本文中，以(x)表示x为循环节。例如0.1(23) = 0.12323...。
我觉得，大多数认为0.(9)和1不相等的人似乎都是基于这样一种理解：
先写出0.9
在它后边写一个9，变成0.99
在它后边再写一个9，变成0.999
在它后边再写一个9，变成0.9999
……
已经写到了0.99...9，但是还得继续写下一个9
……
因为这是无限小数，所以必须不停地写下去。
因此0.(9)需要不停地写，每写一个9就变大一点，每写一个9就变大一点；因为永远写不完，所以它的大小是不停变化的，所以0.(9)的大小不是固定的，所以和1总是差一点，所以需要取极限，所以……
直说吧，就是因为如此理解，所以不相等。
如果这么理解的话，那么无限小数都将遇到同样的问题：因为写出来的总是有限的，所以永远比准确值小一点。认为0.(3)和1/3不相等的人，大概也是出于这种想法。
在他们的想法中，不存在“无限小数”这个东西，只存在“一个数一个数往下写”这种行为。
——知道什么是夸父追日吗？
如果不能理解什么是无穷（这里的意思是无限多），就不可能真正弄懂这个问题。
无限小数——就拿0.(9)来说吧——绝对不是靠你我写出来的。它是从一开始就存在于那里，不管你写不写都一样。没有位数可言，你所能想到的、看到的，所有的小数数位上都是9。
夸父在地球上追日，可能成功吗？
无论你写出多少位，即使花毕生精力拿9写满了地球表面，剩余的9的个数仍然一点都没有减少。——注意，不是只减少了九牛一毛，不是同志仍需努力，而是毫无减少。一点都没有变化。试图减少剩下的、没有写出的9的行为是徒劳的。
什么是无穷？这就是无穷。
不是愚公移山——山的土量是有限的。
不是精卫填海——海的容量是有限的。
不是盲人摸象——象的个头是有限的。
不是夸父追日——如果他能离开地球，日地距离也是有限的。
不是以上皆是——满地写⑨的行为，比他们几个乘起来还要愚蠢无穷倍。
移山填海追日，起码还有个盼头（工作量÷工作效率=工作时间）；以有涯随无涯，殆矣。
因为很重要，我再重复一遍：
0.(9)是产生之初，就固定不变地存在于那里的。
0.(9)的已知的所有的小数数位上都是9，我们去看、去写，只是在管中窥豹，试图观察它容易被观察到的一个部分而已。
无论你写与不写，它后面都有无穷位在那摆着，区别只是你是否重复了这一行为、让其中的一部分9出现在纸上而已。
试图“观测最后一个9，看它在以飞快的速度向远处后退”，或者试图“让全部的9都显现在纸上”的行为，是徒劳的。
0.(9)不是数列，不是极限，不需要加什么极限符号。它就是个实数，大小是固定不变的——而且等于1。

至于基于这种“不停写”的理解方法，认为0.(9)和1之间总差一点的想法（包括认为0.(3)和1/3之间有差距，0.(1)和1/9之间有差距，等等等等），在医学上有一个统一的术语——幻觉。
另外其中一句稍微改一下，更有文采些：
试图“观测最后一个9，看它在以飞快的速度向远处后退”的行为，是愚蠢的；试图“让全部的9都显现在纸上”的行为，是徒劳的。
以下沙发

不妨再给个0.（9）的定义？

幻觉……

赞一个，有道理

我也是醉了

0.（9）+0.（1）是多少？

这并非是严格的定义，应该来对于0.9无限循环干脆写一个级数展开都比你这个说法来的清楚.我认为1就是1，0.9无限循环就是0.9的无限循环，这二者不可以等价，不然违背了数学对于定义精确性的描述，否则在计算的时候我们是否可以使用0.9的无限循环代替1？这在许多领域里会产生很大的问题！这个问题你们是否考虑过？
0.9无限循环准确的说，是与1相差一个高阶无穷小量，这并不等于没有差距，我认为这反而是你们的误解

这是按照计算和定义得出来的，而已，定义和计算也是人为定义编写的，他定义0.99循环就是和一一样，但是偏偏不是1，也就是事实与想象的区别，事实上不存在的事物，类似"无"怎么和其他做比较哪个更好呢？这类数字只是方便计算而存在的一种形式