Excalibur! 小小泡泡飘飘
仙人抚我顶,结发受长生
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一个显而易见的度规问题能扯这么久就离谱。 度规决定了空间的结构。一个矢量的不变量是它的模长,当你选择在哪种的空间进行分量展开,就决定了用哪种度规。而在选取的空间展开时又可以选取不同的基底,因为我们可以对某组基进行线性变换来得到一组新基。但是无论怎么选取,选择的基矢和原本矢量必须在选取的空间中。 举例来说,选择闵氏展开(t,x),对应标准基(1,0)ᵀ和(0,1)ᵀ,协变基(-1,0)和(0,1)。对应系数是t和x。 或者对标准基进行推动变换 (chφ,-shφ -shφ,chφ) 得到新基(chφ,-shφ)ᵀ和(-shφ,chφ)ᵀ 协变基(-chφ,shφ)和(-shφ,chφ) 不管是哪组基展开,都属于闵氏几何内的矢量。 这是一个自同构映射。 如果选择欧氏展开(it,x)ᵀ,对应标准基(1,0)ᵀ和(0,1)ᵀ,协变基(1,0)和(0,1)。对应系数就是it和x。 同样对标准基进行变换 (chφ,-ishφ ishφ,chφ) 等价于旋转变换 (cosiφ,-siniφ siniφ,cosiφ) 得到新基(cosiφ,siniφ)ᵀ和(-siniφ,cosiφ)ᵀ 协变基(cosiφ,siniφ)和(-siniφ,cosiφ) 但是展开系数出现了复数it,意味着这个基于欧氏的展开是不合法的,复矢量不是欧氏几何的矢量。 所以wick转动并不是一种同构映射,而是一种解析延拓。 既然基矢是基于空间结构,那么通过度规自然也能构造基矢。(是通过度规构造基矢,而不是通过基矢构造度规)即eₐ•eₑ=eₐᵀηeₑ=ηₐₑ。 或者通过克利福德关系构造克利福德基。{γₐ,γₑ}=γₐγₑ+γₑγₐ=2ηₐₑ 区别在于前者内积和外积需要额外定义 而后者通过对易关系自定义内外积 内积<γₐ,γₑ>=1/2{γₐ,γₑ},外积γₐΛγₑ= 1/2[lbk]γₐ,γₑ[rbk]
光量子态与偏振现象 一个光子的量子态由外部自由度(位置或动量波函数)和内部自由度(自旋或偏振)描述。 外部自由度。 粒子在x₀具有的态|x₀>为x₀的本征态,|ψ(x₀)|²是粒子在x₀的概率密度。每个位置都有其独立的本征态|x>,|ψ(x)|²是粒子在位置空间的概率密度函数。 ψ(x)=<x|ψ>表述为态|ψ>在基|x>下的投影,即矢量的分量展开ψ⃗=ψ(x₁)x⃗₁+ψ(x₂)x⃗₂+…+ψ(xₐ)x⃗ₐ,对于无穷维连续基|x>展开有|ψ>=∫ψ(x)|x>dx。 此式表明|ψ>是所有位置本征态的叠加态,波函数ψ(x)是其叠加系数。 粒子过双缝时,ψ(x)演化为ψ₁(x)+ψ₂(x) |ψ>= ∫ψ(x)|x>dx =∫ψ₁(x)|x>dx+∫ψ₂(x)|x>dx=α|ψ₁>+β|ψ₂>,即路径1和路径2的叠加态。 |ψ₁(x)+ψ₂(x)|²=|ψ₁(x)|²+|ψ₂(x)|²+|2ψ₁(x)ψ₂(x)| 其中2ψ₁(x)ψ₂(x)为干涉项 内部自由度 定义基矢: 左旋圆偏振|L> 右旋圆偏振|R> 水平偏振|H> 垂直偏振|V> 则有: |L>=1/√2(|H>+i|V>) |R>=1/√2(|H>-i|V>) |H>=1/√2(|L>+|R>) |V>=i/√2(|L>-|R>) 任意线偏振态|θ>=1/√2(e^iθ|L>+e^-iθ|R>)=cosθ|H>+sinθ|V> 任意椭圆偏振态|e>=cosφe^iθ|L>+sinφe^-iθ|R>=cosφ|H>+sinφe^iθ|V> 对于偏振片,相当于一个投影算符P(1,0/0,0), P|L>=1/√2|H> P|R>=1/√2|H> P|H>=|H> P|V>=0 P|θ>=cosθ|H> P|e>=1/√2|H> 投影算符本质上是对光子偏振态进行测量并筛选,P(1,0/0,0)相当于透射水平偏振态光子,吸收垂直偏振态光子。当大量相干光子经过偏振片,统计某个偏振态的光子数正比于偏振态概率,而光强正比于光子数。 对于波片,相当于一个酉算符U(1,0/0,e^iθ),作用是对垂直偏振|V>增加θ相位 以1/4波片为例, U|L>=1/√2(|H>-|V>)=|-π/4> U|R>=1/√2(|H>+|V>)=|π/4> U|H>=|H> 后面懒得算了。 通过以上推论可以得到各种偏振现象 也很容易由P|θ>=cosθ|H>得出马吕斯定律I=I₀cos²θ 外部自由度与内部自由度纠缠 代表外部自由度的路径叠加态1/√2|ψ₁>+1/√2|ψ₂> 代表内部自由度的偏振叠加态1/√2(|H>+i|V>) 两态直积得到(1/√2|ψ₁>+1/√2|ψ₂>)⊗1/√2(|H>+i|V>)=1/2(|ψ₁H>+i|ψ₁V>+|ψ₂H>+i|ψ₂V> 对于双折射晶体,将|H>投影到路径1 ,将|V>投影到路径2,再由两个直积态构成叠加态。即1/√2(|ψ₁>⊗|H>+|ψ₂>⊗i|V>),也可以视为自身路径和偏振的最大纠缠态。也可以是线偏振态入射1/√2(|ψ₁>⊗|H>+|ψ₂>⊗|V>)
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