已知p,q为质数,且满足p^3-p=q^5-q，问：是否存在这样的p，q，若存在求正整数组（p,q)，不存在则证明。来自数学竞赛吧https://tieba.baidu.com/p/1242288087
p(p+1)(p-1)=q(q^2+1)(q+1)(q-1),显然p>q>2,所以p=±1(mod q),p=nq±1，q^2+1=0(mod p)
即（(p±1)/n)^2+1=0(mod p),n^2+1=0(mod p),0<q,n<(p-1)/2
所以n=q,p=q^2±1,由奇偶性，矛盾。所以p^3-1=q^5-1没有素数解。

什么跟什么啊，跳步太多了

啊

先分解成p(p+1)(p-1)=q(q^2+1)(q+1)(q-1),左边要被q整除，只能p+1或者p-1被q整除；右边被p整除，只能q^2+1被p整除（p>q），设p=nq±1，代入q^2+1=0(mod p)，得到（(p±1)/n)^2+1=0(mod p),同时乘以n^2，同余式依然成立，即（p±1)^2+n^2=1+n^2=0(mod p),所以n和q都是x^2+1=0(mod p)的解，但是n和q都是小于(p-1)/2的,且p,q都是素数，于是n=q,p=q^2±1,右边是偶数，矛盾。

没有一句话证明n和q都是小于(p-1)/2，但是没有这个部分证明就不成立

p=nq±1，这样明显的事实，说明一下就够了吧，毕竟不是考试啊

n=2

n=2,q=3,p=5,没意见吧

小例子就不要举了，这又不是编书……其实我下午笔算到了p<100的
以后写证明要多写几个显然了，不然漏洞太多

话说我高中考试蛮严谨的，现在只想考虑“充分大”了，小例子喜欢直接用软件搜，搜不到才开始做，高中党慎用。还是参考8楼的办法，不要丢分

亲，谁都知道这么做下去肯定能做出来，但是关键性的步骤不能这么跳啊

而且只考虑充分大是解析数论和超越数论做的事情，初等数论和代数数论是严格要求严谨性的

哼

艾鼬，我就是说个思路拉，你们看得懂什么意思就可以了，这才是重点啊。什么都要求完整那是伸手党的事情啊……挽尊

亲，这不是细节的完整，是思路的完整，你躲不了的

无聊

为了不让这个无意义的讨论继续下去，我还是把它补充完整吧。
n,q>2,除非2^2+1=2^2+1=0(mod p)即p=5,易知p=2,3,5 方程都无解；
p>5时，n,q都大于等于3，所以n,q,都小于p/2

。。。。

......第一次听说