如图，任意四边形ABCD，一过对角线交点E的直线交BC、AD于M、N，交AB、CD于P、Q，若ME=EN，求证PE=EQ
只要不用反演，其他任何几何法都行

几何画板验证没有问题，我是做任意过ABCD的圆锥曲线（椭圆优先），将其仿射变换成圆形式，利用圆蝴蝶定理解决。再有就是直接将AB与CD看成二次曲线双曲线的退化形式，然后直接坎迪定理，但是目前还没找到不利用二次曲线的方法，所以请吧友给一个我笔记一下

可以构造调和点列。

韦达定理

1/EM-1/EN=1/EP-1/EQ

在△ABC中以EMP为割线，由Menelaus定理得：
AC/CE×EM/MP×PB/BA=1
在△AEN中以CDQ为割线，由Menelaus定理得:
AC/CE×EQ/QN×ND/DA=1
在△APN中以BED为割线，由Menelaus定理得:
AD/DN×NE/EP×PB/BA=1
消去（1）式除以（2）式再除以以（3）式得：
EM/MP×QN/EQ×EP/NE=1
故
MP/（EM×EP）=QN/（NE×EQ)
即
（EP-EM)/（EM×EP）=（EQ-EN)/（NE×EQ)
是故
1/EM-1/EP=1/EN-1/EQ

其实还是我大蝴蝶定理变种，应该在几何瑰宝蝴蝶定理那有，我查了一下真有

@不知道3254
证法如下。

问题解决了，多谢啦

其实就是笛沙格对合定理, P,M,N,Q 是 2 组 对合点。

张角公式可秒

对于这个问题，目前我自己的解法是将原图的任意四边形ABCD改成平行四边形，则PE=EQ，中心射影该图形到一平行于该图形平面的另一平面，再将此平面以PQ为轴旋转，那么仍然射影后图形中仍然存在PE=EQ及满足条件ME=EN，而原平行四边形投影为任意四边形，题设得证