前一阵子跟网友们（@ 坂上中微子，@fishwoodok ，@DTSTIo ，@foozhencheng ，@inempty ，@ 零枫linger，@feng1734 ，@planeheart ，@ 森林夜行者 ……）讨论中谈到混沌和统计力学的一些东东，把我记忆中早已落定多年的很多尘埃都搅了起来。本着重在掺和的原则，我也写几句。混沌这个东西，对我来说纯属兴趣，并非专业，所以掺和起来也很费力，有如童子操刀，深了力不从心，浅了泛泛而谈，很难定位。最终还是想写点直观的科普类东西，希望真正懂行的人不要因此嗤之以鼻，并不吝加以斧正。
过去我也有习惯写些小东西，纯属个人兴趣，不为给人看到，只为整理自己的思路，但写这么长是头一次。因为前面和诸位讨论的比较过瘾，就硬着头皮写起来。本文写到一半，由于工作突然吃紧，后半部分暂时搁置，并且很难预料何时可以继续，所以先把前面的发出来。大概每天一章。后面落下的等有空再拾起来继续，但不排除TJ的可能。
本文基本上是各种教科书上的知识，但会掺杂少量个人看法。为了不误人子弟，凡属于个人看法，我会在文中指明，请大家加以自行判断。

本文计划全文目录如下：
第一章、前言
第二章、决定论（determinism）和不确定性（uncertainty），混沌的初印象
第三章、动力学系统的分析观和几何观
第四章、线性化，常见的拓扑结构以及稳定性
第五章、奇异点，隐函数定理
第六章、分岔的局部分析，典型的局部分岔
第七章、Hopf分岔，周期解的诞生
第八章、庞加莱映射（Poincare map），周期解的稳定性
第九章、周期倍化，环面分岔
第十章、同宿纠缠
第十一章、奇怪吸引子
第十二章、走向混沌的岔路
第十三章、混沌的度量，分形
第十四章、谁偷了我们的时间？
第十五章、科学的不确定和不确定的科学
第十六章、襁褓中的量子混沌
第十七章、夸夸其谈混沌哲学
本文已经完成前八章，第九章进行到一半。
好了，上文！

mark

不了解，，，先马克

第一章、前言
“二十世纪有三件事可以载入科学史册，相对论，量子力学，和混沌理论” – Schuster
说起混沌，它的数学意义似乎远远不如哲学意义来的深远。对于人们几百年来所形成的决定论自然观，以及还原论的研究方法，从没有哪一个理论像它这样从根基上给予冲击。混沌理论给人一种新的方向：即使是决定论的规则，一样可以产生出不确定的演化。并且，对于不同层面上的现象，以纯粹还原论的方法来描述，不仅仅是计算量上的挑战，而且从原则上是不可能的，很多宏观上丰富多彩的高度有序结构，必须求之于数学上对整体的综合考虑，总体论必须成为一种与还原论相平行的方法。从这里出发，困扰人们已久的诸多古老哲学问题，诸如时间之箭，拉普拉斯之妖，似乎都有了黎明前的微光。关于这方面，各种科普或非科普的读物已经是汗牛充栋了，我就直接略过。
因为混沌领域到现在为止还太年轻，所以对于混沌这个核心概念，现在还没有一个明确的定义为所有人接受，但是，至少有几点是大家公认的：
1. 它产生于决定论的系统。
2. 它只能在非线性系统中发生。
3. 它会演化出复杂的、似乎毫无规律的、类似随机行为的运动，如果对它做一个傅里叶分析，我们会发现它有非常杂乱的宽带噪音。它的庞加莱映射点布满空间。
混沌行为从数学上讲，维基百科里面总结了如下几个特征，我认为是一个很精炼的陈述，但并不完全妥当，它总结了各种混沌的特征，但是未必每种混沌都具备所有这些特征。就是：
1. 系统的演化对初始条件极端敏感。这个特征已经是非常大众化了，我8岁的女儿都会摆出一副恨铁不成钢的样子一本正经地教育我什么是蝴蝶效应，但是很多人对此有些误解，下面再说。
2. 系统中任何初始集合，不论它们的体积大小，演化到足够长的时间之后，都会遍布整个相空间。
3. 相空间中的周期性轨迹是“稠密”的。所谓稠密，指的是在相空间中任意取一点，它的邻域中必然存在一个这样的轨迹。也就是说，每一点都“无限”靠近一个周期轨道。
如前所述，大家对于第一个特征耳熟能详。但是这其实是远远不够的。例如，我有一个映射如下：
我们很容易分析它对初值的敏感性。但是它绝不是一个混沌系统。第二条特征其实对混沌系统的意义更大，这种混合的性质才是真正使得系统不可预测的元凶。
此外，还有另外一种反向的说法来大概定义混沌行为：对于一个动力学系统，如果系统的演化在时间趋于无穷的时候，它出现如下行为：
1. 系统收敛于某个稳定的平衡态
2. 系统表现为周期运动
3. 系统发散
那么，这个系统就不是混沌系统。
当然，混沌还可以用李雅普诺夫（Lyapunov）指数、豪斯道夫（Hausdorff）维度、或科莫哥诺夫（Kolmogorov）熵等来定量衡量。但是这些概念并不能仅凭其中一个就能够概括混沌的所有性质，必须结合使用。我们后面会谈到。
总而言之，混沌是一个普遍存在的，为大众所一致承认的现象，但是，混沌的具体定义却还没有达到为学术界一致认可的程度。

混沌在自然界中是如此的普遍，远远超出了人们平常所意识到的。我们所能用传统动力学“优雅”“简洁”地解决的问题，与混沌系统相比，直如凤毛麟角。可以说，混沌系统几乎统治了我们周围的一切现象。但是，混沌到底是怎么样从决定论方程中产生的呢？这个与分岔有着直接的关系，正是本文核心所想讨论的。
何为分岔呢？这里我先非常简单地把“分岔”描述为这样一种现象，即动力学系统的一个参数的连续变化却引起了系统行为突然的急遽反应，从而运动性质都变了。庸俗一点说，就是“量变”引发了“质变”。这个我们后面还会更加详细描述。从一种运动模式变为另外一种运动模式，这种日常生活中很常见，也非常符合直观。比如说，有一根塑料直尺（如下图），如果我们在两边用力向内挤压，在用力较小的时候，直尺的状态除了微小的压缩形变之外不会有其他变化。但是当用力大到某一点时，直尺会突然被挤弯了。无论我们如何小心翼翼地缓慢加力，这种由直变弯的过程都是突然产生的。这种变换还有另外一种性质，即多值性：这种弯曲可能向上（A），也可能向下（B），并且，如果我们保证实验过程绝对不受外界扰动，它也可能仍然保持笔直（C），但是我们发现这种笔直的状态非常不稳定，轻轻一碰它就保持不住了。也就是说，这个直尺的可能状态由一开始的一个（笔直）变成了三个（上弯、下弯、笔直），同时伴随着稳定性的变化（弯曲是稳定状态，笔直是不稳定状态）。我们说，系统分岔了。
这里我们看到，分岔的几个基本特性：多值性，稳定性的变化，以及系统行为的突变。
上面的例子表明，一个参数的变化引起了系统复杂性的变化。当系统跨过一个分岔时，复杂性便增加了一些（当然，反方向的分岔会降低复杂性）。当系统的参数连续变化的时候，有时会使得系统连续跨过多个分岔，它的复杂性每跨过一点都会以翻番的程度增加，并且分岔的出现也越来越频繁，直到某一极限点，系统突然由规律变得不规律了，这时，系统就跨入了混沌。
我将捋着系统从简单规律到混沌这条充满了分岔的道路上走一遍。除此之外，虽然本人的专业素养有限，但是我还是试图从哲学层面上讨论如下的问题：
1. 经典力学是否原则上是确定的？我们所说的“确定性的丧失”，到底是因为动力学系统本身从决定论中产生了不确定呢？还是因为它仅仅是个初始不确定的放大器？拉普拉斯之妖到底是不是从原则上可以踢出去？
2. 混沌与时间对称破缺之间到底有什么必然联系？
3. 量子系统与经典混沌有何不兼容？所谓“量子混沌”到底存不存在？宏观系统中的混沌是如何从量子力学中起源的？非线性和不稳定性到底如何引入量子系统？
最后这一条，笔者会引用一些普利高津的观点。众所周知，普利高津创立了耗散结构理论，虽然不能算是混沌理论的巨头，但却是混沌在应用领域中最成功的人之一。然而他的很多理论也因为其含糊不清而为人所诟病，所以读者对此人的观点还是自己判断吧。
谈论混沌，如果不想流入泛泛之谈，那必然会用到数学。混沌系统主要涉及非线性分析、泛函、拓扑几何、数值分析等领域。笔者首先个人修养实在有限，其次也想尽量让更多的人来了解这个领域，所以力求直观。下面我会尽量使用最简单最直观的数学工具（事实上是，我也没有能力去运用高等数学工具）。但是正如绝大多数动力学问题一样，无论如何简化，微积分、线代、以及简单的微分方程都是不可避免的。我将尽量局限于这些范围，而对在此之外的概念用类比和图形的方法直观化。这必然就牺牲了很多严谨性和逻辑性。有些地方，我会跳过推导直接给出结论，并尽量提供相关资料，供有兴趣的人进一步参考。
本文的兴趣在于连续演化的动力学混沌，所以只有在必须的时候，才会涉及到离散性系统。关于离散映射，例如logistic映射，马蹄铁映射，伯努利映射，猫脸映射等等，各类科普或非科普读物比比皆是，凡是涉及混沌的，几乎必需提到这些，我假设大家都已经很了解，或者可以轻易从网上找到相关信息，就不一一细说。我的兴趣主要在经典动力学行为，所以一切以连续系统为主，
除了数学，还不可避免还会用到少量力学和热力学的基本概念。下面这些术语都是一些在微积分领域之外、不直接涉及分岔和混沌而又比较常规的概念，有时候对这些术语并不一定需要严格理解。我这里列出来但是不做进一步解释，有需要的话，笔者推荐维基百科，英文版的维基百科相当的专业。
拓扑（topology）、相空间（phase space）、粗粒化（coarse graining）、保守系统（conservative system）、耗散系统（dissipative system）、开集（open set）、线性/非线性算子（linear/nonlinear operator）、演化（evolution）、流形（manifold）、映射（map）、吸引子（attractor），排斥子（repeller），单值矩阵（monodromy matrix），系综（ensemble）、同胚（homeomorphism）、热力学熵（entropy）、信息熵（Shannon entropy）

很好。

马，很感兴趣~

有时间慢慢看，，，，

看样子是按写书的路子走。科普书有必要花些时间搞些图，比如分型几何东东。

上面第一个公式表示了这个流是以y0为起点的，第二个公式表示演化的任何一个时刻，都可以以此时的状态为新的起点继续演化，即流的确定性。因此可见，对于一个确定的动力学系统，一旦初始值确定了，它的演化轨迹就确定了，更加浅显一点说，就是一旦系统现在的状态确定了，那么它未来无限远的时间内如何变化都是确定的– 这就是“决定论方程”的含义。而系统现在的状态又可以看做历史状态的决定论演化，历史是确定的，所以现在和将来都是确定的，这就是著名的拉普拉斯之妖论断，相信大家都已经耳熟能详了。
下面两张图用相空间中的轨迹来说明决定论和非决定论演化的区别。A是一种非决定论的演化方式。系统从一个初始点1演化的过程中，由于一种非决定论的机制，它可能向2，2’，或2”不同的方向演化，它“选择”了2，而这种选择是完全不可预测的，随机的。然后系统依次向下演化，最终到达5。这个过程中，系统经过多次，甚至时时刻刻的随机性选择。那么，人们在确知初始状态1的时候，并不可能知道它最终走向哪里 ，我们重复一次实验，它的结果就可能完全变了 – 它的未来是“不定”的。而B是决定论的演化方式，任何一点1，必定沿着精确的轨道走向2。不论我们重复多少次实验，它总是沿着完全相同的轨道一次次重复这个历程。而系统其它所有的初始点也都有着同样的行为。在决定论方程下的相空间中，演化必定是沿着一条道走到黑的，不容许有一点选择余地。两条轨迹既不可能相交，一条轨道也不可能分叉。
这里有一点必须特别注意：这里说的轨道的分叉和我们前面提到的系统的分岔是不同的，所以我特意用了不同的词来表示（“分叉”和“分岔”）。分叉指的是在一个确定的动力学方程下，对应于一个确定初始点的轨迹出现了不确定性，而分岔指的是，在动力学方程参数的微小变化（即动力学方程本身的微小变化），系统整个动力学行为的突变。所以，我们说，演化轨迹不可能分叉，与系统的分岔并不矛盾。

从这个角度讲，这个经典动力学图像里面不存在“不确定性”的生存空间。- 这一点我们后面的章节还会再回来重新讨论这个问题：在我看来，即使是经典图像下，原则上也是不确定的。
现在，我们先来讨论这样一个问题，人们永远不可能“确切”地确定一个初始点，因为人们的观测精度总是有限的。那么现实上，人们能够处理的“初始点”其实是包含了这个点的一个有限大的邻域，人们只知道初始点在这个邻域中的概率分布（系综），但是不知道我们面对的是哪一个确切的点。相应地，我们所能处理的“轨道”也只能是一个从这个邻域出发的有限“粗”的纤维丛。换句话说，我们的观察总是粗粒化的。
如图D，我们就面临着这样的粗粒和粗纤维丛。这种情况下，我们只能在一定的精度范围内“大致“知道系统的演化轨迹，我们的粗粒化越精细，就能越精准地确定系统的演化路径 – 条件是这个纤维丛不散开。
但对有的动力学系统，纤维丛在演化过程中确实会发散，这时，这个纤维丛的“大致”轨迹可能就完全不可定义，因为它扩散得到处都是，无所谓轨迹了。这种情况发生在系统对初始状态极端敏感的时候。如图E就表示了这种情况。系统从包含初始点1的一个粗粒开始演化，这个粗粒中的各个点各自有确定的演化方向，例如向2，2’，2”这三个方向的演化都是确定的轨迹，但是仅仅是因为其中的点略微偏离了1一点点，它的轨迹可能远远偏离2的方向，而走向了2’或2”。并且沿着1向5演化的整个路径中，中间任意一点都有这样的性质，即它旁边非常接近的一点会走向完全不同的道路。
由此可见，虽然在整个过程中，每一个轨道都是唯一的，没有任何分叉，但是由于我们精度的有限性（哪怕是原则上！），我们不可能观察到每个点，而只能观察到一个粗粒。对这个粗粒而言，它就有各种不同方向的演化可能。也就是说，轨迹虽然是唯一的，但是轨迹丛却可以分叉，而我们不能完全分辨轨迹丛和轨迹！如此一来，我们就不可能确定系统的走向 – 初始点的一点点不确定性都被放大了。
虽然原则上我们总是可以增加我们的观察精度，来缩小粗粒的体积，进而使得我们能够分辨的轨迹丛尽可能“细”。但是在混沌系统中，轨迹丛的发散是随时间指数增长的，在极短极短的时间内，它就完全扩散到整个空间里去了。我们提高十倍百倍，哪怕是几十亿倍的观察精度，都只能使这个纤维丛细那么一点点。最后，以至于要求我们必须有近乎无限的观察精度，才能在足够长的时间内跟踪其中一根纤维的大致走向。否则，在一个任意小的有限精度下，E系统的表现就与A系统几乎完全一致的：我们无法确定它的未来走向。而它们的区别就是E是决定论规则下的演化，而A是非决定论规则下的演化。

我们可以做一个类比：想象一下，一根绳子散掉了，然后它的每一根纤维杂乱地散开，那么，虽然我们沿着其中每一根纤维都能确切找到它的走向，但是从整根绳子的一头出发，我们就不能够确切地跟踪这根绳子的走向。这有时就意味着我们进入了混沌区域。这个我们后面会详细讲。
混沌的另外一个特性就是分形结构的形成。我们这里先略微提一下，后面再回来详细讨论。前面提到初态敏感意味着轨迹丛的散开。那么，它是规则地散开，还是不规则地散开？
如下图一个初始点的集合（系综）。这个集合在演化过程中会如何变化呢？我们说，动力学方程可以看做是从初始点集向末态点集的一个映射（点集可以看做是轨迹丛与等时间面的截面），这个映射的效果就是变形 – 拉伸、压缩、扭曲、撕裂等等。我们来考虑一个能量守恒的哈密顿系统，我们知道，这个点集的体积在演化过程中是保持不变的。这个系统如果对初值敏感，那么其中的点在演化过程中就会相互迅速远离。但是同时，由于保守系统相体积的不变性，它必然就表现在一个方向上拉长，而在另一个方向上压缩。如图，初始点集在不同的控制方程下的演化，到达末态的时候，点集经过了拉伸，扭曲，卷曲等变化，可能会出现A或B两类情况，向A和B的两个演化方向都表现出了初始条件敏感的特性，但是，A其实是一个有序的状态，而B则是一种非常复杂的分布。我们说，它向A的演化并不是混沌的，而向B的演化是混沌的。这就是我们在第一章提到的关于混沌的行为特征的第二条，“拓扑混合性”，的含义。

在最后，我引用费曼物理学讲义里的一段话来结束本节（第一卷，38-6章节）：
“说的更明确一些，给定任一精确度，无论它精确到怎样的程度，我们都能找到一个足够长的时间，以致无法对这么长的时间作出有效预言。其实要点在于这段时间并不长。如果精度为十亿分之一，这个时间并不是数百万年。事实上，这个时间随着误差呈对数式增长。结果发现只是在很短很短（tiny tiny）的时间里我们就失去所有信息。如果精确度提高到十亿乘以十亿再乘以十亿分之一 – 那么不管我们说多少个十亿，只要最后不再说下去 – .我们总能找到一个时间，过此时间后再也不能预言会发生什么了！因此，诸如以下的说法……说什么量子力学将我们从绝对机械论的宇宙下拯救出来是不公正的，因为从实际的观点来说，在经典力学中早已存在着不确定性了”

顶了再看。楼主加油！

插，加油！

看……O_o

放假归来继续连载

第三章、动力学系统的分析观和几何观
“哈密顿力学就是相空间上的几何学” – Vladimir Arnold
上节中的公式（1）和公式（2）其实分别体现了对动力学系统的两种观察角度，我把它们称作分析观和几何观。以分析观处理问题，方便于数学建模，定量求解，局部分析，以及机理探寻；而以几何观处理问题，则很容易获得非常直观的描述，有利于理解系统演化过程以及各种分岔的形式，并且对系统的全局演化一目了然。
一般而言，我们拿到一个微分方程以及它的边界条件和初始条件，我们最熟悉的处理过程都是基于分析观的，例如，我们会对它求解，不论是分离变量、拉普拉斯变换、级数、微扰等解析法，还是有限差分、有限元之类的数值方法，总之，我们有一套有效的手段获得这个方程的解。然后，对着这个解我们会说：“啊，原来是个阻尼振动”之类的话。但是，对于这个动力学的全局行为，我们并没有获得太多的知识 – 我们只是知道在某个特定的初始条件下这个系统的具体演化过程，我们虽然对这种特定条件下每一个时刻的运动状态都很精确地得到了答案，但是诸如如下的问题：在全局上，这个系统的“定性”性质是如何的？它的稳定性如何？它还可能出现什么样的运动模式？在什么初始状态下，它对应什么样的响应？等等，我们并不清楚。
对于一个动力学系统（1），在分岔研究的过程中，我们必须熟悉用几何的观念观察它的演化。简单而言，就是用几何的办法研究系统演化在相空间中的表现形式。不是说我们用分析观就没有办法得到以上的答案，但是我们会发现，从几何的角度看动力学问题，不但直观，而且在很多时候非常简洁优美。我记得当初还在读书的时候，我们学校的一个教授说过一句话：“相空间的概念是现代科学中最为强有力的发明之一”，当时觉得这是危言耸听，现在看，虽不中，亦不远矣。
前一章提到，对于所有可能的初始点，由之起始的演化，在相空间中都会有一个流与之对应着，也就是说，该点随时间在相空间中演化出一条轨迹。这个流的几何特性也就反映了动力学系统的运动特性。例如，下面是一个Van der Pol 振子在不同参数下的解和这个解对应的相空间中的轨迹（图形引自mathworld：
http://mathworld.wolfram.com/vanderPolEquation.html）。