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0.9吧吧主竞选：NO.0001号候选人
实数相关内容 最近系统地看了一些数学分析教材的开头部分（逻辑、集合、实数等内容），过段时间整理一下笔记发表在本贴。 预计内容：在0.999...被定义为实数的前提下，用公理得出其等于1。以及自己的一些思考。
吧规（2023版） 时隔几年，终于又有吧务了 不整那一大堆的废话吧规，几句话完事 禁止违法信息、广告与不友善内容（如恶意攻击、辱骂） 除以上限制外，本吧言论自由，允许各种形式与内容的数学讨论 如有意见与建议请在楼下回复
0.9吧吧主竞选：NO.0001号候选人
关于0.999...定义 如果按照ε-N极限的定义，极限值为1没有异议。 然而认为0.999...和1不相等的，似乎从来没有给出过0.999...的定义。
由数列极限定义想到的反证法 考虑数列0.9，0.99，0.999，…… An=1-10^(-n) ∀ε>0，∃正整数N，n>N时|1-An|<ε。 假设1-0.999...>0，我们取ε=1-0.999... |1-An|=1-An<ε ⇔10^(-n)<1-0.999... ⇔n>-lg(1-0.999...) 接下来，奇迹出现了。 已知An=1-10^(-n)，ε=1-0.999... 那么对于满足条件的n，An>1-ε=0.999... 即0.999...9(n个9)>0.999...（无限小数）！！ 到这里就明显矛盾了，要是不服，两边减一下，0>0.000...0999...，右边正数，矛盾。
类比一下某些人的思路 0.9<1，0.99<1，0.999<1…… 那么0.999...<1 然后…… 1.4是有理数，1.41是有理数，1.414是有理数 那么√2是有理数 3.1是有理数，3.14是有理数，3.141是有理数， 那么π是有理数 好了，按照这个方法我能证明任意实数都是有理数辣
【一贴终结此问题】假设0.999...<1推出0>0.000...0999...矛盾！ 假设0.999...<1 考虑有限小数X=0.999...9(n个9)=1-10^(-n) 则X>0.999... ⇔1-10^(-n)>0.999... ⇔10^(-n)<1-0.999... ⇔n>-lg(1-0.999...) 即当X有-lg(1-0.999...)位以上时，X>0.999... 两边同减去X有0>0.000...0999... 而0.000...0999...为正数，矛盾。
0.999...<1可以推出0>0.000...0999...，有人反驳吗？ 假设0.999...<1 考虑有限小数X=0.999...9(n个9)=1-10^(-n) 则X>0.999... ⇔1-10^(-n)>0.999... ⇔10^(-n)<1-0.999... ⇔n>-lg(1-0.999...) 即当X有-lg(1-0.999...)位以上时，X>0.999... 两边同减去X有0>0.000...0999... 而0.000...0999...为正数，矛盾。
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