这两天首页被极限刷屏，按照教学进度，过两天首页就会被各种积分刷屏。为了避免这种现象，我是不是该做点什么？于是这篇文章就来了。（绝对不是某吧主要(xie)求(po)我发的，括号里的内容五毛一条。。
面向群众：大一新生
发完之前不要插楼，另外文中有很多公式是以图片形式发出的，请注意。

除了换元积分法，分部积分法和有理函数积分法也都是解决不定积分强有力的工具。
分部积分法对应函数导数的积法则。对于函数f,g,我们有：
那么如何运用好这个方法？我们需要找出被积函数的一部分，它必须容易求出原函数，且它的原函数和被积函数另一部分的导数之积更容易计算。毕竟我们运用分部积分法也是为了降低积分的难度。寻找这样的一个被积函数中的一部分，正是分部积分的要领所在。
分布积分派上用场的时候一般是，被积函数可以明显地表示为两个函数的积，且这两部分不管怎么换元都没法凑出什么关系的。有时，对于某些特别“顽固”的函数，它只有一部分然而还是没法一眼看出它的不定积分，我们需要把这个函数f(x)看成1*f(x)然后再分部。
例1 求f(x)=arctanx的原函数。
解 这个函数只有一部分，而且没办法一眼看出原函数，因此我们把arctanx看成1*arctanx.
例2 求e^x*(sin2x)的原函数。
解：被积函数是两个函数的积，且两部分之间没什么联系，因此采用分部积分。为了方便计算，这里选择u=e^x, v=sin2x, 因为e^x无论怎么求原函数都是它本身。
e^x*cos2x仍然看出原函数，因此我们继续对这部分分部积分：
这里原积分同时出现在了等式的两端。因此我们把整个积分当成未知数看待，移项解出它：
常数C是最后加上去的。

有理函数是一种分式函数，其分子分母都是多项式。对于这类函数，我们要把函数本体进行处理后再积分；如果分子的次数小于等于分母的，那么直接用部分因式分解法——把这个有理函数分成多个分式之和。首先把分母的多项式在实数域内因式分解，分解的结果是一些一次多项式的若干次方之积和一些二次多项式（这些多项式无实数根）的若干次方之积。然后对于这些多项式，我们做如下的变换：
对于一次多项式的若干次方(x+a)^n, 做变换
对于二次多项式的若干次方(x²+bx+c)^n, 做变换
其中，所有的A，B，C都是待定的系数。
对于所有的多项式进行这种变换后，把这些变换的结果加起来，然后通分。此时左边的分母等于被积函数的分母，为确保这些变换之和等于被积函数，我们需要比较分子对应项的系数。对比系数得到一系列A, B, C的方程，解出这些数后我们就可以对这些变换进行积分来代替对原被积函数积分了。
如果分子的次数高于或等于分母的，我们需要先对分子降次，直到分子次数低于分母的。具体是怎么降的？也是凑。
例1 求1/x(x²-a²)的原函数。(a为不为0的常数)
解 分母的次数高于分子，因此我们直接对分母进行因式分解，做上面的变换：
通分右边得到
对比系数，
解得
所以对原被积函数的积分就等于
总体来说这种方法还是计算量偏大。
有些函数可以通过合适的代换转化为有理函数的积分，上面的例6就是一个很好的例子。此外，还有用三角函数的万能变换：
这些代换能把其它的三角函数全都换成tan(x/2)，就构成了它的一些多项式。

看完不定积分，我们回到定积分上。定积分就是在不定积分基础上进行一次代数运算，所以也没难多少。
例⑨ 求f(x)=lnx在[1,4]上的定积分。
解 根据上面的牛顿-莱布尼茨公式，我们需要lnx的原函数。
在求得的原函数中，我们代入x=4和x=1，作差，就得到了答案：8ln2-3.
由牛顿-莱布尼茨公式，我们还能得到如下结论：奇函数在关于原点对称的区间上的定积分恒为0 （因为奇函数的不定积分是偶函数，f(x)-f(-x)=0什么的）。
由定积分衍生出一种函数叫做变限函数，定义为：
a为常数。务必注意积分式中被积的是f(t)！
由变限函数的定义和莱布尼茨公式，我们又有一个非常重要的结论：
说白了就是对一个函数求不定积分然后求导，得到的是它本身，这不废话么。。（
在前面说过，定积分的几何意义就是函数图像下的面积。不过不仅如此，定积分还可以用来求其它的一些东西，比如曲线长度，函数曲线的一部分绕某根直线旋转生成的曲面的面积。不过这些东西的应用纯粹都是套公式，在这里不详述了。

上面那些定积分只是讨论了有界函数在有界集上的积分。然而我们还会遇到无界函数或者有界函数在无界集上的积分，这些被称为广义积分。
先看在无界集上的积分（反常积分）：实数轴上的无界集都包含一个∞，因此这类积分要么上限是+∞，要么下限是-∞，或者上下限就是两个∞。
于是我们定义
当然这些定义都是有前提的。前两个定义的前提是，等号右边的极限存在；第三个定义的前提是，等号右边的两个极限都存在。如果这样的反常积分具有一个有限的数值，那么就说这个反常积分是收敛的，否则就说是发散的。
例10 判断f(x)=x*(e^(-x))在[0, +∞)上的反常积分是否收敛。
解
我们求出f(x)的原函数是(-x-1)e^(-x).因此
令t趋于无穷，上式右端的极限等于0（e^(-x)是个高阶无穷小）。因此原反常积分有一个有限的值，所以是收敛的。
对于幂函数，x的指数大于等于-1时，其在定义域内包含+∞的区间上的反常积分是发散的；当指数小于1时，它的反常积分是收敛的。这一点非常容易验证。
有时，即使被积函数难以求出原函数，我们也能判断其反常积分的敛散性。这里给出的反常积分的比较审敛法起到了这个作用：
对于函数f(x), g(x), 如果f(x)≤g(x), 而g(x)在某个区间上的反常积分是收敛的，那么f(x)在这个区间上的反常积分也是收敛的。反过来，如果g(x)≤f(x), 而g(x)在某个区间上的反常积分是发散的，那么f(x)在这个区间上的反常积分就是发散的。简单说，“大敛推小敛，小散推大散”。
例11 判断f(x)=x/(x³+1)在(1, +∞)上反常积分的敛散性。
解 注意到x/(x³+1)<1/x²，而容易得知1/x²在(1, +∞)上的反常积分是收敛的，所以原被积函数的反常积分也是收敛的。
判断反常积分敛散性还有两种方法，狄利克雷审敛法和阿贝尔审敛法。
阿贝尔审敛法指出，如果f(x)在某个无穷区间上的反常积分收敛，g(x)在这个区间上单调且有界，那么f(x)*g(x)在这个区间上的反常积分收敛。
狄利克雷审敛法指出，如果f(x)在某个无穷区间上的反常积分有界，g(x)在这个区间上单调趋近于0，那么f(x)*g(x)在这个区间上的反常积分收敛。
简单说就是“收敛*有界=收敛”和“有界*0=收敛”。
另一种广义积分，即无界函数的积分，称为瑕积分。这种积分的定义方式性质和反常积分类似，判别方式也大同小异，在此不做赘述。
总结一下，广义积分就是在定积分的基础上对原函数求一次极限，要么令变量趋于无穷，要么令变量趋于函数的某个瑕点（函数无界的点）。这个极限存在就是收敛的，否则就是发散的。在绝大多数情况下，求原函数，即不定积分的方法都是至关重要的，所以前面求不定积分的方法还要熟练掌握。

那么，我要讲的积分内容大概就是这些。最后附上https://tieba.baidu.com/p/3451183085这个链接，里面给出了很多原函数不初等的例子。就是说，做不定积分的时候看到这些东西，就可以把它们丢进垃圾桶了。不过这不代表它们的反常积分或定积分无解（重要）！

那么，
最后祝你，
身体健康。
再见。
特别鸣谢：niu神 @niu88884 （鸣谢5毛一条，括号里的内容不要发！

1/(x+a)的积分还是ln|x+a|好些 ,感觉是扣分点
不留一个mma在线计算的连接 小心被砷手党缠上

我记得在积有理函数的时候还有一个递推公式的。。。
—然而并没有什么卵用

碱基，我会好好调教你的

做几点补充：
1.从word复制过来时，例题的题号谜之错乱。。无视就好。
2.楼主是菜鸡，所以肯定有些地方写错了。。然而欢迎纠正错误。（你这是什么态度。。
3.21楼的图，自行脑补“被水淹没，不知所措”。

后排

还是入门向的，受教了。

很好！实用

膜拜碱基

顶一下。
留道习题:求415*(5x^4-1)在0到2上的定积分。

顶一下

小号顶一顶

Answer to Floor 31. It is very easy. Let me share a "good" solution.

给伸手党们留一句话，看到一些定积分不要随便把上下限去掉