面中如下曲线是我们需要的： u = 曲线(t(v, v), v, 0, n)这个曲线根据参数关系，我们其实不需要通过曲面来定义： d = 曲线((1 - t) a(t) + t b(t), t, 0, 1) 同理，其它两条曲线如下： e = 曲线((1 - t) b(t) + t c(t), t, 0, 1) i = 曲线((1 - t) c(t) + t a(t), t, 0, 1)

点所在区域识别如上，红点为任意动点，有三个多边形，如何判断点在哪？把点坐标略去，代码如下：核心就是利用“区域最近点”命令，如果动点与其区域最近点距离为0，则动点在该区域。

两条曲线的光滑连接如下图，有两样条曲线（其它可作切线的曲线均可），如何用第三条曲线连接起来，形成光滑曲线？我们是在GeoGebra环境中讨论，当然不考虑代数方法，两曲线光滑连接一般指在连接点处相切，即两者切线相同，我们作D点处和I点处切线： l1 = {A, B, C, D} l2 = {E, F, G, H, I} a = 样条曲线(l1, 3) b = 样条曲线(l2, 3) f: 切线(D, a) g: 切线(I, b)根据上边对光滑连接的的说明，第三条曲线应该在D点处与I点处与两切线相切，这时候，贝塞尔曲线显然是比较合适的，我们在两切线上描点K，J: J = 描点(g) K = 描点(f)以D、K、J、I四点为控制点，作贝氏曲线（公式在我的贴子《贝塞尔曲线》中有推导）： e = 曲线(D (1 - t)³ + 3K t (1 - t)² + 3J t² (1 - t) + I t³, t, 0, 1)连接不够理想的情况下，可调整K、J.

最不要脸的求两曲线上最近距离点的方法有两条曲线如下： g: x² + 3y² - 2 = 0 f: x² - 3x + 3 - y = 0求两曲线上最近两点或者两曲线最小距离。不要脸之一——暴力列表法：先在抛物线上取一段离椭圆较近的曲线段，然后在曲线段上描1000个，分别计算与椭圆最近距离，然后找出最小值对应的点： A = 描点(f) C = 描点(f) a = 曲线(t, f(t), t, x(A), x(C)) l1 = 序列(描点(a, i), i, 0, 1, 1 / 1000) l2 = 映射(距离(m, 最近点(g, m)), m, l1) b = 最小值(l2) c = 索引(b, l2) B = l1(c) D = 最近点(g, B)如何觉得这方法不够准确，我们还可以不要脸地来一次修正，把找到的两点相互再取最近点，然后取中间值： D = 最近点(g, B) E = 最近点(f, D) F = (B + E) / 2 G = 最近点(g, F) 不要脸之二——赖皮迭代法： k = 25 H = 描点(a) I = 迭代(最近点(f, 最近点(g, m)), m, {H}, k) J = 最近点(g, I) k为整数滑动条，拖动它，迭代出来的点I不动了，那就是答案了，在25左右就行了，原理是如上边修改时的做法，反复对两个点互相找最近点，最后怎么找结果都不变了，那答案就出来了。

折线方程再谈（点列法）本吧已经谈过关于折线或者多边形的方程问题，我们可以用如果语句分段给出折线方程，也可以用符号函数拼出方程，还可以从反演图形中提取折线方程，也可以仿反演计算出方程，甚至用曲线拼接法生成，有兴趣的可以搜一下本吧，这里先给出仿反演计算出折线方程，这是绝对值方程，相对来说方程不复杂，比较实用：我是把上述代码做成了工具，输入项为l1，输出项为b，运算速度还可以。本贴讨论的不是此法，而是另一种更为简单的方法，只是用这种方法生成的折线参数方程，不能像上边的那样可以给折线作切点。先看上图，左边是一个多边形或者首尾点重合的折线，我们这里统一叫折线，生成代码如下： A = (-1.90312, 0.50455) B = (-1.40112, 1.07905) C = (-0.54314, 0.84849) D = (-0.29317, 0.35819) E = (-0.77847, -0.46604) F = (-1.76447, -0.18873) l1 = {A, B, C, D, E, F, A} f = 折线(l1) l2 = 序列((i - 1, x(l1(i))), i, 1, 长度(l1)) l3 = 序列((i - 1, y(l1(i))), i, 1, 长度(l1)) l4 = 映射(直线(m, y = 0), m, l3) l5 = 映射(直线(m, x = 0), m, l2) 我们将点列横坐标和纵坐标分别提取出来，根据点的个数，横坐标间隔为1，形成两个点列。这两个点列是可以分别用函数表示的： p(x) = 函数(合并({{0, 长度(l1) - 1}, x(l1)})) q(x) = 函数(合并({{0, 长度(l1) - 1}, y(l1)}))上边两条函数，就是我们需要的东西了： b = 曲线(p(t), q(t), t, 0, 长度(l1) - 1) 这就是折线参数方程了，用了点列函数构成参数方程，它的图形与折线命令生成图形完全一样。

参数曲线最值问题如上图，我们有一条样条曲线，怎么求出它的最高点和最低点（图中红色点）？我们先画出这条曲线（点坐标略去） l1 = {A, B, C, D, E, F, G} a = 样条曲线(l1, 3) 然后对曲线进行求导： b = 参数导数(a)图中兰色虚线为参数导数的图象，这里不能直接用“导数”命令来求曲线导数，因为那样是对自变量t求导，等一下再讲参数导数是怎么回事。 I = 交点(y = 0, b) H = 交点(y = 0, b) f: 垂线(H, x轴) g: 垂线(I, x轴) J = 交点(f, a) K = 交点(g, a)上述操作，简单来说，就是求参数导数函数的零值点，把零值点横坐标代入曲线，求得最值点J、K。其原理是：最值点的切线必然与x轴平等，即斜率为0,也就是其导数为零，当然，一条曲线可能有很多切线平行于x轴的点，我们可以都找出来，比较大小就行了。上边原理，学过导数的都不难理解，比较难理解的是“参数导数”这个命令，我们先对曲线进行一般化处理： p(x) = 如果(0 ≤ x ≤ 1, x(a(x))) q(x) = 如果(0 ≤ x ≤ 1, y(a(x))) c = 曲线(p(t), q(t), t, 0, 1) 这里p和q函数是提取参数方程中x和y的表达式，形成两个函数，这两个函数用曲线命令组织在一起，就是最初的那个样条曲线，这里这样处理一下，是表示对其它参数曲线同样适用，让它一般化而已。我们再定义如下函数： d = 曲线(p(t), q'(t) / p'(t), t, 0, 1) 这个函数图形与"b = 参数导数(a)"完全一样，这就是参数导数的定义了，它是取原参数曲线x表达式为自己的x表达式，用y分量导数除以x分量导数作为自己y的表达式。因此，我们上述操作就有了依据，参数导数上的点，其横坐标与原曲线上的点横坐标是对应相等的，通过零值点我们就可以用作图法确定曲线最值点了。

路径值反求(给定交点或者点的坐标，求其在曲线上路径值) 有时候我们需要把曲线与其它图形的交点在曲线上对应的路径值求出来，或者对样条曲线控制点反求t值，这个在GeoGebra中，是不能直接用"路径值"这个命令的，因为你给出的点只是恰好落在曲线上，并不是路径上的点，但我们可以作变通，使用如下命令可以直接获取点的路径值：路径值(最近点(曲线, 给定点)) 现举例如下： g(x) = x² G = (-1.79728, 0.3667) H = (2.00135, 1.44022) h: 直线(G, H) J = 交点(g, h) I = 交点(g, h)显然，交点I、J是不能直接使用“路径值命令的”，因为它不是定义在曲线g(x)上，只是计算后得到的点，我们用如下命令： i = 路径值(最近点(g, I)) K = 描点(g, i) j = 路径值(最近点(g, J)) L = 描点(g, j)用K、L替换两个交点，就实现使交点在路径上了，K、L与两交点是分别相等的。再研究一下样条曲线控制点反求，然后我们对样条曲线分段，有人可能会说，样条曲线参数方程不是给出了各点路径值了吗？但我们怎么自动获取呢？如果样条曲线控制点本身就是动态的，更不容易获取，因此，我们还是采用上上述方法，注意一点的是，样条曲线求t值与求路径值是等价的。 A = (-0.68797, -0.60429) B = (-0.26407, 0.36463) C = (1.01522, 0.31164) D = (1.09091, -0.29393) E = (2.18095, -0.63457) F = (2.72597, 0.26623) l1 = {A, B, C, D, E, F} a = 样条曲线(l1, 3) l2 = 映射(路径值(最近点(a, M)), M, l1)如上，我们一次性地求出了各控制点A、B、C、D、E、F在曲线上的t值（或者路径值)。 l3 = 序列(曲线(a(t), t, l2(i), l2(i + 1)), i, 1, 长度(l1) - 1) b = 元素(l3, 1) c = 元素(l3, 2) d = 元素(l3, 3) e = 元素(l3, 4) f = 元素(l3, 5) (当然，列表l3我们可以配合表格功能，自动放入表格中，实现分段曲线单独提取）。

点动成线，线动成面，面动成体

牟合方盖

多个函数的区间化分段（不使用交点分段）如图，三个函数：最后要实现这样的结果：这个其实就是分段函数了，一般做法是求出交点，用交点分段，这里采用函数比较法： f(x) = x² - x - 2 g(x) = sin(x) h(x) = x - 5 p(x) = 如果(f(x) ≤ g(x), f(x), g(x)) 第一个比较函数图形如下：然后继续比较： q(x) = 如果(p(x) ≥ h(x), p(x), h(x))最后再区间化： s(x) = 如果(-6 ≤ x ≤ 6, q(x))

小技巧：隐式函数（方程）的区间化如图，两个隐式函数： eq2: 5x + 2y - x y² = 5 eq4: x² + 2y² = 1如果我们只研究一象限图形，甚至那个高次曲线我们限定y的取值范围，怎么弄呢？其实在GeoGebra中，是可以直接弄的，只是心服前没掌握好方法。 eq1: 如果(x ≥ 0 ∧ y ≥ 0, x² + 2y²) = 1 eq3: 如果(0 ≤ y ≤ 2, 5x + 2y - x y²) = 5关键就在于方程不能整个放入“如果”指令括号中，左边表达式在括号内，右边表达式在括号外，如：如果(x ≥ 0 ∧ y ≥ 0, x² + 2y²) = 1，完全可以写成：如果(x ≥ 0 ∧ y ≥ 0, x²) = 1 - 2y² 或者：如果(x ≥ 0 ∧ y ≥ 0, x² + 2y² - 1) = 0

立体汉字制作本贴没什么代码，与立体勾股注水制作类似，首先是在平面把汉字图形放进来，然后用点描边。以岁字为例：把图片放进来，调整大小和位置，然后描点：这里是从O_5开始，最后要回到它或者是和它相邻的点，中间有重复点（在重复路径上），遇到描重复点时，先在已有点附近描上点，然后在代数修改为此点等于已有的那个点。 l6 = {O_5, P_5, Q_5, R_5, S_5, T_5, U_5, V_5, W_5, Z_5, A_6, B_6, C_6, D_6, E_6, F_6, G_6, H_6, I_6, J_6, K_6, L_6, M_6, N_6, O_6, P_6, Q_6, R_6, S_6, T_6, U_6, V_6, W_6, Z_6, A_7, B_7, C_7, D_7, E_7, F_7, G_7, H_7, I_7, J_7, K_7, L_7, M_7, N_7, O_7, P_7, Q_7, R_7, S_7, T_7, U_7, V_7, W_7, Z_7} 这里列表放上来，是可以看看点的顺序,其中Q_7=D_7,P_7=C_7。其它汉字同样处理，这样可以让一个汉字用一个多边形解决。当然，也可以把汉字折分成几个多边形，免的来回描点，如“祖”字：点、示旁、且，分别为多边形p1、p2、p3。用多边形命令把这些点画成多边形： p1 = 多边形(l1) p2 = 多边形(l2) p3 = 多边形(l3) p4 = 多边形(l4) p5 = 多边形(l5) p6 = 多边形(l6)l7 = {p1, p2, p3, p4, p5, p6} l7' = 切变(l7, x轴, 0.5) 关闭p1--p6显示，打开l7'显示，做个投影，然后打开3D视图区让平面汉字站起来： p1' = 旋转(p1, π / 2, x轴) p2' = 旋转(p2, π / 2, x轴) p3' = 旋转(p3, π / 2, x轴) p4' = 旋转(p4, π / 2, x轴) p5' = 旋转(p5, π / 2, x轴) p6' = 旋转(p6, π / 2, x轴)再让汉字厚起来： f = 棱柱(p1', 0.4) e = 棱柱(p2', 0.4) d = 棱柱(p3', 0.4) c = 棱柱(p4', 0.4)、 b = 棱柱(p5', 0.4) a = 棱柱(p6', 0.4)

再谈几何反演（光学意义及广义几何反演） GeoGebra中可以直接使用工具“反演",关于其定义及几何特性，大家可以百度，这里谈谈其光学意义及广义上的反演，这个广义反演只是在这里暂时起个名字，实际讨论的是一个几何图形关于任意圆锥曲线对称问题。先来看看几何图形的轴对称：当AB为一条直线时，原像与镜像全等，只是方向相反，这个在光学上好比是照镜子。但当我们在AB上取一点，把AB变为圆弧AGB后，其对称图形变化就大了：从光学意义上来说，相当于原像在照哈哈镜，其实镜像就是原像在圆弧所在圆的反演图。 k: 圆周(B, G, A) t1' = 对称(t1, k)

双三次样条曲面在GeoGebra中如何实现？如题，这是一个讨论问题，尽管网上给出了双三次样条曲面的复杂表达式，但可能是本人看不懂，一直没能够转化到GeoGebra中来，有哪位大神做过，不妨放上来学习一下。本人如今只想到了替代办法，就是探讨由四条曲线决定的曲面问题，我们已经实现了三条曲线曲面问题，如何继续实现四条曲线的曲面，由于运算量太大，我们就在二维平面中讨论。如下图，平面四条样条曲线a、b、h、d：(直接略去点的坐标了） l1 = {A, B, C, D, E} a = 样条曲线(l1, 3) l2 = {F, G, H, I, J} b = 样条曲线(l2, 3) l3 = {E, M, L, K, J} d = 样条曲线(l3, 3) l4 = {A, P, O, N, F} h = 样条曲线(l4, 3) 由于在我的贴《平面曲面（网格）》中已经详细介绍了三条曲线形成的曲面网格，因此直接给出代码： k = 10 e = 曲线((1 - u / k) E + u / k J, u, 0, k) f = 曲面((1 - u / k) a(v / k) + u / k b(v / k) + d(u / k) - e(u), v, 0, k, u, 0, k)这个网格曲面只能满足三条曲线，同样，我们对左边曲线作曲面： g = 曲线((1 - u / k) A + u / k F, u, 0, k) i = 曲面((1 - u / k) a(v / k) + u / k b(v / k) + h(u / k) - g(u), v, 0, k, u, 0, k)它也只能满足三条曲线，这两个网格曲面如何叠加在一起，形成曲面i（绿色）到曲面f（红色）的过渡呢？我们继续沿用过渡图形的作法，对曲面进行运算，由于这个运算量大，容易卡死，建议别在3D环境中试： j = 曲面((1 - u / k) i(u, v) + u / k f(u, v), u, 0, k, v, 0, k) 这个表达式看似简单，实则是双重过渡运算，基本实现了四条曲线形成曲面的想法，但总觉得哪些地方可以简化，减少运算量，不然老是不能用于3D环境，意义就不太大，总不至于用这方法给封闭图形填色吧，太奢侈了。

平面曲面（网格）从最简单网格开始： a = 曲面((u, v), u, 0, 10, v, 0, 10)这是一个平面曲面，它有参数方程，用这个方法画网格，比用序列命令方便，一是可以直接定位曲面上的点，二是可以变形。定位点，如: N=a(2,6)要变形的话，我们需要这个网格曲面更一般的表达式，先标出四角点吧： A = (0, 0) B=(10,0) C=(10,10) D=(0,10) 然后作直线AB、CD参数方程： b = 曲线((1 - u) A + u B, u, 0, 1) c = 曲线((1 - u) D + u C, u, 0, 1) 绘制曲面e，两曲线之间曲面绘制方法，替代曲面a: k=10 (滑动条，控制网络密度，1到50，增量1） e = 曲面((1 - u / k) b(v / k) + u / k c(v / k), v, 0, k, u, 0, k)表面看，它与曲面a没区别，其实区别大了，它是同两条线段AB和BC生成的，移动ABCD四个点它是会变形的：增加一些点，继续用曲线取代线段： E = (3.06, 0.66) F = (5.66, -0.62) G = (8.16, 0.24) H = (3.14, 10.56) I = (5.58, 9.66) J = (8.86, 10.3) l1 = {A, E, F, G, B} l2 = {D, H, I, J, C} f = 样条曲线(l1, 3) g = 样条曲线(l2, 3) h = 曲面((1 - u / k) f(v / k) + u / k g(v / k), v, 0, k, u, 0, k)再继续将直面纹变为曲面纹： K = (10.44, 7.86) L = (9.56, 5.46) M = (10.6, 2.68) l3 = {B, M, L, K, C} i = 样条曲线(l3, 3) d = 曲线((1 - u) B + u C, u, 0, 1) j = 曲面((1 - u / k) f(v / k) + u / k g(v / k) + i(u / k) - d(u / k), v, 0, k, u, 0, k)调整k，增大网格密度：注：本贴与《导线为曲线的空间曲面》类似，但侧重点不同，这里主要是讲二维环境下网格曲面。

再谈拉格朗日法求最值（完整运算区求法）设x+2y=1，求x+√(x²+y²)最大值。只是在第一步，把约束条件方程右边移到左边，在运算区中，x+2y-1=0与x+2y-1等同，因此不考虑方程右边情况。为了便于可读，我们给运算区每行命了名，可以不用，直接使用$1、$2也行。第一二步，输入约束条件方程a和求最值式子b；第三步：构造拉格朗函数表达式：b+n a 第四步：求出偏导列表l1:{导数(f,x),导数(f,y),导数(f,n)} 第五步：求出方程组的解：l2:精确解(l1,{x,y,n}) 第六步：扁平化列表：l3:扁平列表(l2) 第七步：方程组x、y的解代入最值表达式，求得结果：替换(b,l3)

这次上一个简单的作图：没什么技术含量，通过正弦函数旋转成曲面，正弦函数有一定向外衰减就行了，然后再加一个向外平移： k = 0 （滑动条，0到4π，速度5） a = 曲线(0, t, 0.5 - 3 / t sin(1.5 (t - k)), t, 0.5, 30) f: z = 0 b = 曲面(曲线(a(t), t, 0.5, 30), 2π, z轴)

样条曲面上作图我们通过两条或者是三条样条曲线生成的曲面，它有两个参数u、v，因此我们可以把生成的曲面看作是一个新的坐标系，既然是坐标系，我们就可以在其上面作图：上图是在曲面上边作一个月形图，我们先生成这个曲面坐标系吧： C = (-2.23573, -1.36689, 1.80146) D = (-1.29832, 1.48708, 1.66691) E = (3.3498, -3.18408, 0.3428) G = (3.48213, -0.63162, 1.87176) F = (2.18446, 1.24183, 3.83644) a = 曲线((1 - u) C + u D, u, 0, 1) b = 样条曲线({E, G, F}, 3)这个平面和二维下坐标平面是对应关系，只是纵横坐标取值范围都是0到1而已，我们想在平面上作图，其实先在平面坐标（左边）作出参考图，然后映射到曲面上： A = (0.19994, 0.39742) B = (0.79944, 0.60051) I = (0.44014, 0.68039) d = 曲线((1 - u) A + u B, u, 0, 1) f = 样条曲线({A, I, B}, 3) e = 曲线(c(d(t)), t, 0, 1) g = 曲线(c(f(t)), t, 0, 1)如上，关键是e = 曲线(c(d(t)), t, 0, 1)和g = 曲线(c(f(t)), t, 0, 1)两个表达式，因为平面坐标系我们把用图弄在纵横坐标都是0到1范围，这样就完全与曲面对应了，其参数方程u和v的取值与平面坐标点的坐标是完全对应的，因此，平面坐标上的点可以直接代入曲面参数方程。然后是给图形着色： h = 曲面((1 - u) e(v) + u g(v), v, 0, 1, u, 0, 1) 我们直接用在曲面上生成的曲线画曲面，对曲面着色就行了，修改一下图形图层，让颜色不被大曲面盖住。

导线为曲线的空间曲面我们讨论过两空间曲线之间的曲面问题，我们采用的是导线为直线，如下图：（点略去） l1 = {A, B, C, D} a = 样条曲线(l1, 3) l2 = {E, F, G, H} b = 样条曲线(l2, 3) c = 曲面((1 - u) a(t) + u b(t), t, 0, 1, u, 0, 1) 曲线a移动到b形成的曲面，两端是直线，它的导线是线性的，如果我们需要在形成曲面的同时，母线(a)沿某一曲线运动形成曲面呢？我们设一曲线如下： l3 = {D, I, J, H} e = 样条曲线(l3, 3) 同时给出这条曲线临近的线段DH，作为参照线： d = 曲线((1 - u) D + u H, u, 0, 1)曲线a到b的过程中，我们将a上的点以参照线为起点平移到曲线e上，就可以实现导线为曲线的曲面形成，方程如下： f = 曲面((1 - u) a(t) + u b(t) + e(u) - d(u), t, 0, 1, u, 0, 1)当然，样条曲面是采用双样条矩阵计算得到，计算量非常大，我们这里是作了简化处理，只处理了导线为一条曲线的情况，更多导线用此法就不行了。

不规则曲面绘制不规则曲面一般用样条曲线来控制其形状，我们讨论过两条曲线之间曲面形成的问题，但较为复杂的空间曲面不能只用此法生成曲面，因为有个最大问题，曲面之间的光滑拼接，这里有三条空间样条曲线：l1 = {A, B, C, D, E} l2 = {F, G, H, I, J} l3 = {K, L, M, N, O} a = 样条曲线(l1, 3) c = 样条曲线(l3, 3) b = 样条曲线(l2, 3)由这三条曲线构成的曲面怎么弄，我们先试试两曲线之间曲面生成之法： q = 曲面(u a(t) + (1 - u) c(t), u, 0, 1, t, 0, 1) r = 曲面(u c(t) + (1 - u) b(t), u, 0, 1, t, 0, 1)两曲面拼在一起，是不光滑的，这个显然不是我们希望的曲面，我们需要继续处理，本例我们用平行于水平面的平面去切上述三条曲线，得到系列交点，然后组成若干样条曲线： l4 = {a, c, b} l5 = 序列(序列(交点(z = n, 元素(l4, m)), m, 1, 3), n, 0, 6.5, 0.5) l6 = 映射(样条曲线(u, 3), u, l5)我们的思路是在新得到的这些样条曲线之间生成若干曲面，这个要借助于表格了： l8 = 序列("B" + (i) + "= Element(l6," + (i) + ")", i, 1, 长度(l6)) 在代数区中输入：执行(l8) 这些曲线就进入表格中了，也就是每条曲线有名称了。 l9 = 序列("Surface(u* B" + (i) + "(t) + (1 - u) *B" + (i + 1) + "(t), u, 0, 1, t, 0, 1)", i, 1, 长度(l6) - 1) 这是生成若干曲面的文本命令列表，需要在代数区中输入：执行(l9) 生成图形如下，这个就是我们想要的曲面了：

两空间曲线之间的曲面先讨论一下平面两条曲线之间的过渡图形，假如有函数p(x)与q(x)，从p到q过渡曲线公式是： u*p(x)+(1-u)q(x) 这里我们设： p(x) = x + 5 q(x) = sin(x - 1) - 1 l6 = 序列(u p(t) + (1 - u) q(t), u, 0, 1, 0.1) 得到的图形如下：多数情况下曲线表达式是不确定的，我们可以用样条曲线代替：设有下列两样条曲线（具体的点列略去）： g = 样条曲线(l3, 3) h = 样条曲线(l4, 3) 我们参考上边的方法，将g和h作为简单函数处理： l5 = 序列(曲线(u g(t) + (1 - u) h(t), t, 0, 1), u, 0, 1, 0.1) 这里与上边不同的是，我们要规定t的取值范围，因此用了曲线命令，图形如下：基于上边的思路，在3D环境下是否可以这样实现两曲线之间的曲面形成呢？由于多数情况下，3D曲线是以参数方程形式给出，我们这里先试试参数方程，设有两空间曲线： a = 曲线(cos(t), sin(t), sin(2t) + 3, t, 0, 2π) b = 曲线(2cos(t), 2sin(t), cos(2t) - 1, t, 0, 2π)按上边的方法试试： c = 曲面(u a(t) + (1 - u) b(t), t, 0, 2π, u, 0, 1)我们得到了我们需要的曲面，说明这个方法是可行的，再来试试空间样条曲线，这里我们直接在两曲线上取点了： l1 = 序列(a(t), t, 0, 2π, 2π / 30) l2 = 序列(b(t), t, 0, 2π, 2π / 30) d = 样条曲线(l1, 3) e = 样条曲线(l2, 3) f = 曲面(u d(t) + (1 - u) e(t), t, 0, 1, u, 0, 1)与上边图形略有不同，但基本上实现了我们所需，样条曲线形成的曲面更具有过渡中的变化感，比参数曲线直来直去的曲面要柔和些，注意一点的是，这里t值取值范围是0到1，是由样条曲线决定的，与参数曲线t的取值不同。

立体勾股注水这个图是将以前弄的平面勾股注水立体化，我没找到以前的贴子，只好先从平面勾股注水说起： A = 描点(x轴) B = 描点(x轴) C = 描点(半圆(A, B)) poly1 = 多边形(A, C, 4) poly2 = 多边形(C, B, 4) poly3 = 多边形(B, A, 4) 先画出勾股矩形，如下：s: 直线(A, B) t: 垂线(E, s) d: 垂线(F, s) J = 交点(t, s) K = 交点(d, s) M = 如果(y(D) ≥ y(G), D, G) f_1: 直线(M, e) L = 交点(f_1, t) N = 交点(d, f_1) q1 = 多边形(J, K, N, L) 根据上边两矩形位置，画出注水矩形范围框。p = 2.39 g_1: y = p P = 交点(g_1, q1) O = 交点(g_1, q1) q2 = 多边形(J, K, P, O) q3 = 相交路径(q2, poly1) q4 = 相交路径(q2, poly2) 设一滑动条p，根据p值确定动态注水矩形，然后与上边两矩形相交，得到的图为注水图形。J_1 = 描点(线段(H, A), 1 - p / y(M)) J_2 = (x(I), y(J_1)) q5 = 多边形(H, I, J_2, J_1) 同样用滑动条控制，画底边矩形注水图，完成平面图形：打开3D视图，将我们得到的上述六个图立体化，基本思路就是先将图形立起来，然后再用棱柱命令立体化： poly1' = 旋转(poly1, π / 2, c) poly2' = 旋转(poly2, π / 2, c) poly3' = 旋转(poly3, π / 2, c) q3' = 旋转(q3, π / 2, c) q4' = 旋转(q4, π / 2, c) q5' = 多边形(H', I', N_1, O_1) u = 棱柱(poly1', -0.4) v = 棱柱(poly2', -0.4) w = 棱柱(poly3', -0.4) v_1 = 棱柱(q4', -0.4) w_1 = 棱柱(q5', -0.4) u_1 = 棱柱(q3', -0.4)

多孔球面怎么画要在球面上打孔，一个孔还好办，两个孔心连线过球心也好办，画一条弧线旋转成曲面就行了（见《红灯笼》贴），但如下图，在一个球面上开六个圆孔，孔在三条轴线出入位置，这个怎么画？很显然，它不可能简单地用一条弧线旋转而成，只能对球面进行拼接：我们先在x=4平面上作一个半圆： A = (4, -1, 0) B = (4, 1, 0) eq1: x = 4 c: 半圆(A, B, eq1)然后对这个半圆以y轴为旋转轴作45度曲面，再以水平面对称一下： a = 曲面(c, π / 4, y轴) b = 对称(a, xOy平面)把a、b两个图组合，以此为基础，先弄六个孔出来： l0 = {a, b} l1 = 旋转(l0, 0, y轴) l2 = 旋转(l0, π / 2, y轴) l3 = 旋转(l0, π, y轴) l4 = 旋转(l0, 3π / 2, y轴) l5 = {l1, l2, l3, l4} l5' = 旋转(l5, π / 2, z轴)然后想办法把球面补全，这里我们需要补全四个位置，只需要一个图形，然后旋转它就行了： C = (1, 0.9, -4) D = (1, 0.9, 4) E = (4, 1, 0) d: 外接圆弧(C, E, D) 这里我们用弧线旋转法生面曲面，弧线位置如下，坐标作了一些修正，减小缝隙：e = 曲面(d, 62°, z轴) e1 = 旋转(e, π / 2, z轴) e2 = 旋转(e, π, z轴) e3 = 旋转(e, 3π / 2, z轴) 生成曲面，旋转角度以遮挡圆孔为准。