突发奇想。
我们知道，从小学就学了乘法交换律，自然数满足，有理数满足，实数也满足。
可是小学教材上只是经验验证，按理说这是需要证明的，可是如何证明？
数论上有没有讲？

可以视为一种公理。想严格证明大概需要用自然数公理

ab和ba表示的都是一边为a一边为b的矩形面积，既然是同一个矩形，面积当然相等咯

请证明1+1=2

确实需要证明，源于peano公理。首先由peano公理导出自然数加法(乘法)交换性，由自然数得到整数再构造有理数，导出有理数加法(乘法)交换性，由有理数构造实数，导出实数加法(乘法)交换性。

看了皮亚诺公理以及他给出的乘法的定义，豁然开朗。

首先定义自然数的乘法，ab；然后扩展到有理数的乘法m/n×p/q=(mp)/(nq)；然后从有理数的乘法扩展到实数，一步步的来

代数的交换率根源在 集合 并运算 的交换率，并的交换律是由逻辑 与 的交换律得出

6楼正解。自然数的加法是用皮亚诺公理（应当是使用后继数的概念）定义出来的，自然数乘法被定义为连加，因此也是皮亚诺公理的衍生物。除此以外所有的加法与乘法，都在扩展数系的时候得到了符合运算定律的定义。

关于加法两个率和乘法三个率，其中乘法交换律是最难证明的，下图是来自b站视频BV19Z4y1s7yA，时长半个小时，图一是定义了数，用皮亚诺公理体系，图二定义了加法，并严格证明了5
+3
=8，图三定义了乘法，这里面一个很重要的方法就是数学归纳法，这个视频是循序渐进的，图四是视频结尾正在证乘法交换律，要证乘法交换律必须先证乘法分配率，有兴趣可以看一下这个视频，会给你满意的答案。