问：为什么不能以飞船为参考系，套用洛伦兹变换计算地球的经历的时间？
　　答：因为洛伦兹变换只适用于惯性系，而飞船的变速阶段是非惯性系
因此，若想在飞船系下计算问题（以验证是否仍是地球年长），常规方法是用积分计算地球世界线长，如下图中的灰色粗线，网上搜到中英文文章基本都是这种方法
　　然而，别忘记开篇问答中的“洛伦兹变换只适用于惯性系”，如果我们能找到一种适用于非惯性系的坐标变换，是否也可以直接套用公式用来计算地球的时间？
　　经验证，这个方法是可行的，而且数学门槛低的夸张，几乎不需要微分几何的知识，计算过程也不会用什么奇怪度规。如果能接受我给出的坐标变换，那么门槛只有：
　　①知道cosh的导数是sinh
　　②能理解4速的空间分量是3速v的γ倍
　　（实际上，采用积分方法的其他文章，基本上都是直接给出坐标变换的，即开篇就表明采用rindler坐标系，默认不需要推导）
　　当然，如果不接受直接给的坐标变换，还想看推导过程，那么门槛还需要：
　　③知道闵氏度规是什么；知道闵氏度规衡量时空距离的模方时，有可能减出负值，因此有类时、类空矢量的模方加±的区别

　　以下是计算过程，采取几何单位制，即c=1
　　地球匀速远离阶段3速为v，并于飞船系T时刻开始变速，至T+△T时刻刹停，其中△T趋向于0（主要是为能对比传统惯性系计算出的结论）
　　假设一下变速情况，地球在飞船系的相对3变速，是由飞船在一切参考系的绝对4变速引起的，该4变速为匀4变速
　　现计算半程的地球耗时：

　　一、匀速阶段，飞船系{t,x}为惯性系，与地球系{t',x'}坐标变换为
t'=γ(t-vx)，x'=γ(x-vt)
　　阶段结束时，地球坐标为t=T，x=vT，变换到{t',x'}为t'=γ(T-v²T)=T/γ
　　地球在地球系{t',x'}的t'坐标，就是其自身携带钟的读数。即匀速阶段（以飞船钟从0走向T而界定的阶段），地球钟从0走向T/γ
　　因γ＞1，飞船认为地球更年轻

　　二、变速阶段，飞船系{t,x}为非惯性系，在此先不加证明的给出它与地球系{t',x'}坐标变换如下，推导附在楼下
t'=x·sinh(at)，x'=x·cosh(at)
　　其中a为飞船4加速模长，本题中可由已知量v、△T表示，此外注意事项还有：
　　①{t',x'}系其实是飞船系t=0时的瞬时静止惯性系，若规定刹停状态的t值取0，则{t',x'}系恰好等效地球系
　　②{t,x}和{t',x'}原点重合，但较上阶段两系原点有挪动，该点在{t',x'}中位于飞船刹停时刻的“船头前方”1/a处，在{t,x}中永恒位于飞船“船头前方”1/a处
　　现在开始计算，分为三步
　　（一）计算地球钟的变化情况，方法与匀速阶段采用的坐标变换法类似
　　关于地球进入变速阶段初始事件A，由①可得初始时刻为tᴀ=-△T，由②可得初始位置为xᴀ=vT+1/a
　　根据坐标变换，该初始事件A在{t',x'}为
t'ᴀ=(vT+1/a)sinh(-a△T)
x'ᴀ=(vT+1/a)cosh(-a△T)
　　即变速阶段（以飞船钟从-△T走向0而界定的阶段），地球钟从t'ᴀ走向0。注意该阶段建坐标系时原点有挪动，相当于将钟重新调了时间
　　（二）解出参数a，由于具有绝对的4变速的还是飞船，因此放在地球系{t',x'}计算飞船的a更简单
　　飞船在飞船系{t,x}中静止，运动方程为t=τ，x=1/a
　　变换到{t',x'}为x'=(1/a)·cosh(aτ)，t'略
　　求导得4速空间分量dx'/dτ=sinh(aτ)，这是整个变速过程中4速空间分量随τ的函数
　　代入初始条件，初始点在飞船系{t,x}是(-△T ,1/a)，即τ=-△T。飞船在地球系的初速度-v，即4速空间分量-γv
　　代入得：-γv=sinh(-a△T)
　　（三）取极限、变形、分析结论
　　t'ᴀ=(vT+1/a)sinh(-a△T)= -γv(vT+1/a)
　　即变速阶段（以飞船钟从-△T走向0而界定的阶段），地球钟从-γv(vT+1/a)走向0，飞船认为地球经历了γv(vT+1/a)
　　当△T趋向于0时，可由物理意义分析出，也可由-γv=sinh(-a△T)变形一下分析出：4加速模长a趋向于无穷，1/a趋向于0
　　即飞船认为地球经历时间趋向于γv²T。又因γ=1/√(1-v²)，故有v²=1-γ⁻²，即γv²T可变形为γT-T/γ
　　该值加上匀速阶段的T/γ后为γT。即整个半程，飞船认为地球经历了γT。因γ＞1，飞船认为地球更年长

　　三、两系坐标变换的简要推导
　　分三步，第一步推导飞船的运动方程；第二步推导与飞船相对静止的无数观者的运动方程；第三步，将方程中的两个参数很自然的定义为新系的t和x，得到坐标变换
　　（一）飞船的运动方程
　　设飞船4加速模长为a，设世界线方程在某惯性系S系{t',x'}为t'=t'(τ)、x'=x'(τ)
　　对参数τ求导得4速Uᵃ，设为(U⁰,U¹)。继续求导得4加速Aᵃ=(∂U⁰/∂τ , ∂U¹/∂τ )，分别用闵氏度规度量，得方程组：
-(U⁰)²+(U¹)²= -1
-(∂U⁰/∂τ)²+(∂U¹/∂τ)²=a²
　　注：a²前不带负号原因为4加速类空
　　解得U⁰=±cosh(aτ)，U¹=±sinh(aτ)，故世界线为t'=±a⁻¹·sinh(aτ)，x'=±a⁻¹·cosh(aτ)
　　因积分常数取0，即指定了{t',x'}的坐标原点位于飞船刹停时刻的“船头前方”1/a处
　　式中±和轴的方向定义有关：①若希望t'轴指向未来，则t'式的±应取+。②建坐标系时尽量让事件都落在x'＞0的区域，会使坐标变换的±更简单，故下文只讨论x'式的±为+的情况
　　消参得飞船世界线为双曲线x'²-t'²=a⁻²
　　（二）无数相对静止观者的运动方程
　　正向推导有一定门槛，现直接给出结论并反向证明“符合条件的无数观者相对静止”
　　假设惯性系S系{t',x'}的x'轴线t'=0上遍布无数观者，并假设过(0, L)的观者的世界线为x'²-t'²=L²，改写参数式则为t'=L·sinh(τ/L)，x'=L·cosh(τ/L)，该式也是此类世界线上任意点的坐标表达式。此外，对任意某条世界线，都有以下两点重要性质：
　　①任意一点到原点的距离不变。用S系的闵氏度规直接度量即可，结果就是L
　　②任意一点的瞬时同时线过原点。参数式求导可得4速Uᵃ，设同时线切矢Xᵃ与Uᵃ正交，可得Xᵃ=(sinh(τ/L) , cosh(τ/L))，对比点的坐标可发现，Xᵃ与4位移平行
　　综上，任意观者均相对于原点事件保持恒定空间距离（即沿同时线的时空距离），故所有观者相对静止
　　（三）建立飞船坐标系{t,x}
　　令L=1/a，对应参数式恰为此前算出的飞船世界线，即此观者正是变速飞船，此无数相对静止观者组成的参考系正是变速飞船参考系
　　给无数观者所能达到的所有时空点赋予坐标值：
　　令不同位置观者对应的L值充当飞船系{t,x}的x值，可得坐标变换为x'²-t'²=x²
　　令飞船观者的τ值充当{t,x}的t值，进一步得坐标变换t'=x·sinh(at)，x'=x·cosh(at)
　　该坐标系即rindler坐标系的主要写法之一

附一：积分计算线长的方法
　　利用坐标变换，可将S系的闵氏线元变换成飞船系的rindler线元，即
　　ds²=-a²x²dt²+dx²
　　地球在S系{t',x'}静止，设世界线为t'=τ，x'=D，由上文坐标变换可得，地球世界线在飞船系{t,x}为：D=x·cosh(at)，τ=x·sinh(at)
　　即x=D/cosh(at)，代入线元，于是有：
　　点(-△T' , …)至(0, …)的线长=∫ √(-ds²)
=∫ √(a²(D/ch)²dt²-dt²·a²D²sh²/ch⁴)
=aD∫ sech²(at)·dt
=D·tanh(at)　[定积分-△T至0]
=D·tanh(a△T )
　　其中D就是上文已解出的x'ᴀ，因地球在S系{t',x'}静止，变速阶段初始点A的x'就是任意时刻的D，代入得：
=(vT+1/a)cosh(-a△T)·tanh(a△T )
=(vT+1/a)sinh(a△T)
　　代入上文已解出的sinh(a△T)=γv，再取极限后即可得出一致结果

附二：关于飞船在一切参考系的绝对4加速
　　飞船在地球系显然具有4加速，现计算飞船在变速阶段的飞船系是否具有4加速
　　加速度=d²x/dt²，该公式在弯曲坐标系的版本如下：
Aⁱ=d²xⁱ/dτ²+ ∑ⱼₖ Γⁱⱼₖ (dxʲ/dτ)(dxᵏ/dτ)
　　其中x⁰代表t，x¹代表x
　　Γⁱⱼₖ是和度规分量有关的函数，本坐标系非零项为Γ¹₀₀= a²x，Γ⁰₀₁=Γ⁰₁₀= 1/x
　　飞船在飞船系运动方程x⁰=τ，x¹=1/a，代入4加速度公式后为：
A⁰=0+2Γ⁰₀₁·1·0　=0
A¹=0+Γ¹₀₀·1²　　=1/x　=a
　　因此飞船4加速Aᵃ=(0,a) ，模长为a

以前我也想过，好象也在本吧某回复帖说过，把飞船变速过程微分成无数个惯性系，相邻惯性系做洛伦兹变换，再积分，可以解决飞船折返时以飞船为参照的问题，只是因为以前微积分没学好，几十年没用过又忘得差不多了，加上自己的惰性，没有进行实际计算，这次看到了。

@小宇宙_2024 明白了，我说的F=γm₀a，这里a没有变换，刚才翻出以前推导质能方程的资料，找到过程中有这样一个式子
根据这个式子

附三：放弃闵氏几何，用З维表述推导坐标变换
　　分四步，新增的步骤命名为第零步
　　（零）证明质点在某惯性系S的a∥在该系的v时，质点在瞬静惯K的固有a₀=γ³a
　　设质点在S系{t,x}的速度函数为u(t)，S系相对于K系{t',x'}的速度为常数-v，两速∥时质点在K的速度函数f(t)=[u(t)-v]/[1-u(t)·v]
　　a₀=df/dt'=(df/dt)(dt/dt')
　　其中df/dt=(1-v²)(du/dt)/[1-u(t)·v]²
=a/γ²[1-u(t)·v]²
　　而关于dt和dt'谁慢，应注意到质点在S系dx=v·dt，而在K系dx'≈0，然后任选一系做洛伦兹变换，如dt=γ(dt'+v·0) =γdt'
　　又如dt'=γ(dt-vdx) =γ(1-v²)dt =dt/γ
　　全部代入得a₀=a/γ[1-u(t)·v]²，又因在本题讨论的事件处，速度函数u(t)的值为v，因此有a₀=a/γ(1-v²)²=γ³a

　　（一）求固有3加速保持为a₀的飞船的位置函数x(t)
　　记惯性系S为{t,x}，注意字母不带撇'，和5楼用法相反，主要是为简洁，因为下面有很多计算的式子
　　dv/dt=a，又因为上文结论a₀=γ³a，即有dv/dt=a₀/γ³，但因γ是v的函数，不容易对t积分，故取倒数dt/dv=γ³/a₀，于是有：
t(v)=∫ (γ³/a₀)dv　=a₀⁻¹∫ (1-v²)⁻¹·⁵dv
=a₀⁻¹v/√(1-v²)
　　反解出v=t/√(a₀⁻²+t²)
　　x(t)=∫ [t/√(a₀⁻²+t²)]dt　=√(a₀⁻²+t²)
　　再求出固有时τ的函数，将变速过程微分成无数瞬间，记t时刻对应的瞬时惯性系为K，将dt用洛伦兹变换至K系后就是dτ
　　S系dt内飞船的位移dx=dt·t/√(a₀⁻²+t²)
　　K相对于S的速度是v=t/√(a₀⁻²+t²)，对应的γ=1/√(1-v²) =a₀√(a₀⁻²+t²)，于是有
　　dτ=γ(dt-v·dx)
=a₀√(a₀⁻²+t²)[dt-(t/√(a₀⁻²+t²))dt·t/√(a₀⁻²+t²)]
=1/√(1+a₀²t²)
　　因此τ(t)=∫ [1/√(1+a₀²t²)]·dt
　　=a₀⁻¹·arcsinh(a₀t)

　　（二）无数相对静止观者的运动方程
　　飞船在S中保持固有加速不变，那么飞船参考系中，与飞船相对静止的点，可合理猜测在S中也在做固有加速不变的变速运动
　　因此先给/猜出结论：符合条件的无数观者在S系位置函数为x(t)=√(a⁻²+t²)。再反向证明它们相对静止
　　求导得速度函数v(t)=t/√(a⁻²+t²)，对应的γ(t)=a√(a⁻²+t²)
　　取任意a1观者的任意时刻t1，再取任意a2观者的某时刻t2，假定他们在a1观者看来同时。注意t2不任意，是a1、a2、t1的函数
　　两观者在S系的时间差△t=t2-t1，位置差△x=√(a2⁻²+t2²)-√(a1⁻²+t1²)
　　记a1观者在t1时刻的瞬时静止惯性系为K系{T',X'}，运用洛变如下，注意v的取值为t1/√(a1⁻²+t1²)，对应γ为a1√(a1⁻²+t1²)
　　△T'=γ·(△t-v·△x)
=a1·t2√(a1⁻²+t1²)-a1·t1√(a2⁻²+t2²)
　　△X'=γ·(△x-v·△t)
=a1[√(a1⁻²+t1²)√(a2⁻²+t2²)-a1⁻²-t1·t2]
　　因a1观者看两事件同时，即△T'应等于0，由此可解出t2关于a1、a2、t1的函数为t2=a1·t1/a2
　　代入△X'式得
△X'=a1[a2⁻¹(a1⁻¹+a1·t1²)-a1⁻²-a1·t1²/a2]
　　=a2⁻¹ - a1⁻¹
　　这是一个和t1无关的量，即保持固有a为任意a1的观者，在其任意瞬间，它测得和任意a2观者的空间距离为定值a2⁻¹ - a1⁻¹
　　因此所有观者在变速系相对静止，1/a代表了各自在变速系中的位置

　　（三）建立飞船坐标系{T,X}
　　可以很合理地将代表空间距离的1/a赋值为X，得到坐标变换为x²-t²=X²
　　当X 取1/a₀时，观者为飞船。飞船的τ值a₀⁻¹·arcsinh(a₀t)，将飞船系中所有同一时刻的观者，在{T,X}中的时间坐标都标记成此值，即将该τ值赋予给T
　　再考虑任意位X处观者，若记1/X为a1，则它在S系{t,x}中的t时刻，与另一a2观者的t2=a1·t1/a2时刻同时，即与a2观者t/(X·a2)时刻同时
　　而当a2取a₀时，a2观者即飞船，飞船在t/(X·a₀)时的τ值代公式得a₀⁻¹·arcsinh(t/X)，该值被赋予了X处观者在S系t时刻这一事件在飞船坐标系中的T值
　　即T=a₀⁻¹·arcsinh(t/X)
　　=a₀⁻¹·arcsinh(t/√(x²-t²))
　　=a₀⁻¹·arctanh(t/x)
　　最后可解出逆变换为：
t=X·sinh(a₀T)
x=X·cosh(a₀T)

谁所处的空间越收缩，谁就更年轻