1/3=0.3循环是毫无争议的，还没听说哪个数学理论和这个矛盾
但是那个1/3×3证法是有问题的，因为0.333……×3是否等于0.9……需要证明，可能听起来很扯淡，但是换个例子，比如：
1/6×6=0.166……×6=0.999……996=1，这就出现了0.99……996=0.99……9这样的悲剧，事实上0.99……996是个什么数，我也不知道，由于循环小数没有明确末尾的原因，不能直接用加减法，用了也要先化成分数来验证结果
至于极限，确切点说是无穷小的理解，数学上本来就有两派，一派认为无穷小是一个极限，也是现代分析的基础理论，它等于0，但不是数，是个极限，经常会用到“趋向于0”是为了强调它是个极限，而不是说约等于0。
另一派认为无穷小是个数，它大于0但小于任何实数，这是非标准分析的基础，我也没看过具体的论著，不清楚怎么构建理论的。
关于0.9循环等于1的证明有很多，比如乘10进位，构造极限等等，大家自己去搜索。我这里说个比较简单的方法，现代分析的基础是实数理论，最重要的一条：实数是连续的，稠密的。也就是说不存在两个实数，他们之间没有其他实数。
然后应用到这个问题的论证，是否存在一个实数它大于0.9……小于1呢？明显是不存在的，所以0.9……和1在实数轴上是一个点。这样的关系叫“等同”，用9循环表达的小数叫“非规范小数”，用0循环表达的小数叫“规范小数”。这也是实数理论完备性的必要条件
关于这个问题的争论，应该可以暂时画上句号了，在数学吧这个问题已经成为必删主题，不希望这个悲剧发生在相吧。

36L,十六进制的0.9循环和十进制的并不是同一个数，不同进位制里这种表示依然存在
37L，在标准分析中，无穷小首先就不是个数，它不符合阿基米德性质，它不属于有理数，无理数中的任何一个，只是一个变量。当然也有人认为0.3循环不严格等于1/3，只是个极限，对于类似的认识一般我都懒得回了。
关于这方面的内容，比较详细的数学分析教材和一部分数学史读物都有详尽的介绍，大家发挥自己强大的创造力前不妨先去翻翻书本，可能比在网上吵翻天来得效率得多。
一两个这样的帖子还蛮有意思，毕竟不可能人人都读过相关的书，但是这个问题的帖子泛滥，高楼成堆时，作为小吧是很困扰的，删还是不删，这是个问题。