先介绍一下对易子的定义：
[A,B]=AB-BA ①
我们把①式叫作关于不定元A与B的对易子。
为了下面的叙述上的简单方便我们用数字符号代替字母符号进行叙述。
恒等式：
[1,2]+[2,1]=0 ②
[1,[2,3]]+[2,[3,1]]+[3,[1,2]]=0 ③
通常人们把③式叫雅可比恒等式。

②式可以叫作两个不定元的恒等式，③式当然就是三个不定元的恒等式了。
利用②与③容易推导出等价形式的雅可比恒等式：
[[1,2],3]+[[2,3],1]+[[3,1],2]=0 ④
对于④与③式来说，我们可以对于它们的不定元1,2,3中任意两个进行交换，当然也可以进行复合交换恒等式仍然成立，只要交换对于③与④式左边的三项都进行就可以。
其中的原因可以与S3群联系起来。为此，需要介绍S3群并且引入适当的符号，也需要说明这些符号所表示的含义。

现在我们对S3的所有元素取形式和，尽量详细一些吧：
(123)+(132)+(213)+(231)+(321)+(312)
并把它记为：

如果你把③或者是④式的左边打开并进行整理所得到的结果不是别的正是下面的式子

而如果把不定元1,2,3的任意两个对换用在③或者④上（以③为例）记为：
（i,j)[1,[2,3]]+[2,[3,1]]+[3,[1,2]]=0 (i,j=1,2,3)
就相当于群S3对于这个形式和的群作用：


就是用S3的每一个群元作用于带括号的形式和的结果是不变的。(i,j)的一个对换对应于S3的一个群元，当然对换的复合就对应于S3的“乘”了因为群的封闭性仍然得到S3的一个群元。
不知道明白不明白。
一个重要的推论是：
我们可以证明：不存在4个或者4个以上不定元的雅克比恒等式，也可以说雅克比恒等式对于不定元来说是不能推广的，仅对于2和3个不定元成立。
这个证明比较麻烦（略）


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