如图

等价于下面这题，如何证明？

@假日宴会

对合

👀

题设里其实用不到线段相等，本质是坎迪定理及其扩展形式，即1/PO-1/OQ=1/MQ-1/ON，延长交X、Y，交点R、S
由点A、M、D及点B、N、E的帕斯卡定理知MN∩DE∩XY=T，由坎迪定理（逆）知A、M、R、S、N、B六点共圆锥曲线，则由点A、M、S及点B、N、R帕斯卡定理至MN∩SR∩XY=T，再由点A、C、D及点B、F、E的帕斯卡定理知SR∩DE∩FC=T'，因SR与DE交点T，所以NM、SR、DE、FC、YX五线共点T

切线M'T'，（CDMEF）通过P'射影（CDM'E'F'）通过T'射影（DCM'F'E'）通过P'射影（DCMFE），∴（CDMEF）对合（DCMFE）

这题可以用蝴蝶定理证明吗？

有一个思路，但不知如何证明四点共圆，求大神指点。

已知：如图，弦CD中点M，ME=MF，AE交圆于T1，BF交圆于T2，AB交CD于P，T1T2交CD于Q，
求证：MP=MQ。
证明：AM交圆于G，BM交圆于H，T1M交圆于K，GH交T1T2于Q'，
由绿色蝴蝶知，FGK三点共线，
由T1T2BHGK帕斯卡知，Q'FM三点共线，
∴Q'即为Q点，由红色蝴蝶知，MP=MQ。
注：当T1T2为同一点T时，即为楼上的命题。