@青春的面庞leaf
那是很早的帖子，我的观点已经改变了很多。
我认为0.99的循环其实是一种错误的表达。
用0.33的循环和1/3来举例，其实1/3不是一个数，而是一个算式，计算符号是/，就像根号2一样，根号是算式。
因为这是个算式，所以存在无限循环的可能，所以不是一个确定了的数。
同理0.33的循环也不是一个数，可以认为是一个算式，计算符号是“循环”
在所有的计算中，我们遇到1/3都不可能用其小数形式进行计算，因为那样得到的结果是错的，只有在最后得到结果，为了更容易理解才有可能用小数来表示1/3，那只是一种近似的表示罢了。
当然，因为定义，等于某个数列的极限值，所以才强行使其变成一个数。
但是很明显在产生逻辑上是等于其无穷位，而不是等于其极限值。
0.9的循环循环1次是0.9，循环2次是0.99，循环几次就是数列n=几。
所以我们的证明，都只是证明“等于某个数列的极限值”
至于为什么等于其极限值，而不是等于其“无穷位”，则是我的问题，也是没有证明的。
最后多说一点关于“=”的定义其实都是模糊不清的……
（至少我没找到“=”的标准定义）
我理解=两边就是同一元素，可以在算式中互相替换。
1/2=0.5，是同一个元素的两种表现形式。
0.33的循环与1/3却不是同一个元素，不可以互相替换，0.33的循环的另一种表达形式是（1-10^(-n)）/3，循环几次n等于几。

在数学的范围内，不要想什么东西都能定义，原始概念是无法定义的，=也是一个原始概念
极限中有=号，开始我也不接受，认非数不能相等，一定要=号两边都是数，或同一对象才相等，
后来开窍了。
数学就是用一个基础的概念定义一个新概念，那就必存在不能定义原始概念，不然岂不是要逆推
到负无穷远年代？可人类文明又是有起点的，从而数学也是有发源点的，从而必存在不能再定义
的原始概念。
另一方面，小数其实只2种，问你小数的位数是有限还有还无限，这样就得到有限小数和无限小数两大类，
就好比问你这件事是好，还是不好，是逻辑思维中的2分法，像好与坏，成与败，上与下，大与小，都是思维
逻辑的反映。有限小数是不能与无限小数等同看待的，另一方面，根据循环与否，由2分法，无限小数又分
无循环小数和无限不循环小数，这些都思维逻辑的体现。
其实很多数学概念，含义一直在推广，就是赋予新的定义，不用在细节方面过于纠缠
最后一句，数学一向是严密的，有时又是丑陋的

如果理解为
=两边是同一个元素，可以在算式中互相替换
那么，对于无限循环小数来说，0.33……=1/3就成立。
在小学时，无限循环小数就有明确的由来。k/a，k＜a。当竖式除法时，其结果的余数有k，那么k/a的结果就是无限循环小数。
那么首先，1/3的结果是无限循环小数，其根本原因是进制导致。十进制的1/3是无限循环小数，但三进制的1/10就是有限小数。进制本身不会改变数值，只会改变数值的书写方式。也就是说，任意一个无限循环小数都可以在合适的进制中变成有限小数。而某个进制下的有限小数，很可能就是无限循环小数。
其次，有无限循环小数的由来时，很容易得到证明。k/a=0.xx……（x的循环，且x是一个序列），当x是n位整数，有k/a=x/（10^n-1）。而当k/a进行某计算时，就可以转化成x/（10^n-1）计算。而类似0.0xxx……就是1/10*x/（10^n-1）
有以上两点时，0.33……=1/3就是成立。

1/3是分数，分【数】 、分【数】，为什么不能是数呢。。。
有理数包含整数和分数。
1/3是常数，根号2是常数，π是常数。常数（固定不变的数值）。
它们与10进制小数的关系，与其说【计算】，不如说【转化】。
1/3、根号2和π，都无法转化为有限的10进制小数。
不同的是，根号2和π，在转化为无限小数时无规律可循，1/3有规律可循（我没将这个规律称为A规律）。
所以，从起外号的角度，1/3称为【A规律 无限 小数】，根号2和π称为【无规律 无限 小数】很合理啊。

不如从【π】和【根号2】发现入手讨论。
【π】：圆的周长与直径的比值。楼主认为，每一个圆，周长与直径的比值是否是【相同的】，是否是一个【固定的值】呢？
【根号2】：边长为1的正方形，对角线的长度。楼主认为，每一个变长为1的正方形，对角线的长度是否是【相同的】，是否是一个【固定的值】呢？

@ gf10025
我把你的原话整理一下
当有所谓第无穷项时，就表示这第无穷项是否能到达？能到达（或者说写出来），那么第无穷+1项呢？第无穷+无穷项呢？0.99……是无穷循环，那么是第无穷项截止还是第无穷+n项截止？如果都没有截止，第无穷项的意义是什么？如果不能到达，以上疑问就不存在，并且可以用趋于无穷来表示不能到达，但有无穷多的项（而不是有第无穷项）
不是有个著名的旅馆问题吗。某旅馆有无穷个房间，都住满人。此时又来了一个客人，是否能住进去。解答是∞=∞+1，所以能住进去。但是，这个问题就有个疑问，如何将这无穷个房间住满？如果能住满，那么第∞个房间有人时，存在第∞+1个房间吗？存在，那么第∞+1个房间有人吗？
有人就继续∞+2，∞
+3
……，疑问一直存在。如果没有第∞+1个房间或第∞+1个房间没人，原问题的解答就都是错误。也就是说，原问题，实际在∞个房间都住满人时，就有描述错误（虽然该问题很形象的解释了∞+1=∞）。
旅馆问题其实就是错的，因为无穷房间就不可能住满。
因为∞+1=∞，所以第无穷项为什么不能等于第无穷加1项？甚至第无穷项也等于第无穷+无穷项。
我觉得问题的关键是，前后看待无穷应该用一个标准。
既然有“无穷项”，为什么没有“第无穷项”？
因为认为无穷表示没有尽头，一直延伸。
那么为什么认为0.99……这个无穷循环是个定值？
为什么就不能像根号2那样，承认无法用小数准确表达？
如果用趋于无穷，数列有趋于无穷项，所以没有第无穷项。
0.99……有趋于无穷个循环。
可是，趋于无穷，仍然不是定值呀……
所以我认为应该说0.99……趋于1，而不是等于1.
0.99……≠1/3*3
1/3与0.33的循环在小数表达上是一致的，但是概念上不同。
0.33……常见的有两种出现方式，第一种就是分数化小数，第二种是级数数列。
这两种构成方式导致了其概念不同。
而在计算上，那个级数数列的极限是1/3。
概念上1/3是定值，无穷级数数列的极限是定值，但是如果认为0.33……有趋于无穷个循环，那就是是数列的第趋于无穷项，不是定值。

从数的发展角度来说
组合开始发现了整数，然后发现了小数，此时数学界认为，所有数都可以可以写成两个整数比。也就是认为0.33……=1/3，2^（1/2）=1.414……=n/m，n和m是整数，但不知道具体是多少。
数学发展，出现严格证明，2^（1/2）不能写成两整数比，于是有了有理数和无理数的区别。
但是此时，依然认为0.33……=1/3，因为在任意需要的精度下，1/3和0.33……都可以划等号计算。但是在最直观的感觉中1/3没除尽时才是0.33……。虽然有此直观感觉，但由于任意需要分数和小数的换算中不会出现问题，且无法有直观的观察到0.33……和1/3的区别，也就是没有严格证明能证明0.33……和1/3不等，所以认为两者相等。此时可以说是定义两者相等，但如果出现严格证明两者不等，数学界就会接受两者不等。
然后出现了无穷小和极限的概念，在无穷小是否等于0这个问题上给出了严谨的定义，并由无穷小和极限的定义，出现微积分，在微积分体系中，0.33……=1/3获得了严格的证明。
也就是说，最初0.33……=1/3是直接定义，但无法证明该定义正确还是错误，但假定该定义正确能简化计算并且和实际结果没有错误，于是就承认该定义。当微积分后，通过微积分的相关定义，能证明0.33……=1/3，此时就不需要再定义0.33……=1/3了。
那么要否认0.33……=1/3（既0.99……=1），就需要去否认微积分，或者更直接的，构造出0.33……不是1/3的直观模型或证明。

实际上，现在证明0.33……=1/3，都是利用了极限的知识，或微积分中∞+1=∞的知识。
例如0.33……*10-0.33……=3，就是小数部分∞+1=∞
所有小于1/3的数都小于0.33……，所有大于1/3的数都大于0.33是，于是0.33……=1/3。或者0.33……和1/3种没有数，则时利用了极限的知识。
证明0.33……=1/3的例子很多，仔细分析，其实都是在利用微积分的相关定义。