有十二个大小相等的球,除开一个之外,其余各个质量相等.现在要用天平把那个质量不同的球称出来,只许称三次,并且要确定它是轻些或者重些,问应怎样称?
这个问题用天平已经解决,不过通常不容易找到天平,手边常有的只是买菜的市秤（目前广泛采用的是电子秤）,它的效用与弹簧秤一样,现在问,如果不用天平只许用市秤,上述问题的解法如何?
听说十二个球保证找出一个差异球要称四次,怎么称？
进一步，十五个球保证选出一个差异球怎么称呢？

用市称去称4次是可以做到的，要我写过程吗？

楼主这道题需要注意几点：
1.在称重之前不知道正常球的标准重量是多少；
2.市秤本质上就是一个单托盘天平，每次称重只返回一组球的重量和，然后可自行计算得出均重；
3.提出的策略不仅要能保证找出差异球，且要能确定差异球偏重还是偏轻（相比之前那个只要求找出差异球的帖子，这是追加的要求）
以最简单的策略逐个称重为例，运气好至少要称3次（1~3号是2个正常球+差异球的情形），运气差要称12次（12号是差异球的情形），保证的意思是指运气差所需的次数，也是能100%概率能找出差异球并确定偏重还是偏轻。

如果是天平称球，我们在从初始到目标的推进中，能做的操作只有一个，那就是在天平的左右侧放上球，比较左右的质量大小。我们几乎不用想就可以知道，如果想达到“有效称重”的目的，左右两侧一定会放置相等数量的小球。因为，如果左边放一个球，右边放两个球，这样的称重是没有任何意义的，我们无法从这样称重结果中得出任何的结论。
但是，本题采用的是市秤，那每次放球数量就得根据具体情况有所改变，抛砖引玉：
【问1】当好球、坏球的质量不明，球数N是4的时候，次数n是多少可以知道坏球的质量？
【解1】当N=4的时候，n=3。
这时假定球的名称是a，b，c，d。首先把a球放在秤盘中求出第一盘质量，再放b，c两球在第二盘中，如果第二盘的质量恰是第一盘的二倍，坏球就是d球，再称一次就知道它的质量；如果第二盘的质量不是第一盘的两倍，坏球在头两盘中，第三次就称b球，这样就可以确定a，b，c各个球的质量，那个质量与其余两个不同的球便是坏球。
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所以，市秤称球对每次称量的球数目要做一些思考。

好老的题目呀，我20年前上高中玩石器时代的时候遇到的……
前两年还说什么算出来能上清华
我记得我当时用两种方法做出来了，现在印象深的只有一种，我简单写一下。
12个球分3组，每组4个
第一次：4：4，剩下4
如果不一样重，此时出现4个（坏球可能重），4个（坏球可能轻），4个好球
第二次2坏球可能重+1坏球可能轻：2坏球可能重+1坏球可能轻（剩下两个坏球可能轻没对比）
如果不一样重，那么要么是重的那边两个坏球可能重中有一个是坏球，要么轻的那边的一个坏球可能轻是坏球。
第三次1坏球可能重：1坏球可能重
一样就是另一边可能轻的是坏球，且轻
如果不一样，那重的是坏球，且重。
其他可能性我就懒得写了，这都想不出来就别混了。

1 2个球用市秤称重4次确保找出假球。
第一次称1234
第二次称5678
如1234总重=5678总重，
第三次称9.10，平均重等于四球平均重时，第四次称11即可。9、10平均重不等于四球平均重时，第四次称9即可。
如1234总重不等于5678总重，
第三次称12569。
当12569平均重=1234平均重时，
第四次称7。不等于四球平均重7是假球，否则8是假球。
当12569平均重=5678平均重时，第四次称3，然后分析同前。
当12569平均重既不等于1234平均重，也不等于56 78平均重时，但符合12569总重-1234总重=5678平均重，说明假球是1或2。第四次称1即可。若符合12569总重-5678总重=1234平均重，说明假球是5或6，第四次称5即可。
以上不能保证区分假球较重或较轻，如果能保证区分轻重，需要增加1次。
大家看看漏洞有哪些？

8楼@健康生活人类 答案是满足本帖问题的，进一步的，是否能4次内确定假球偏重或偏轻，或者说假球的具体质量。
上班摸鱼时间把准备好了的定理贴出来：
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【定理】如果2∧（n+1）-1(n≥2)个球中有2∧n个球与另外一个(或几个)好球相加的总质量是已知的，那么只要称n次就可以找出坏球,并且分别知道好球与坏球的质量。
证明分两个步骤:
(1)当n=2的时候,一共有七个球,假定为a,b,c,d,e,f,g.再假定另外已知质量的好球是p,并且a,b,c,d,p五球的总质量是已知的。于是第一次就称a,b,e,f四球,就可分下列的情形：
①如果第一盘的质量恰是五球总质量的五分之四,坏球就是g球。如果第一盘的质量不是五球总质量的五分之四,第二次就称b,c,e三个球。
②如果第一、第二两盘质量比恰是4:3,坏球就是d球。
③如果五个球总质量与第二盘质量的比恰是5:3,坏球就是f球。
④如果五个球总质量与第二盘质量的差恰是第一盘质量的一半,坏球就是c球。
⑤如果第一盘减第二盘的质量恰是五个球总质量减第二盘质量的一半，坏球就是b球。
⑥如果第一盘减第二盘的质量恰是五个球质量的五分之一,坏球就是e球。
⑦如果五个球总质量减第一盘的质量恰是第二盘的三分之一,坏球就是a球。
如果另外的好球不只一个,只要把质量比适当地加以变更,就可得到相似的证明。因此根据上面七种情形,定理在n=2的时候,是完全正确的。
(2)应用数学归纳法,假定定理对于n-1(n≥3)是正确的,试证定理对于n也是正确的。这时只要把 2∧（n+1）-1个球中2∧（n+1）-2个两两配对,就得2∧n-1对,根据归纳假设n-1次可以称出每一对中都是好球,或者可以称出某一对中有坏球。如果每一对中都是好球,那么在 2∧（n+1）-1个球中剩下的一球就是坏球，再称一次就求出它的质量。如果某一对中有坏球,因为这对的质量是可以求出的,所以也只要再称一次就可以找出坏球。两种情形都只要称n次就可以找出坏球,因此定理完全得证。
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基于上述定理，来看12球，则只要前两次得到定理中所述的“5个球总质量（含一个好球质量）”，后面2次就能得到坏球具体质量。同理适用于15球。

回复楼主：
第一次称1234
第二次称5678
如1234总重=5678总重，
第三次称9.10，平均重等于四球平均重时，第四次称11。11的平均重仍等于前面的平均重，那12是假球确定无疑，但无法知道假球具体重量，也不知是较重还是较轻。
所以4次称重无法分辨假球是轻是重，无法知道假球具体重量。

以下为了方便起见,那个质量不同的球叫做坏球,其余质量相同的球叫做好球,再假定球的总数是N,要称的次数是n。先从简单的情形开始。
【定理1】如果好球与坏球的质量都是已知的,n次就可以称2∧n个球。
证明分两个步骤：
(1)当N=1的时候,因为坏球的个数是1,所以不必称。这就是说n=0的时候，定理是正确的。
(2)应用数学归纳法,假定n次可称2∧n个球,试证n+1次可称 2∧（n+1）个球。这是因为在2∧（n+1）个球中任意取出 2∧n个球放在秤盘中,如果恰是好球质量的 2∧n倍,坏球在盘外 2∧n个球中,如果不是好球质量的2∧n倍,坏球在盘上 2∧n个球中。两种情形,根据归纳假设,都只要再称次就可以找出坏球。

【定理2】当好球质量是已知的,n次就可以称2∧（n+1）个球,并且可以找出坏球质量。
证明分两个步骤：
(1)当N=1的时候,因为坏球的个数是1,所以没有好球。这时只称一次就可以知道它的质量,也就是说当n=1的时候,定理是正确的。
(2)应用数学归纳法,假定n次可称2∧（n+1）个球,试证n+1次可称 2∧（n+1）-1个球。这是因为在2∧（n+1）-1个球中任意取出2∧n个球放在秤盘中,如果恰是好球质量的2∧n倍,坏球在盘外2∧（n+1）-1球中,根据归纳假设再称n次就可以找出坏球。如果不是好球质量的2∧n倍,坏球在盘上2∧n个球中,根据定理1,再称n次也可以找出坏球,因此定理得证。

【定理3】当好球、坏球的质量不明,球数N分别是1,2,3,4,5,6,7的时候，次数n分别是1,2,3,3,3,3,4,并且可以知道坏球的质量。
证明：只有N=4,5,6的情形有写出的必要,其他的情形都非常简单。
(1)当N=4的时候,n=3。
这时假定球的名称是a,b,c,d。首先把a球放在秤盘中求出第一盘质量,再放b,c两球在第二盘中。如果第二盘的质量恰是第一盘的二倍,坏球就是d球,再称一次就知道它的质量。如果第二盘的质量不是第一盘的两倍,坏球在头两盘中,第三次就称b球,这样就可以确定a,b,c各个球的质量,那个质量与其余两个不同的球便是坏球。
(2)当N=5的时候,n=3。
这时假定球的名称是 a,b,c,d,e。第一次称a,b两球，第二次称c,d两球。如果头两盘的质量相等,e便是坏球,再称一次就知道它的质量。
如果头两盘的质量不等,第三次称 b,d,e三球。
如果第二、第三两盘的质量比恰是2:3,那么坏球就是a球。
如果第一、第三两盘质量比恰是2:3,坏球就是c球。
如果第三盘减去第二盘的质量恰是第一盘质量的一半,坏球就是 d球。
如果第三盘减去第一盘质量恰是第二盘的一半,坏球就是b球。
(3)当N=6的时候,n=3。
这时假定球的名称是a,b,c,d,e,f。第一次称a,b,c三球,第二次称 b,c,d,e四球,于是有下列情形。
①第一、第二两盘质量的比恰是3:4,坏球就是f球,再称一次就知道它的质量。但第一、第二两盘质量比不是3:4,那么坏球在头两盘中。第三盘称c,e两球。
②如果第二、第三两盘质量比恰是4:2,坏球就是a球。
③如果第一、第三两盘质量比恰是3:2,坏球就是d球。
④如果第二盘减第三盘的质量与第一盘质量比恰是2:3,坏球就是e球。
⑤如果第一盘减第三盘的质量恰是第二盘减第三盘质量的一半,坏球就是c球。
⑥如果第二盘减第一盘的质量恰是第三盘质量的一半,坏球就是b球。
根据上面三个步骤,定理完全得证。至于七个球至少要称四次的证法从略。

【定理4】如果2∧（n+1）-1(n≥2)个球中有2∧n个球与另外一个(或几个)好球相加的总质量是已知的，那么只要称n次就可以找出坏球,并且分别知道好球与坏球的质量。
证明分两个步骤:
(1)当n=2的时候,一共有七个球,假定为a,b,c,d,e,f,g.再假定另外已知质量的好球是p,并且a,b,c,d,p五球的总质量是已知的。于是第一次就称a,b,e,f四球,就可分下列的情形：
①如果第一盘的质量恰是五球总质量的五分之四,坏球就是g球。如果第一盘的质量不是五球总质量的五分之四,第二次就称b,c,e三个球。
②如果第一、第二两盘质量比恰是4:3,坏球就是d球。
③如果五个球总质量与第二盘质量的比恰是5:3,坏球就是f球。
④如果五个球总质量与第二盘质量的差恰是第一盘质量的一半,坏球就是c球。
⑤如果第一盘减第二盘的质量恰是五个球总质量减第二盘质量的一半，坏球就是b球。
⑥如果第一盘减第二盘的质量恰是五个球质量的五分之一,坏球就是e球。
⑦如果五个球总质量减第一盘的质量恰是第二盘的三分之一,坏球就是a球。
如果另外的好球不只一个,只要把质量比适当地加以变更,就可得到相似的证明。因此根据上面七种情形,定理在n=2的时候,是完全正确的。
(2)应用数学归纳法,假定定理对于n-1(n≥3)是正确的,试证定理对于n也是正确的。这时只要把 2∧（n+1）-1个球中2∧（n+1）-2个两两配对,就得2∧n-1对,根据归纳假设n-1次可以称出每一对中都是好球,或者可以称出某一对中有坏球。如果每一对中都是好球,那么在 2∧（n+1）-1个球中剩下的一球就是坏球，再称一次就求出它的质量。如果某一对中有坏球,因为这对的质量是可以求出的,所以也只要再称一次就可以找出坏球。两种情形都只要称n次就可以找出坏球,因此定理完全得证。

@初音未来 吧主好，我遍搜了全贴吧，本帖算是市秤（电子称）称球问题的真正第一个详细解答贴，希望可以加精，以便吧友快速获取“新知识”。
若感觉含精量有待考证，那我暂时不发后面破解诸如12球、15的具体获知坏球质量的方案及具体对应【定理】。
欢迎吧友畅所欲言。

最好还是由吧友先贴出【12个球4次选出一个坏球、并且知道坏球质量】的方案吧，看多久破解。
暂时我先不提示了。