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作者：
威廉·邓纳姆
俄亥俄州，哥伦布

第一章
希波克拉底的求新月形面积定理
（公元前约440 年）
论证数学的诞生
我们对人类远古时代数学发展的认识，在很大程度上依靠推测，是根
据零星的考古资料、建筑遗迹和学者的猜测拼凑而成的。显然，随着公元
前15000 至10000 年间农业的发明，人类不得不应付两个最基本的数学概
念（至少是以初步形式）：量和空间。量的概念，或“数”的概念是在人
们数羊或分配粮食时产生的，经过历代学者几百年的推敲和发展，量的概
念逐渐形成了算术，后来又发展成代数。同样，最初的农夫也需要认识空
间关系，特别是就田地和牧场的面积而言，随着历史的发展，这种对空间
的认识就逐渐形成了几何学。自从人类文明之初，数学的两大分支——算
术和几何，就以一种原始的形式共存。
然而，这种共存并非永远和谐。数学史上一个持续的特征就是在算术
与几何之间始终存在着紧张关系。有时，一方超过了另一方，有时，另一
方又比这一方在逻辑上更占优势。而一个新发现，一种新观点，都可能会
扭转局面。也许，有人会感到奇怪，数学竟然像美术、音乐或文学一样，
在其漫长而辉煌的历史进程中，同样存在着激烈的竞争。
我们在古埃及文明中，发现了数学发展的明显迹象。古埃及人研究的
重点是数学的应用方面，以数学作为工具，促进贸易、农业和日益复杂的
日常生活其他方面的发展。根据考古记载，在公元前2000 年以前，埃及人
已建立了原始数系，并具备了某些有关三角形和棱锥体等的几何概念。例
如，据传说，古埃及建筑师用一种非常巧妙的方法确定直角。他们把12
段同样长的绳子相互连成环状（如图1．1 所示），把从B 到C 之间的五段
绳子拉成直线，然后在A 点将绳子拉紧，于是就形成了直角BAC。他们将
这种构形放在地上，让工人们按照这个构形在金字塔、庙宇或其他建筑的
拐角处建成标准的直角。

公式中，a 为正方形下底边长，b 为正方形上底边长，h 是棱台的高。
更令人遗憾的是，没有任何资料证明古埃及人的方法为什么会得出
正确的

答案，他们仅仅留下了简单的一句话“你会发现答案是正确的”。
从一个特殊例子引出包罗万象的结论，很可能是危险的，而历史学家
注意到，在法老统治下的埃及这种独裁社会，必然会产生这种武断的数学
方法。在古埃及社会，民众无条件地服从他们的君主。由此推断，当时，
如果提出一种官方的数学方法，并断言“你会发现答案是正确的”，则埃
及臣民是不会要求对这种方法为什么正确作出更详尽的解释的。在法老统
治的土地上，民众只能惟命是听，让你怎么做就怎么做，不论是建筑巨大
的庙宇，还是解答数学题，一概如此。那些敢于怀疑现体制者必然不得善
终。
另一处伟大的古代文明（或者更准确地说，另几处文明）在美索不达
米亚蓬勃发展，并产生了比古埃及先进得多的数学。例如，巴比伦人已能
解出带有明显代数特征的复杂数学题。现存称为“普林顿”的楔形文字泥
版书322 部（写作年代大约在公元前1900 至1600 年之间）表明，巴比伦
人已明确理解了毕达哥拉斯勾股定理，其理解深度远远超过了古埃及人。
他们懂得5-12-13 三角形或65-72-97 三角形（或更多）都是直角三角形。
除此以外，他们还为他们的数系创造了一种复杂的进位系统。当然，我们
都习惯于十进位数系。显然，十进位制是从人类有十个手指引申出来的。
所以，似乎有点儿奇怪的是，巴比伦人选择了60 进位制。当然，没有人会
认为这些古巴比伦人长有60 个手指，但他们选定的60 进位制却仍然用于
我们今天的时间（一分钟60 秒）和角度测量（在一个圆中，6×60°=360
°）。
然而，美索不达米亚人的所有成就也同样只是“知其然”，而回避了
更为重要的“其所以然”的问题。看来，论证数学（一种重点放在证明判
定关系上的理论演绎体系）的出现还在别一时间和别一地点。
论证数学诞生的时间是公元前1000 年，诞生地点是小亚细亚半岛的爱
琴海岸和希腊。那里出现了最伟大的历史文明，其非凡的成就对西方文化
进程产生了永久性的影响。随着希腊国内和跨越地中海贸易的勃兴，希腊
人逐渐成为一个流徙不定，热中冒险的民族，他们比较精明和富裕，在思
想和行动上都比以往看到的西方世界更具独立性。这些充满好奇心，且思
想自由的商人对权威是不会言听计从的。实际上，随着希腊民主的发展，
公民自己就已成为权威（但必须强调指出，公民的定义在古希腊是非常狭
隘的）。在这些人看来，对任何问题都可以自由争论，都应该加以分析，
对任何观点都不能被动地、无条件地服从和接受。
到公元前400 年时，这一卓越文明已经能以其丰富的（或许可以说是
无与伦比的）智力遗产而自豪。史诗诗人荷马，历史学家希罗多德和修昔
底德，剧作家埃斯库罗斯、索福克勒斯和欧里庇得斯，政治家伯里克利和
哲学家索克拉蒂斯——所有这些人都在公元前四世纪初叶留下了自己的足
迹。在现代社会，名望会很快衰落。因而，现代人可能惊讶，这些古希腊
人的名声何以在经历了2000 多年之后依然保持其辉煌。直至今日，我们仍
然钦佩他们以深邃的理性烛照自然与人类状况的勇气。其理性虽然不乏迷
信与无知，但古希腊思想家确实取得了极大的成功。即使他们的结论并非
永远正确，但这些希腊人仍旧感到，他们的道路将引导自身从野蛮的过去
走向梦想不到的未来。人们在描述这一特别的历史阶段时，常常使用“觉
醒”一词，这是十分贴切的。人类的确已从千百万年的沉睡中醒来，以大
自然最强大的武器——人类思维，勇敢地面对着这一陌生而神秘的世界。

好文。。。

确切地说，泰勒斯的定理究竟是什么呢？传统上认为，泰勒斯第一个
证明了下列几何性质：
■ 对顶角相等。
■ 三角形的内角和等于两个直角之和。
■ 等腰三角形的两个底角相等。
■ 半圆上的圆周角是直角。
虽然我们没有任何有关泰勒斯对上述命题证明的历史记载，但我们可
以推断它们的本来面目，例如上述的最后一个命题。下列证明方法选自欧
几里得的《原本》第三篇第31 命题，但它简单明了，完全可以看作是泰勒
斯自己最初的证明。
定理 半圆上的圆周角是直角。
证明： 以O为圆心，以BC 为直径作半圆，选半圆上任意一点A 作圆
周角BAC。我们必须证明∠BAC 是直角。连接OA，形成△AOB。
由于OB 和OA 都是半圆的半径，长度相等，所以△AOB 是等腰三角形。因
此，根据泰勒斯先前所证明的定理，∠ABO 与∠BAO 相等（或用现代术语，
迭合）；我们称这两个角为α。同样，在△AOC 中，OA 与 OC 相等，因此，
∠OAC=∠OCA；我们称这两个角为β。而在大三角形BAC 中，我们看到，
2 个直角=∠ABC+∠ACB+∠BAC
=α+β+（α+β）
=2α+2β=2（α+β）
因此，一个直角=1/2(个直角)=1/2(2(α+β))=α+β ∠BAC 。
这正是我们要证明的。证讫。
泰勒斯之后，希腊又一位伟大数学是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯公元
前约572 年出生于萨摩斯，并在爱琴群岛东部生活和工作，甚至，据说，
他还曾师从泰勒斯。但当暴君波利克拉特斯僭取这个地区的政权之后，毕
达哥拉斯逃到了现今意大利南部的希腊城镇克洛托内。他在那里创办了一
个学术团体，今称为毕达哥拉斯兄弟会。毕达哥拉斯哲学认为，“整数”
是宇宙的要素，万物的元质。不论是音乐、天文学，还是哲学，“数”的
中心地位是随处可见的。关于物理可以“数学化”地理解的现代观点在很
大程度上也源自于毕达哥拉斯学派的观点。

在严格意义的数学领域，毕达哥拉斯学派为我们提供了两个伟大发
现。一个当然是无与伦比的毕达哥拉斯定理。像所有远古时代的其他定理
一样，我们没有关于毕达哥拉斯原论证的历史资料，但古人却一致将这一
定理的发现归于毕达哥拉斯的名下。据说，毕达哥拉斯曾向上帝献祭一头
牛，以庆祝他的论证带给各方的喜悦（大概这头牛除外）。
但毕达哥拉斯学派的另一个重要贡献却没有得到人们的热情支持，因
为它不仅公然蔑视直觉，而且还冲击了整数的优势地位。用现代说法，他
们发现了无理量，但他们的论证方法却有点儿几何学的味道：
两条线段，AB 和CD，如果有一条可均匀分割AB 和CD 的小线段EF，
我们就说线段AB 和CD 是可公度的。也就是，对于整数p 和q 来说，AB 是
由p 段相等于EF 的线段组成；而CD 是由q 段同样的线段组成。
因而，AB/CD=p(EF)/q(EF)=p/q （我们在这里使用了符号AB表示线段的长度）。
由于p/q是两个正整数的比，我们说，可公度线段的长度是“有理”数。
凭着直觉，毕达哥拉斯学派认为，任何两个量都是可公度的。给定两
个线段，必有另一条线段EF，可以均匀地分割这两个线段，即使取非常小
的EF，也是如此。怀疑EF 的存在，似乎是十分荒谬的。线段的可公度性
对毕达哥拉斯学派至关重要，这不仅因为他们利用这一观点证明相似三角
形，而且还因为这一观点似乎可以支持他们关于整数中心作用的哲学态
度。

但是，据说，毕达哥拉斯的弟子希帕萨斯发现正方形的边长与其对角
线却不可公度。因为不论划分多小，都没有一个EF 量可以均匀地分割
正方形的边长和对角线。
这一发现产生了许多深远的结果。显然，这个发现粉碎了毕达哥拉斯
那些建立在所有线段都可公度的假设基础之上的证明。几乎200 年之后，
数学家欧多克索斯才设法在不基于可公度概念的基础上，修补了相似三角
形理论。其次，这一发现还动摇了整数至高无上的地位，因为如果并非一
切量都可公度，那么，整数对于表示所有线段长度的比就显得不充分了。
因此，这一发现在其后的希腊数学中，建立了几何对算术的绝对优势。例
如，正方形的边长和对角线无疑属于几何问题。如果作为数字问题来计算，
则会出现严重的问题。因为，如果我们设正方形的边长为1，根据毕达哥
拉斯勾股定理，则对角线长度为√2；由于边长与对角线不可公度，因而我
们看到， √2不能写成p/q形式的有理数。就数字而言, √2是“无理的”，
其算术性质非常神秘。希腊人认为，最好回避完全的数字处理，而全神贯
注于通过简明的几何体来表达量。这种几何对算术的优势将支配希腊数学
一千年。无理数的发现所带来的最终结果是，毕达哥拉斯的信徒们对希帕
萨斯引起的所有混乱大为恼怒，据说他们把希帕萨斯带到地中海深处，然后
掀下水中。如果故事属实，则自由思想的危险性，由此可见，即使是在比较
严肃的数学领域，也不例外。

泰勒斯和毕达哥拉斯，虽然在传奇和传统中神乎其神，但他们都是远
古时代模糊而朦胧的人物。我们下面将介绍的希俄斯的希波克拉底（约公
元前440 年）则是一位比较确实的人物。事实上，我们把有据可查的最早
的数学论证归于他的名下。这将是我们所要介绍的第一个伟大定理的主
题。
希波克拉底公元前5 世纪生于希俄斯岛。当然，这是产生上述他的杰
出前辈的同一个地方。（顺便提请读者注意，希俄斯岛距科斯岛不远，当
时那里出生了另一位“希波克拉底”；科斯的希波克拉底（不是我们所说
的希波克拉底）乃希腊的医学之父和医生遵循的《希波克拉底誓言》的创
始人。）
关于数学家希波克拉底，我们对他的生平知之甚少。亚里士多德曾写
过，希波克拉底虽然是一位天才的几何学家，但他“⋯⋯看起来在其他方
面却显得迟钝又缺乏见识”。身为数学家，却难以应付日常生活，他即是
早期的这样一类人。传说，希波克拉底是在被强盗骗去钱财后出名的，显
然，他被人当作了容易受骗的傻瓜。为了挽回损失，他前往雅典，并在那
里教学，他是少数几位为挣钱而开始教学生涯的人之一。
无论如何，我们都不会忘记希波克拉底对几何学作出的两个非凡的贡
献。其一是他编写了第一部《原本》，第一次阐述了从几个已知公理或公
设中精确而有逻辑性地推导出几何定理的过程。至少，人们相信是他写了
这部著作，但遗憾的是，这部书没有能够流传至今。然而，这部书不论多
么有价值，与100 年后欧几里得的煌煌巨作《原本》相比，也不免黯然失
色。欧几里得的《原本》从根本上宣判了希波克拉底著作的过时。即使如
此，我们仍有理由认为，欧几里得借鉴了他前辈的思想，因此希波克拉底
失传的大作无疑使我们受益良多。

然而，令人欣慰的是，希波克拉底的另一个伟大贡献——求新月形面
积——却流传至今，虽然大家公认，其流传是无意的和间接的。我们未能
得到希波克拉底的原作，而只传有欧德摩斯公元前约335 年对希波克拉底
著作的转述；即使就转述而言，事情也不乏含混之处，因为实际上，我们
也没有真正找到欧德摩斯的原著。相反，我们只看到了辛普利西乌斯于公
元530 年写的概要，他在这本书中论述了欧德摩斯的著作，而欧德摩斯则
概括了希波克拉底的著作。实际上，从希波克拉底到辛普利修斯，其间经
历了近一千年之久，差不多等于我们与莱弗·埃里克松之间的时间跨度，
这说明历史学家在考证古代数学时遇到了多么大的困难。尽管如此，我们
没有理由怀疑我们所探讨的著作基本上是可靠的。

有关求面积问题的一些评论
在探讨希波克拉底的新月形面积之前，我们先要介绍一下“求面积”
的概念。显然，古希腊人被几何的对称性，视觉美和微妙的逻辑结构吸引
住了。尤其令人感兴趣的是以简单和初步的东西作为复杂和纷繁问题基础
的方式。这一点在下章我们探讨欧几里得定理时，就会显得十分明了。欧
几里得从一些基本的公理和公设开始，一步步地推导出一些非常复杂的几
何命题。
这种以简单构筑复杂的魅力还表现在希腊人的几何作图上。他们作图
的规则是，所有作图都只能使用圆规和（没有刻度的）直尺。几何学家利
用这两种非常简单的工具，便能够作出完美、一致的一维图形（直线）和
完美、一致的二维图形（圆）——这必定出自于希腊人对秩序、简明性和
美的感受。并且，这种作图方法也是当时的技术水平所力所能及的，例如，
当时还不可能画出抛物线。也许，准确地说，是直线和圆的审美魅力加强
了直尺和圆规作为几何作图工具的中心地位，同时，直尺和圆规的物质可
用性又转过来增进了直线和圆在希腊几何中的作用。
古代数学家利用直尺和圆规绘制了许多几何图形，但同时也受制于这
两种工具。正如我们所看到的，圆规和直尺这两种似乎并不复杂的工具，
掌握在聪敏的几何学家手中，便可以绘制出丰富多采和各式各样的几何图
形，从平分线段和角，绘制平行线和垂直线，到创造优美的正多边形，不
一而足。但是，公元前5 世纪，更加严重的挑战却是平面图形的求面积或
求方。确切地说：
□ 一个平面图形的求面积（或化其为方）就是只用圆规和直尺作出
面积等于原平面图形的正方形。如果一个平面图形的求面积能够
实现，我们就说这个图形是可用等价平方表示的（或可为平方
的）。
求面积问题能够引起希腊人的兴趣并不奇怪。从纯粹实践的观点看，
确定一个不规则图形的面积当然不是一件易事。但如果这个不规则图形能
够用一个等面积的正方形替换，那么，确定原不规则图形面积的问题就变
成了确定正方形面积的简单问题。
毫无疑问，希腊人对求面积问题的强烈爱好已超出了实践范围。因为
如果求方能够实现，就用规则的对称性正方形替换了不规则不对称的平面
图形。对于那些寻求以理性和秩序支配自然世界的人来说，这在很大程度
上是一个由不对称到对称，变缺陷为完美，以有理性取代无理性的过程。
在这种意义上，求面积问题就不仅是人类理性的象征，而且也是宇宙本身
所固有的和谐和美的象征。
对于希腊数学家来说，探讨求面积问题是一个特别具有吸引力的课
题，为此，他们作出了许多巧妙的几何图形。解数学问题，答案常常是一
步一步推导出来的，求面积也是如此。第一步先要求出一个大体“规则”
的图形的面积，然后再以此为基础，继续推导出更不规则，更稀奇古怪图
形的面积。在这一过程中，关键性的第一步是要求出长方形面积。长方形
面积的解法在欧几里得《原本》第二篇的命题14 中就有所阐述，但我们确
信，在欧几里得之前，人们便已熟知这种解法。下面，我们先从长方形面
积的解法讲起。

等待继续