zhuyw05 zhuyw05
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矮油 为了数学灌水贴重新复习了一眼实变函数 我想对于考虑0.999循环=1最让人纠结的一点,其实就是,0.9999循环这个东西,很难把它想像成一个和1一样“静态”的数,总感觉它是一个“运动的东西”,既然“在运动”,就“无法达到终点”。 换言之,和“正常”的实数1,1.5之类的相比,不太容易接收0.999循环这个东西也是一个“合法的”实数。(如果接受这一点,那么实数的运算法则就必须接收,比如x<y -> x<(0.5x+0.5y)<y)。 那么有人说 你给我证明下0.9999循环这样的东西是实数呀,答案是,不用证,这是实数的定义。在实变函数中,我们把0,1视为最基本的两个数,用加法定义了所有正整数(1+1=2,1+2=3.。。。。)用加法的逆运算(取名为减法)定义了所有整数(包含负数)。接着用加法的“快捷方式”定义了乘法,又用乘法的逆运算定义了除法,将所有可以表达成整数/非负整数的数定义为有理数。 接着,我们定义了极限的概念,然后一件蛋疼的事情发生了,一个单调,有界的有理数无穷序列不一定收敛在有理数(比如收敛到圆周率的序列3.1,3.14,3.141.。。。。每一项都是有理数,但极限是无理数)。因此,我们将所有收敛的有理数序列的极限的集合 定义为实数。 这才是实数集合的真面目,是由所有有理数序列收敛的极限生成的!(按小学说所有不是有理数的实数为无理数,话等于什么都没说,还是不知道无理数的任何性质) 0.999的循环表达的是什么?是一个序列(0.9,0.99,0.999.。。。。)的极限。按照实数的定义,这个极限必是一个实数。到如此一步,才可以令人信服的讲那些关于0.999循环=1的证明。
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