level 8
fx2422esplus
楼主
首先我不是民科，然后我也不太确定我说的对不对。百度了半天百度不到小数的定义，尤其是无限小数的定义，怎么定义它的第1位，第2位，……，第2422位，……？我现在用小学生方法来猜猜，如果不对还请指正。
举个例子，1/11不是整数，那么我们尝试把它用小数表示出来。我们知道这个数是0.090909……
但是我们凭什么就说它的十分位是0，百分位是9，下一位是0，在下一位是9，……？为什么十分位不是1？
对于有限小数，这个问题很容易解决，例如0.315，它乘以1000之后等于整数315，所以毫无疑问它十分位3百分位1千分位5。然而无限小数呢？我认为是通过跟有限小数比较来定义的。
我先说一说我认为的定义。例如一个数的十分位是多少？（下面的讨论默认这个数是0到1之间的无限小数）如果这个数小于0.1，那么十分位是0，如果大于0.1小于0.2，十分位是2，……，如果大于0.8小于0.9，十分位是8，如果大于0.9，十分位是9。以上10种情况必居其一。
就像1/11，它的每一位是多少？
首先，整数部分是几？显然，它小于1而大于0。所以，整数部分是0。
下一步，它的十分位是几？列竖式的时候会商0，本质原因是，它小于0.1而大于0。根据定义，它的十分位是0。
百分位呢？它大于0.09，根据定义，它的百分位是9。
后面每一位都类似。
当然，我也不确定是不是这样定义，然而我却找不到其它的定义“XXX数位是几”的方式。还有一种方式是用一个数列来对应一个0到1之间的数，a1表示十分位，a2表示百分位，……，an表示小数点后第n位。不过如果这样，我也研究不明白了。
（关键是我百度不到具体的定义啊啊啊，否则我也不至于发个帖子说自己“猜”是这样啊！）
好的，按照这个定义，如果一个数表示成小数以后是0.999……，那么这个数首先要小于1，因为它的整数部分是0。然后，它要大于0.9，因为它十分位是9。他还要大于0.99，因为它百分位是9。不管小数点后有几个9，都没有它大。当然必须是有限个9。比任何一个这类数都大，然而却小于1。事实上，这样的数是不存在的。也就是说，任何一个小于1的数，我们都能找到一个0.999……（有限个9）这一类的数，大于那个小于1的数。因此，我怀疑0.999……这个数的存在性。
当然，还有一种理解，是把0.999……（无限个9）理解成一个数列0.9，0.99，0.999，……这个数列的极限。如果这样理解，毫无疑问，这个数是1。
另外，按照这个定义，0.999……（无限个9）这个数是个空白，没有定义。不过可以补充定义，来填补这个空白。就像一个函数f(x)在x不为0时等于x(x+1)/(x+1)，那么x=0时就是一个空白，没有定义。但是我们可以在x=0的位置补充一个定义。让它等于几都可以，但是如果希望这个函数具有一些好的性质，例如连续性，我们会希望x=0处的函数值是1。同样道理0.999……这个数是个空白，我们补充定义，同样也希望这个定义让这个数具有一些好的性质。如果规定它等于0.9，那么试问，0.999……跟0.99谁更大？我们希望0.999……更大，所以不能把它定义为0.9。同样道理，把它定义成任何小于1的数都会出现这样的问题，虽然不是不可以，但是大家都不希望这样。现在大家普遍接受的就是刚才说的那个，定义成0.9，0.99，0.999……这个数列的极限值1。那么问题来了，这个小数再怎么说整数部分也是0，它应该小于1才对。但是不要忽略了我“猜”的那个定义的前提，就是必须存在一个数，它小于1，又大于0.9，大于0.99，大于0.999，大于……必须找到这个数，才能规定0.999……等于那个数。现在的问题是，这个数不存在，所以那个定义并不适用，我们并不能得出0.999……<1的结论。我们也希望0.999……等于一个小于1的数，但是我们做不到，所以也只能这样。如果规定它等于一个大于1的数，更不是我们希望看到的。如果规定0.999……就是一个空白，不给它定义，那我也说不出来有什么不好。不过人们接受了0.999……等于1，那么我们也接受吧。就因为这个地方出现了不希望出现的结果，才引发这么激烈的争论。
2015年09月03日 16点09分
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举个例子，1/11不是整数，那么我们尝试把它用小数表示出来。我们知道这个数是0.090909……
但是我们凭什么就说它的十分位是0，百分位是9，下一位是0，在下一位是9，……？为什么十分位不是1？
对于有限小数，这个问题很容易解决，例如0.315，它乘以1000之后等于整数315，所以毫无疑问它十分位3百分位1千分位5。然而无限小数呢？我认为是通过跟有限小数比较来定义的。
我先说一说我认为的定义。例如一个数的十分位是多少？（下面的讨论默认这个数是0到1之间的无限小数）如果这个数小于0.1，那么十分位是0，如果大于0.1小于0.2，十分位是2，……，如果大于0.8小于0.9，十分位是8，如果大于0.9，十分位是9。以上10种情况必居其一。
就像1/11，它的每一位是多少？
首先，整数部分是几？显然，它小于1而大于0。所以，整数部分是0。
下一步，它的十分位是几？列竖式的时候会商0，本质原因是，它小于0.1而大于0。根据定义，它的十分位是0。
百分位呢？它大于0.09，根据定义，它的百分位是9。
后面每一位都类似。
当然，我也不确定是不是这样定义，然而我却找不到其它的定义“XXX数位是几”的方式。还有一种方式是用一个数列来对应一个0到1之间的数，a1表示十分位，a2表示百分位，……，an表示小数点后第n位。不过如果这样，我也研究不明白了。
（关键是我百度不到具体的定义啊啊啊，否则我也不至于发个帖子说自己“猜”是这样啊！）
好的，按照这个定义，如果一个数表示成小数以后是0.999……，那么这个数首先要小于1，因为它的整数部分是0。然后，它要大于0.9，因为它十分位是9。他还要大于0.99，因为它百分位是9。不管小数点后有几个9，都没有它大。当然必须是有限个9。比任何一个这类数都大，然而却小于1。事实上，这样的数是不存在的。也就是说，任何一个小于1的数，我们都能找到一个0.999……（有限个9）这一类的数，大于那个小于1的数。因此，我怀疑0.999……这个数的存在性。
当然，还有一种理解，是把0.999……（无限个9）理解成一个数列0.9，0.99，0.999，……这个数列的极限。如果这样理解，毫无疑问，这个数是1。
另外，按照这个定义，0.999……（无限个9）这个数是个空白，没有定义。不过可以补充定义，来填补这个空白。就像一个函数f(x)在x不为0时等于x(x+1)/(x+1)，那么x=0时就是一个空白，没有定义。但是我们可以在x=0的位置补充一个定义。让它等于几都可以，但是如果希望这个函数具有一些好的性质，例如连续性，我们会希望x=0处的函数值是1。同样道理0.999……这个数是个空白，我们补充定义，同样也希望这个定义让这个数具有一些好的性质。如果规定它等于0.9，那么试问，0.999……跟0.99谁更大？我们希望0.999……更大，所以不能把它定义为0.9。同样道理，把它定义成任何小于1的数都会出现这样的问题，虽然不是不可以，但是大家都不希望这样。现在大家普遍接受的就是刚才说的那个，定义成0.9，0.99，0.999……这个数列的极限值1。那么问题来了，这个小数再怎么说整数部分也是0，它应该小于1才对。但是不要忽略了我“猜”的那个定义的前提，就是必须存在一个数，它小于1，又大于0.9，大于0.99，大于0.999，大于……必须找到这个数，才能规定0.999……等于那个数。现在的问题是，这个数不存在，所以那个定义并不适用，我们并不能得出0.999……<1的结论。我们也希望0.999……等于一个小于1的数，但是我们做不到，所以也只能这样。如果规定它等于一个大于1的数，更不是我们希望看到的。如果规定0.999……就是一个空白，不给它定义，那我也说不出来有什么不好。不过人们接受了0.999……等于1，那么我们也接受吧。就因为这个地方出现了不希望出现的结果，才引发这么激烈的争论。
