如图：E，F分别为四边形ABCD边AD，BC上的点，且有：BF/FC=AE/ED。P，Q是直线EF，AB，CD的交点。H1，H2，H3，H4及O1，O2，O3，O4，分别为三角形AEP，BFP，FCQ，EDQ的垂心与外心。试证明：（1）上述的四个外心与ABCD相似（2）上述的四个垂心共线有些论坛上用共轭比来证，我看不懂，希望在本吧能看到漂亮的证法。

路过...共轭比?那你去研究研究嘛,共轭是几何里的一个更高层次呢,圆锥曲线的研究都有它的身影.说不定你看的那个证法是最好的?

也路过......共轭比,这东西我没有用过.......我乱谈一恶心证明,虽然第一问只用几何,但是只能用丑陋来形容.......连接o1,o3做AD垂线.同样类似的辅助线,对O2O4处理.tan
容易求出tan
也容易求出(初中知识......)tan
=tan
( 我在大脑里演算了以下,这样.底应该是AD OR BC 的一半,而分子用正弦定理处理,将会约掉)o1o3/ad=o2o4/bd同样的方式可以求出tan
=tan
最后说明只需要1.四个角相等,有一个对边对应比例相等的四边形相似....(我认为应该成立，因为如果四个角固定，则必然是化为平行运动，而平行运动的话上下增量相等，增减单调，如果存在一点，满足初始值，必然唯一)

个人意见仅供参考。

而且我没有动笔做，只是在YY

上述的四个垂心共线 ，建议用复数做。如果不想用先进的知识……因为垂心用复数容易表达，而且虽然有圆，可以用如下的思路将问题化简：肯定要出现很多个Z(OiOj)利用刚才图形进行分解……第二问我没有把握，第一问我有把握。

3楼的方法，如果正规写出来，我想定会很长很长。

第一问，用“位似”变换，似乎有点眉目了(正在考虑中....)

恐怖啊实在不会位似是差远了，位似中心都不存在啊但是相似可以正对应边的比啊

做不出，根据此题，我觉得应有下面的命题成立，但是我还是没有证明出，请大家看看对不对，如果对，请帮我证明。三角形ABC，D为BC上一点，三角形ABD的外心为O1，三角形ADC的外心为O2，则三角形AO1O2与三角形ABC相似。

cts245这么强的人都做不出来的题我在这里做个记号，准备慢慢做

看了图就晕

不会啊

不难的说.....本题涉及14个点,9条直线,可以以B为坐标原点,BC所在直线为X轴,BF长度为单位长度,用解析几何硬算(遇到的方程比较麻烦而已)

楼上有理,可如果考试遇到这题,估计解出来早收卷了

15楼真是说到我的痛处了.....

列个方程也有分吧

无论如何解析几何永远是解决一切几何问题的神兵利器(这点我深有体会)

位似中心就是8楼图形中的O点，(有时间整理一下，再把结果送上)。

这个题是一个特别出名的题。