a+b+c=abc，都是正实数
求证
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)=<8

等答案

顶多一试水平

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = a^2+b^2+c^2
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1) - 8
= (a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1)(c^2-1) - 8
= a^2b^2c^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + c^2 - a^2b^2 + a^2 + b^2 - 9
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc - a^2c^2 - b^2c^2 + c^2 - a^2b^2 + a^2 + b^2 - 9
= 2ab + 2ac + 2bc - a^2c^2 - b^2c^2 - a^2b^2 - 9
= -(a^2b^2 - 2ab + 1 ) - (b^2c^c - 2bc +1) - (a^2c^2 - 2ac + 1) - 6
= -(ab-1)^2 - (bc-1)^2 - (ac-1)^2 - 6 < 0

其实我是被LZ吓怕了

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = a^2+b^2+c^2
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)
= (a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1)(c^2-1)
= a^2b^2c^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + c^2 - a^2b^2 + a^2 + b^2-1
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc - a^2c^2 - b^2c^2 + c^2 - a^2b^2 + a^2 + b^2 -1
= 2ab + 2ac + 2bc - a^2c^2 - b^2c^2 - a^2b^2 -1
= -(ab-1)^2 - (bc-1)^2 - (ac-1)^2 +2《=8

大这么多字，费力啊。。。。

不用求和号当然费力
最后一步怎么来的

为什么你们变形变得都取不到等号了
捏
。。。
等号可以成立啊。。。

不会
等LZ放答案

对了，那是而拆不等式

你那个不行的
= -(ab-1)^2 - (bc-1)^2 - (ac-1)^2 +2《=8
他永远都是小於8的

回复：12楼
对Yeah,错了

等号不成立啊

我还是等答案

等号在abc都是sqrt3的时候成立
嘿，我也是强拆的，有没有不强拆的方法啊

那你是怎麼做的

abc用它们的倒数代换
最后变成
∑a^4(b^2+c^2)-2∑a^3b^3+abc(∑a^3-∑a^2(b+c)
+3
abc)>=0
成立

∑a^4(b^2+c^2)-2∑a^3b^3+abc(∑a^3-∑a^2(b+c)+3abc)>=0
成立
你欺负我