贴吧用户_5bVbDQM 发错位置了，我给挪出来了。
1.证明：1+1/2+1/3+……+1/n不是整数，1+1/3+1/5+1/7+……+1/2n-1不是整数
2.证明：N=(5^125-1)/(5^25-1)是合数
3.证明：2730整除n^13-n
我在阅读《Gauss的遗产——从等式到同余式》时遇到了这几道题，没有答案，困扰了很久，求解答，谢谢了！

这几道题都曾经在吧里出现过。应该不难。
第二道
硬分解结果
N=(5^125-1)/(5^25-1)
=78886090522101
18080587065
25452474798143498446734
15648937225
34179687501
= 3597751
× 28707251
×4032808198751
×767
18666362525
1
×24687045214
13923404337
5683501
作为竞赛题的答案是凑平方差
N=(5^125-1)/(5^25-1)=5^100+5^75+5^50+5^25+1
=(5^50
+3
×5^25+1)²-5^76-10×5^50-5^26
=(5^50+3×5^25+1)²-5^26(5^50+2×5^25+1)
=(5^50+3×5^25+1)²-[5^13(5^25+1)]²
=(5^50-5^38+3×5^25-5^13+1)(5^50+5^38+3×5^25+5^13+1)
不是素数

第一道题，我的数学老师给我出了个主意，1+1/2+1/3+……+1/n~In(n),而ln(n)不是整数。但这显然是不完备的，而且此方法对于第一题的第二问就束手无策了，因此我到本吧来求助。
第三道题，我猜测使用数学归纳法来证，2^13=2（mod 2730）,所以要证(n+1)^13=n+1(mod 2730),这个式子使我想起了一个引理：(a+b)^p=a^p+b^p(mod p),可惜2730并非质数，到这儿我的思路就卡住了，求大佬帮助！

第一道题分解素因子分解 1到n所有数。其中2的指数最高为m，其他分解出来的奇数的最小公倍数为Q
1+1/2+1/3+...+1/n 乘以P=(2^(m-1))Q，证明除了k=2^m这项外，其他P /k 均是整数了
1+1/3+...+1/（2n-1） 是类似的，考虑3的指数最高为m
第三题 2730=2×3×5×7×13
对p=2,3,5,7,13
一个个证明 对任意 n ，均有 n^13=n (mod p)即可
提示：fermat定理

波特兰假设？

第一个可以先通分，然后考虑分子中2的幂次比分母中的小，由此来证明