如图,已知△ABC,直线AP,CP分别交BC,AB于D,F.
L,N分别为AC,DF的中点.
三角形APF,CPD的外接圆交于点P,M.
过C作LN的平行线交AM于点J.
P关于AC的对称点是P'.
证明:A,B,J,P'四点共圆.

设过A作NL的平行线交CM于点J*.
熟知M关于四边形FPDB的等角共轭点是NL方向上无穷远点.
则由完四等角线/反演反射可知J,J*是四边形FPDB的等角共轭点.
设J*P∩BJ=K,JP∩BK*=K*,由完四等角线K*,K是四边形FBDP的等角共轭点.
由反演反射知M,J*,K*,P共圆(也可参见4684的16.3)
∴∠J*K*P=∠CMP=∠BDP
∴B,D,P,K*共圆.
∴∠ABJ+∠APJ=∠K*BD+∠DPK*=180°
∴A,B,J,P'共圆.
附上层所说引理以及证明(实际上此引理和本题等价)

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