有点晕了 只知道曲率非0的流形上能有正交归一的标架场但是不能有正交归一的坐标系

卖萌可耻啊

标架场不一定能对应于某个坐标系的自然基。去看看Frobenius定理就知道了。

我当时看的时候也很晕、后来感觉好像就是相当于对每一点都给定一个坐标系。

对于一个给定的n维微分流形
, 考虑它的切丛
, 则(局部)标价场就是在某个开集
上
的一组n个光滑截面
(x是
中的点), 满足: 对于任何一点x, 切向量组
是线性无关的(成为x点切空间的一组基底).如果
是一个局部坐标域, 那么就有自然的坐标标架
. 但反过来, 远非任何一个局部标架场都是某个局部坐标的基底场; 回忆一下, 坐标基之间必须要对易才可以. 根据Frobenius定理, 这实际上也是存在相应的局部坐标的充分必要条件.

@DTSlo
我这样理解、你看对不对？
以二维空间为例、
给定两个线性无关矢量场ea、eb（标架）；两者分别诱导出曲线簇Ca、Cb。
现在Ca、Cb可以联合起来定义一个坐标系X、Y，但坐标值的定义尚有一定灵活性。
要使X的坐标矢恰好为ea、就得使X的坐标值与Ca的线长参量只相差一个常数。
现在给定某个Y线使得其上X=0、问题在于得到的X等值线并不一定与Cb重合。
而要使X等值线与Cb重合的条件、应该也正是ea、eb对易？

局部到整体就是一个可积性的问题，曲率为零是可积条件，所以在这个意义下曲率就是整体坐标存在的障碍。