level 6
以下用(x)表示x为循环节。
令A={一切小于0.(9)的有限小数}，B={一切小于1的有限小数}，
那么任意x∈A => x∈B，以及任意x∈B => x∈A。
因而，A=B。
但是显然，sup A=0.(9)，sup B=1。
根据上确界的存在唯一性，0.(9)=1。
2012年04月09日 11点04分
level 7
level 1
把0.9（循环）看成一个无穷级数
即：0.9（循环）=0.9+0.09+0.009+.........
该级数收敛于1 。
但在微积分中，求的是极限，没有直接划等号一说。
目前为止，数学家并有没有证明出“收敛于”和“等于”是相等的，所以在目前看来，0.9（循环）不等于1。
2012年05月04日 02点05分
3
即：0.9（循环）=0.9+0.09+0.009+.........
该级数收敛于1 。
但在微积分中，求的是极限，没有直接划等号一说。
目前为止，数学家并有没有证明出“收敛于”和“等于”是相等的，所以在目前看来，0.9（循环）不等于1。
是的。“收敛于”和“等于”存在质的不同，否则就无极限这个概念了，导数也无意义了：0/0无意义。
2012年06月20日 10点06分
层主+1![[又长一岁]](/static/emoticons/u53c8u957fu4e00u5c81.png)
2013年02月13日 04点02分
不等于1，那么是大于1呢，还是小于1呢？
2013年03月05日 10点03分
回复 ghostin4 :+10086
2013年06月29日 12点06分
level 1
回复2楼。
虽然我认同0.99…… = 1 。 但是觉得你的证明不严密。
A={一切小于0.(9)的有限小数}，B={一切小于1的有限小数}，
当x = 0.9……时，显然 x不属于A 但无法推导出 x不属于B。（这是任意x∈B => x∈A的逆反命题的反例证）
你在做“任意x∈B => x∈A”的时候用了潜在前提:“0.(9)不小于1”。
所以这个证明是无效的。
2012年06月06日 17点06分
5
虽然我认同0.99…… = 1 。 但是觉得你的证明不严密。
A={一切小于0.(9)的有限小数}，B={一切小于1的有限小数}，
当x = 0.9……时，显然 x不属于A 但无法推导出 x不属于B。（这是任意x∈B => x∈A的逆反命题的反例证）
你在做“任意x∈B => x∈A”的时候用了潜在前提:“0.(9)不小于1”。
所以这个证明是无效的。
level 7
不对。
我说得清楚些吧。
x∈A => x∈B：
如果x≤0，显然。
如果x>0，那么由定义，这是纯小数。亦即，x可以写成0. a1 a2 a3 ... an的形式。——所谓有限小数，当然可以明确指出它有n位。
于是，按照有限小数比大小的法则，x<1，x∈B。
x∈B => x∈A
如果x≤0，显然。
如果x>0，那么由x<1可知，x可以写成0. a1 a2 a3 ... an的形式。
如果对于i<n，有ai<9，那么显然x = 0.a1 a2 ... ai < 0.99..9(共i位) < 0.(9)。
如果a1 = a2 = ... = an，那么x = 0.99..9(共n位) < 0.(9)。
因此，x∈A。
你的例子：
当x = 0.9……时，x是个无限小数。当然既不属于A，也不属于B。
2012年06月08日 19点06分
6
我说得清楚些吧。
x∈A => x∈B：
如果x≤0，显然。
如果x>0，那么由定义，这是纯小数。亦即，x可以写成0. a1 a2 a3 ... an的形式。——所谓有限小数，当然可以明确指出它有n位。
于是，按照有限小数比大小的法则，x<1，x∈B。
x∈B => x∈A
如果x≤0，显然。
如果x>0，那么由x<1可知，x可以写成0. a1 a2 a3 ... an的形式。
如果对于i<n，有ai<9，那么显然x = 0.a1 a2 ... ai < 0.99..9(共i位) < 0.(9)。
如果a1 = a2 = ... = an，那么x = 0.99..9(共n位) < 0.(9)。
因此，x∈A。
你的例子：
当x = 0.9……时，x是个无限小数。当然既不属于A，也不属于B。
level 7
level 1
level 1
![[顶]](/static/emoticons/u9876.png)
level 1
level 1
![[狂汗]](/static/emoticons/u72c2u6c57.png)
level 1
level 1
level 3
我不认同0.999...=1怎么办？
0.999....的1000次方和1的1000次方应该不相等吧？小学生求指点
2013年08月18日 02点08分
15
0.999....的1000次方和1的1000次方应该不相等吧？小学生求指点
level 1
试试这样行不行：
1.证明0.（9）的极限是1。证明方法：把它看成一个常数数列{xn}(xn=0.(9))，再设置一个数列{yn}（yn=0.99..9，n个9，可以用((10^n)-1)/10^n来表示），和另一个常数数列{zn}（zn=1）。对任意的n,存在yn<=xn<=zn，且yn极限=zn极限=1，用逼夹原理可得xn极限为1.
2.常数的极限是它本身。（这个是极限的性质吧？本解的关键，或者我记错了？？？记错了当我没来过。。。- -!!!）
3.所以0.(9)本身就是1
2013年08月20日 02点08分
16
1.证明0.（9）的极限是1。证明方法：把它看成一个常数数列{xn}(xn=0.(9))，再设置一个数列{yn}（yn=0.99..9，n个9，可以用((10^n)-1)/10^n来表示），和另一个常数数列{zn}（zn=1）。对任意的n,存在yn<=xn<=zn，且yn极限=zn极限=1，用逼夹原理可得xn极限为1.
2.常数的极限是它本身。（这个是极限的性质吧？本解的关键，或者我记错了？？？记错了当我没来过。。。- -!!!）
3.所以0.(9)本身就是1
level 1
level 1
数轴，一个数值对应一个点，0.999999……和1不是一个数值，所以他们不相等，小学生知识
2013年10月04日 17点10分
19
level 1
0.999…与1
设0.999…中有n个9,则0.999…与1同乘以10的n次方,则1x10^n—0.999…x10^n=1
因为1是自然数，所以1x10^n大于0.999…x10^n
因为10^n>0，且不等式两边同除以一个大于0的数，不等号方向不变，所以0.999……<1
表示刚高二 高等数学的不会……
2013年10月08日 16点10分
20
设0.999…中有n个9,则0.999…与1同乘以10的n次方,则1x10^n—0.999…x10^n=1
因为1是自然数，所以1x10^n大于0.999…x10^n
因为10^n>0，且不等式两边同除以一个大于0的数，不等号方向不变，所以0.999……<1
表示刚高二 高等数学的不会……
level 1
既然认为1=0.999……，那么1-0.999……=1/10^n（等比数列可得）=0，综上可得，我们可以随便的把1/10^n看成0，那么1=（10^n）*（1/10^n）=（10^n）*0=0竟然你都认为1=0了，那我也不好意思说你错了，还有非要找一个0.999……和1之间的数，你看0.999……+1/（2*10^n）可好
2013年10月13日 01点10分
21
受不了你们这些高中生了，1-0.999……=1/10^n？拜托别自己造数字好不好？1/10^n是什么东西？n是什么？自己脑补出来的不是数学。这帖子里几乎所有的反证都可笑得我连答都不想答。
2013年10月13日 01点10分
回复 sd240324他哥 :脑残货，0.999……=9/10+9/100+9/1000+………………+9/（10^n）=1-1/10^n不懂？我真是服了，自己好好百度百度等比数列
2013年10月13日 07点10分
第一，张口就骂人很没素质。第二，我不知道秀等比数列这种高中概念有何优越感可言。第三，对任何正整数n，你的等式都不成立，0.9999...不能表示为任何有限和的形式。如果你想表示无限和，那这只能是一个级数表示，你所谓的n根本不存在。最后，多读点书再出来秀智商，否则就会秀下限。
2013年10月13日 08点10分
回复 sd240324他哥 :脑残？自己没学好了乱扯了？谁先张口骂人？一会说能表示一会说不能表示？一会不懂1/10^n是什么？知道了死不承认它的存在？
2013年10月13日 10点10分