量子的书中一般用厄米算符来导出不确定关系，这里用个别的方法
自由粒子的波函数为平面波：
ψ(x,t)=Aexp(i(px-Et)/h),h为约化普朗克常数
这是动量的本征函数，动量p是确定的，位置x则完全无法确定，因为这个波函数的几率幅处处相等，粒子在任意的位置出现的概率都是相等的。
一个任意的波函数可看作具有不同动量的波函数的叠加。
于是：
ψ(x,t)=∑c(p)exp(i(px-Et)/h)
p可以连续变化，-Et可以分离出来和c(p)合并变成c(p,t),所以可写成：
ψ(x,t)=∫c(p,t)exp(ipx/h)dp
显然，c(p,t)和ψ(x,t)构成类似于傅立叶变换对的关系，为了使逆变换具有比较对称的形式，改写成：
ψ(x,t)=1/sqrt(2πh)∫c(p,t)exp(ipx/h)dp      (1)
逆变换为：
c(p,t)=1/sqrt(2πh)∫ψ(x,t)exp(-ipx/h)dx     (2)
这里的ψ(x,t)和c(p,t)的关系和傅立叶变换对略有区别，主要是出现了h，观察(1)(2)两式，对比傅立叶变换，易知：
ψ(x,t)=(F^-1c)(x/h,t)/sqrt(h)  (3) F^-1代表傅立叶逆变换算子
c(p,t)=(Fψ)(p/h,t)/sqrt(h)     (4) F代表傅立叶变换算子
考虑一般的傅立叶变换对g(x)和G(p)，设Δg为f(x)的几率幅下的标准差，ΔG为G(p)的几率幅下的标准差
有：ΔgΔG>=1/2   (5)
证明过程较繁琐不写了,关键是使用帕塞瓦尔恒等式和柯西-史瓦西不等式，有关傅立叶分析的书上会有介绍。
设Δx为ψ(x,t)的几率幅下的标准差，Δp为c(p,t)的几率幅下的标准差，由(3)(4)可知
若令Δx=Δg，则Δp=hΔG
代入(5)可得：
ΔxΔp=hΔgΔG>=h/2
这正是不确定关系。
类似的，把ψ(x,t)按不同能量叠加，则与c(x,E)构成类似傅立叶变换对的关系，所以能量E和时间t也构成不确定关系

本帖设为精品。
设为精品的原因是：作者给出了测不准关系的一种新的推导方法，值得向吧友推荐。（这种方法在通常的参考书中很难看到）

赫赫，谢谢老师提拔。
本贴纯属偶然所得
看到数学中的ΔgΔG>=1/2和量子力学中的ΔxΔp>=h/2 
断定二者本质一定相同，于是动笔验证，果然如此。

修正一个证明中出现的瑕疵：
“若令Δx=Δg，则Δp=hΔG ”
这里有问题，应该是：
令：ψ(x,t)=g(x)，则Δx=Δg
由(4)可知：
c(p,t)=(Fψ)(p/h,t)/sqrt(h)=G(p/h,t)/sqrt(h)
所以Δp=hΔG

罕见奇才,拉普拉斯!

楼上言过了
推导过程并不复杂，所以我觉得，这也一定不是我的首创
（虽然我还没有在任何地方见过这样的推导方法）

由于是初涉量子论不到一周，完全是玩票性质
如有错误欢迎斧正！

果然好贴！！值得一看
不知道楼主能不能更进一步，利用这个方法得到更一般化的力学量算符间的对易关系呢？

对易关系就简单了，把算符代入AB-BA一算就出来了。

哎呀 sorry 发现之前打错字了
我想说的是楼主推出的是比较特殊的动量和坐标的不确定关系，我想这个方法应该也可以得到一般力学量之间，当已知对易关系时也能得到他们之间的不确定关系。
恩，是这样。
我想了一下，反正能量和时间的不确定关系是可以用同样方法得到的（如果可以定义一个“时间算符”的话），因为时间函数和频率函数是一对傅里叶变换对嘛，而能量又是频率的线性函数（普朗克公式）。
这样是不是有可能得到任意两力学量之间不确定关系的普遍通用的证明呢？

强烈鄙视一下十一楼。

顶起来
好贴子

曾谨言的书里有
而且你只推了动量~坐标不确定度
严格地说时间~能量不确定度不能这么推，因为脱离具体的物理背景，你根本无法定义Δt

强烈鄙视一下十一楼。

我想了一下，反正能量和时间的不确定关系是可以用同样方法得到的（如果可以定义一个“时间算符”的话），因为时间函数和频率函数是一对傅里叶变换对嘛，而能量又是频率的线性函数（普朗克公式）。 
----------------------------
时间算符是有的，在波函数的x，t表象中，就是t乘，所以能量时间不确定关系当然是没问题的，把px分离到一边，留下exp(i(-Et)/h)就行了，其过程和动量坐标不确定关系的推导完全是对偶的。
这样是不是有可能得到任意两力学量之间不确定关系的普遍通用的证明呢
--------------------------
几乎不太可能，因为任意的力学量算符F可以是P，X等算符的任意解析函数，一般的，由Δp，Δx难以表达Δf，另外，不确定关系的一般形式是用对易算符表达的，对易算符难以用非算符的数学形式表达。

LZ的方法确实很新鲜。不过如果想得到一般的力学量的不确定关系，可能就得利用力学量的厄密性和对易关系了。

利用波包的性质...印象中Dirac的《量子力学原理》也是利用波包对不确定关系进行了估算。不过仅仅是估算而已。

哎~我只能说Dirac是个很神奇的人物~~

Dirac完全是用数学语言思考物理问题的。

我用的这个方法其实就是波函数的表象变换，在x表象和p表象之间变换，而这个表象变换恰好就是傅立叶变换。
一般的不确定关系几乎不可能这样得到。
狄拉克在数学上的严谨是被广为赞誉的。