昨天看到@Валия 发了一个叫做“初探战列舰交战中火力、数量与损失的数学关系”的帖子……
https://tieba.baidu.com/p/2272775009
实在错漏百出，让人不忍继续下去……于是，本人在楼下回复指出其错误，不想……
但是今日一看还是有些吧友回复，所以，为了避免其错误误导他人特此开帖讲讲……
在这里，我们就先拿她的原帖做一个反面教材，我会同时讲
正确的
形式以及相关……
原贴开贴不久，Валия就通过这样一段话引入了兰彻斯特平方率：
“主力舰交战符合利用炮群集中攻击单位目标这样的模式，而这一交战模式用数学描述的话则是完全契合兰彻斯特平方率的，即:
dx/dt=B*yt
dy/dt=A*xt
(其中dx为A方的损失，dy为B方的损失，A为A方的单位攻击力，B为B方的单位攻击力，xt为t时A方作战单位数量，yt为t时B方的作战单位数量。”
那么这里有什么问题呢？
事实上，兰彻斯特平方率仅仅适用于大规模的战役级别的兵力损失预估……双方的参战兵力基本是成百上千……否则就会出现“半个士兵”开火的笑话……试图将其用于海战的话需要的将是异常复杂的修正……因为参战的海军主力舰连50艘都不大可能有……
相关联接：http://en.wikipedia.org/wiki/Lanchester%27s_laws
可见，从一开始，这就已经错了……
但是这段文字的错误不仅仅如此……兰彻斯特平方率的公式一如连接中给出其形式如下：
dA/dt = -βB
dB/dt = -αA
看着和上面的差不多哈？注意下面……其中A为A方的单位数量，B为B方的单位数量，α为A方单位的毁伤效率，β为B方单位的毁伤效率，t为交战时间（单位为开火轮数）……
对照一下：原帖中的dx、dy对应了dA、dB；A、B对应了α、β；xt、yt对应了A、B……但是原帖中对于dx、dy的解释是双方的损失，对于A、B的解释是攻击力，对于xt、yt的解释是某时刻下的单位数量……
这种错误的变量对照逐步导致了其后面的混乱……细节决定成败……
下面，Валия开始了他的演算：
“由上式转换可得：
dx/dy= B*yt/ A*xt
B*yt*dy=A*xt*dx
二边积分得：
Byt^2=Axt^2
设双方初始数量为x0、y0（皆为常数项），则可得公式：
By0^2-Byt^2=Ax0^2-Axt^2”
有人看出问题了么？
且不论∫B*yt*dy 能不能按照∫B*y*dy 积分……∫Bydy = ？学过微积分基础的也应该知道∫Bydy = 1/2By²+ C……所以，当对等式Bydy = Axdx两边积分后，得到的应该是1/2By²= 1/2Ax²+ C……
或许有人不懂微积分，问了：你怎么证明你的计算才是对的？……很简单：如果By²= Ax²成立，那么我们看看会是怎样的奇怪现象……B是B方的单位攻击力，y是B方的作战单位数量，则By²这一数值仅仅取决于B方的火力和数量（至少交战开始之前是这样），Ax²同理，关键来了交战双方的司令官难道是事先商量好的，使得By²= Ax²？……
正确的情况是什么呢？
为了统一，我在后面使用原帖的数值体系x、y、A、B，那么我们从之前发现的错误继续，两边积分后，有：
1/2By²= 1/2Ax²+ C（C为任意实数，但是不为任何变量）
好了，怎么会出来一个不知道是几的C，不忙，对照前面那个证明By²= Ax²的逻辑，如果1/2By²= 1/2Ax²+ C成立，则有：1/2BY²= 1/2AX²+ C（X、Y为交战前双方的初始兵力）现在，除了C未知，没有未知数了（初始兵力和毁伤效率都不知道就没法使用该公式了）则，可以得到C = 1/2BY²- 1/2AX²，再将C带回原式，得到1/2By²= 1/2Ax²+1/2BY²- 1/2AX²，整理移项，可得：
Ax²-AX²=By²-BY²
为什么和原帖作者的结果一样？……很简单，这就是一些不会做题的人看着答案找过程的结果……
然后开始讲实例应用了，且不管我前面说适不适合的问题，看看原帖：
“在这里，我们假设交战双方战舰所使用的主炮型号相同，双方的区别在于单艘战舰安装的主炮数量有差别。所以我们可以直接将单位攻击力视为单位战舰所拥有的主炮数量。
在20世纪前期的海战中，受制于观瞄、通信等设备的水平，编队只能进行有限规模的火力协同，常见的是中队模式，既由4条同级别战列舰构成一个完整的中队，在战斗中可以以编队形式进行火力协同，实现最佳的作战效率。而编队如果超出一个中队的规模，则反而会使作战效能下降（编队机动迟缓，弹着点互相干扰，影响观察和校射），所以我们的交战模型以4V4的情况为基准状态，即便一方编队拥有更多的战舰也只能作为预备队逐次投入到交战中。
在计算中会遇到损伤以小数形式表现，但战舰数量显然是个数计的，所以在计算中，如果损伤超过0.5则计为完全损失。
下面，举一个具体例子
设交战的A、B两只舰队，A方拥有安装12门主炮的战列舰4条，B方拥有安装8门同规格主炮的战列舰4条，则交战公式为:
12*16-12xt=8*16
xt=2.3≈2
如果要B方舰队全灭（yt=0），则A方损失为:
dx=x0-xt=2
也就是说A方损失3艘战舰全灭B方，双方损失比为1：2，可见如果没有数量差距，在中队交战中，双方损失与火力成反比。”
前面的计算错误到此由于“看答案”的影响完全没有反应出来……但是最早的关于变量的认知错误在此开始显现端倪……
还记得兰彻斯特平方率最初的样子么？对dx/dt=-By和dy/dt=-Ax 这里每个式子表示的是什么？A方的单位数量乘上A方单位的毁伤效率或者B方的……实际上dx/dt就是单位时间内A方被摧毁的单位数……看到了问题了么？如果A和B取例子中的数值……A方单位时间内的损失将是8*4=32！显然B方也好不了哪去……双方于一次交火后对等摧毁……这就是不理解公式胡乱套用的典型……
且再退一步，将这个数值仅仅当做火力比看待（计算损失比的时候还可以应付）这里他试图使用等式Ax²-AX²= By²-BY²，推算双方的损失比，我们也代入一下数值，得到12*x²- 12*4*4 = 8*y²- 8*4*4……看到问题了？8*y²一项哪去了？……只有y = 0的时候没有这一项……还好他后面是要计算B方全灭……
但是最终是结论很令人费解……火力（毁伤效率）比例为3:2的两军交战后损失比为2:4……这是双方损失与火力成反比？……实际上之前已经得出dx/dt就是单位时间内A方被摧毁的单位数，除以B方……结果是双方单位时间内的损失比为By/ Ax……注意到了吧……这是一个和双方剩余兵力有关的函数而非一个固定值！……
好吧，事实上，到此为止，他的计算毕竟还没有实质错误，但是随着计算的深入，最早的关于变量的认知错误最终导致了他的计算陷入混乱……
“如果B方有预备队可在损失后即刻补充编队，则交战过程为：
12*16-12xt1=8*16-8*9
xt1=3.37≈3
这个时候双方各损失一艘，接下来B方补充一艘战列舰，A方剩余3艘。
12*9-12*xt2=8*16-8*9
xt2≈2
A方剩余2艘，B方继续补充，
12*4-12xt3=8*16-8*9
xt3=0”
这次他的运气没有上次好了……无论前面两次计算怎么掩饰，最终一次计算中12*4 - 12*x = 8*16 - 8*9是无论如何也不会得到x = 0的！当然你说x实际变成了负数，但是这就在交火过程中出现了“负数敌军”开火的笑话……正确的情况呢？套用等式Ax²-AX²= By²-BY²，最后一次交火时x=0，则有：12*0 – 12*4 = 8*y – 8*16，解方程得y ≈ 3.162278……好吧，运气再次站在他身旁，使得这个战舰确实的损失掉了……
“比如，抢占T字横头究竟能为我方带来多大的优势？
仍然以中队交战为例，假设A、B双方各拥有4条安装8门主炮的战列舰，A方在交战中抢占到的有利阵位，对B方形成T字横头。
这个时候A方4条战舰32门主炮可同时向B方队列首舰射击，而B方只能以队列首舰前部4门主炮还击，大家都清楚B方显然是处于非常不利的地位，可这种不利地位究竟会带来多惊人的结果呢？这里探讨用数学来推测和描述。
将以上条件代入公式后得：
8*16-8*t1=4*1
t1=3.94≈4
可以看出，当A方击沉B方首舰时，A方队列中遭到还击的那条舰只遭受到6%的损失，完全可以忽略，而接下来的交战无非是以上过程的循环，直到B方全灭或者改变不利阵位为止，A方的损伤微乎其微。
我们继续讨论上面的问题，假如B方因为自己的战列舰无法获得机动优势以抢占有利阵位，而将全部8门主炮布置在前方，那又会有什么结果呢？
将以上条件代入公式后得：
8*16-8*t1=8*1
t1≈3.87
可见这次虽然给予了A方一艘战舰以一定程度的创伤，可仍然不能改变大局。
接下来8*3.87^2-8*t2=8*1*3
T2=3.46，这回当B方全灭时，A方将有一条战舰被重创，虽然比上次好看了一点，可毕竟还是完全惨败。”
现在，他的帖子即将结束，其计算也终于迎来了混乱不堪，完全影响结论的尾声……
如果说前面代入等式Ax²-AX²= By²-BY²的时候还可以理解……这里代入成8*16 - 8*x=4*1就实在匪夷所思了……4对4的战斗变成了4对1……这要是不一边倒……好了，这里怎么去正确的代入计算我就不说了……但是我们可以看到假设全部火炮装于舰艏从而放弃T头的时候，舰队间按照兰彻斯特平方率交战将是怎样的方程？答案是：8*x²- 8*16 = 8*y²- 8*16……不用算了吧……双方势均力敌……
好了原帖的分析到此为止……
在回复原帖的3楼中，我提到过，兰彻斯特平方率实际上是一个微分方程组，通过数学手段，我们是可以计算出当dA/dt = -βB和dB/dt = -αA成立时dA与dt以及dB与dt的函数关系的……鉴于过程复杂，我就不具体讲如何解方程组了……
在本帖，我仅仅给出答案如下：
好了，本帖到此告一段落，真心希望每一个认真看完本帖的人能够有所收获……谢谢大家！

@principles @蓝黑fans @不要以为你赢了 @0 小刺蛋0
以上几位在原帖发表过回复的吧友希望你们也能认真看一下，以免产生错误认知……

上文有严重错误,应该使用女性专用代名词"她"

文科生表示完全不懂

好吧：
鉴于有人质疑我说“火力与损失成反比”这一条不正确……那么我们用实际的计算来说话：
先说单位火力变化带来的影响：
假设A、B两方各有1000门火炮，第一次，我们假设A方的毁伤概率α= 0.05；B方的毁伤概率为β= 0.1，那么，经过计算（不想写了，略去……）双方的损失分别为：
A方全灭，损失1000；B方剩余707.10门火炮，我们去掉那0.1门火炮，B方损失是293；
现在将A方火力提高80%，既A方的毁伤概率α=0.09，则双方损失为：
A方全灭，损失1000；B方剩余316.23门火炮，我们去掉那0.23门火炮，B方损失是684；
损失增加了133.45%……这和火力提高的80%怎么成反比的？……
再说单位数量变化带来的影响：
还是A、B双方炮战，但是这次统一使用毁伤概率0.1的火炮，既α= β= 0.1；数量上A方为2000门，B方为1000门，那么，经过计算双方的损失分别为：
A方剩余1732.05门火炮，我们去掉那0.05门火炮，A方损失是268；B方全灭，损失1000；
现在将B方数量提高50%，既B方的初始数量B=1500，则双方损失为：
A方剩余1322.88门火炮，我们去掉那0.88门火炮，B方损失是678；B方全灭，损失1000；
损失增加了152.99%……这和数量提高的50%怎么成反比的？……
@Валия 自己看看吧……不信可以自己验算……

鉴于楼上的错误……
好吧，实际上，对于兰彻斯特平方率的计算，由于函数形式过于复杂，我做了一个计算表……
偷懒了……
下面个大家贴个截图吧：
这个就是假设A、B两方各有1000门火炮，第一次，我们假设A方的毁伤概率α= 0.05；B方的毁伤概率为β= 0.1，时候随着交战时间t的变化，双方的数量变化……我们可以清楚的看到双方的数量A和B的变化趋势……
所以，@Валия 错误的运用公式自然会得出错误的结果……

我只看见一边在骂人一边在给数据

但是我们可以看到假设全部火炮装于舰艏从而放弃T头的时候，舰队间按照兰彻斯特平方率交战将是怎样的方程？答案是：8*x²- 8*16 = 8*y²- 8*16……不用算了吧……双方势均力敌……
——后舰能越过前舰开火？
全舰艏的话就应该改纵队为横队而已啊，哪有排着纵队又用舰艏迎击敌人的？你们算的是同一个情况吗？

null84很是搞笑，前面的结论基本上与他要批判的对象就不说了。
重点是第三个情况，V姐说一方压胜，null84说双方势均力敌。
但实际上完全不是一回事。
V姐假设双方都是常规布局的无畏舰，排成纵队，一方占领T字阵头与另一方交火。那当然是抢占T字头的一方压胜。
null84假设一方是常规布局的无畏舰排成纵队，一方是全舰艏布局的无畏舰排成横队，然后互相轰击，那当然总体上势均力敌。
明明是null84自己没理解别人的立论，结果还算了那么久，又是微积分又是“实践”的。我看了都觉得蛋疼。

画板渣涂鸦，大家别笑。
V姐的意思如下
NULL84的假设如下
黑色和红色表示两军，条状物是火炮。
哪用得着什么方程式，一眼便可判断前者黑军压倒性优势，后者双方势均力敌。