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哈密顿原理科普 本贴想给大家介绍“哈密顿原理”, 哈密顿原理实际上就是最小作用量原理,这一原理起源于对牛顿力学的进一步研究,17世纪与18世纪的充满着神密主义的色彩,当时,半哲学半神学的数学和物理理论充斥着整个学术界,其中最有名的就是费马了,费马是怎么样的人我想不用多说了吧,其研究或多或少地带有一种神秘主义色彩,他认为大自然存在着某种神奇的联系,所以费马的猜想特别多,费马大定律大家都耳熟能详了。费马还有一个猜想就是关于光的折射的,光为什么会发生折射?费马提出了一个当时来说相当神秘的原理,这个原理说,光所选择的是使它到达目的地所花时间最短的那条路径。由于光在水或玻璃中的传播速度比空气中慢,根据费马原理,光从空气中的一点A到达水或玻璃中的一点B走的路线不可能是直线,而必然发生折射,从而使光能最快地到达目的地。费马原理给那个时代的人留下了如此深刻的印象,以致他们急切地要去找出力学中类似的原理。利用这个原理来代替甚至解释牛顿力学。一个正确的被称作最小作用量原理或作用理原理不久就被皮埃尔及拉格朗日等发现了。现在就来介绍一下他们的发现:   首先他们这么定义作用量的,通过考察一个粒子在Ta时从A点出发,在Tb时到达B点这样一个典型过程,我们不仅要考虑粒子从A到B所可能走的所有路径,而且还要考虑它走这一段路程的所有可能方式。因此,对于一个特定的路径,粒子可先慢走,然后加速一会儿,再慢下来,然后再加速。物理学家把一定时间内走过这一路径的每一种特定方式称为一个“经历”,所有可能的经历都必须被考虑,给每一个经历指定一个被称为“作用量”的数,例如,一个经历可以被标上95.6,另一个经历可被标上123.45。作用量原理说,粒子的实际经历是作用量最小的那一个。就象费马原理能确定光的径迹一样,一旦我们确定了作用量,这个原理就为我们确定了粒子的实际径迹。如果能找到一个公式来算出一给定物体在任一经历下的作用量,我们就完全把握住了这个物体的运动情况,那么是否真的存在这样的一个数或作用量呢?在经典力学中别说还真的找到了,那就是动能减去势能。一个牛顿粒子的某一经历的作用量是这样计算的:从它的动能中减去势能,然后将这个量对从Ta到Tb的整个期间累加起来。(在牛顿力学中,动能是仅与粒子运动有关的能量,而势能则是一种“贮存起来的”可转换成动能的能量。例如,在地球表面附近的物体因重力的牵引而具有势能,物体离地越远,它具有的势能就越大。当物体下落时,它的势能就转换成动能。)作用量的计算很象会计计算某一生产方案的总商业利润。他从一周的毛收入中减去总成本,然后把这个量对整个财政年度的52周累加起来。商人自然要选择一个最优的经历使总利润最大。   好了,有了这样一个初步概念,我们来看一个具体例子,最简单的情况就是自由落体运动了,一旦张三决定了要直接下落,他也还得从无穷多种可能的经历中选出作用量最小的那一个。为简单起见,张三先生可从比较两个策略大体相反的经历入手:一种是开始落得慢些,然后逐步增加速度;另一种是开始落快一些,然后再逐步慢下来。请记住,作用量是动能减势能并对经历作累加。由于势能随到地面的距离的增加而增加,在高处花的时间多会有好处,因为这可以减去更大的势能。因此,张三的下落是先慢后快。借助于微积分,可以证明,张三的最佳策略是以一常加速度由慢变快的下落,读者可能会觉得,在这种情况下,作用量的方法实际要比牛顿的方法更复杂。情况也确实是这样。在后一种方法中,张三的加速度可由牛顿公式立即算出。但是,当物理学的知识超过牛顿力学时,作用量方法的优越性就越来越明显了。作用量原理在物理上被证明是适用于整个宇宙的。自牛顿以来的所有物理学理论都可以用作用量的语言表述出来。作用量的公式也更简洁和精巧。例如,麦克斯韦的四个电磁学方程就可用一个简单的作用量——一个使我们能对每一描述电磁场如何变化的经历算出一个数的公式来表述。整个量子力学也都是建立在作用量的形式之上。
试回答wht开心吧友的的《用洛伦兹变换换死相对论》的问题 Wht开心吧友:   看了你的《用洛仑兹变换换死相对论》的贴子,深感你对这个问题还是深入思考过的,并非是胡搅蛮缠。我通过仔细分析,觉得可能你还没有考虑周到。现在我在这里作一解释。   洛仑兹变换式并非仅仅会出现钟慢尺缩,它还会出现另外一个效应,同时性的相对性。我们知道,测量是一个过程。举个简单的例子,一个以速度V运动的小车,在测量它的长度时,假如你用尺子去量的话,总是要先定一端,然后再把尺子拉到另一端,但这时,由于小车是动的,另一端早已不在原来的位置了,所以你的尺子拉得越快,得到的值就越准确,也就是说,小车的两端,只有当你是同时测量时,才能准确地得到小车的长度。当然,对于静止的小车,不要求同时性。如果对以上的说明没有疑议,那么我们再来考察你的问题:   A系的A观察者看B车时,由于B车是运动的,得到的是9米,注意,A观察者必须同时测量B车,才能得到准确的值。现在我们来看B系,B车相对于B观察者来说是静止的。根据洛仑变换,B观察者看A在测量B车的时候,并不是同时的,A是先测量了右端,再测量了左端(同时性是相对的)而且得到的结果是9米,而B观察者看到的B车却是10米,B观察者如果一定要以A观察者为标准的话,可以认为自己的尺子缩短了,即把9米的尺当10米用(这是wht开心的结论),这里要注意,wht开心忽视了一个细节,既然一切以A观察者为标准,那么B系的时间也出现了变异,自己以为同时发生的事件,并不同时的,而不同时发生的事件才是同时的(以A观察者的同时性为准)。现在,B观察者开始测量A车,由于A车是运动的,所以B观察者只有以A观察者的同时为准为A车测量,才能得出正确的结论。而以自已同时去测量A车,就不准确了。换言之,B观察者测理A车得到的9米并非真实的。
关于黑洞的视界 谈到黑洞,两个东西是肯定会进入我们脑海的: 一个就是黑洞世界,一个就是黑洞奇点。 现在,我来问一下:黑洞的视界面,是在哪的? 就史瓦西黑洞来说,大家肯定脱口而出:2M的地方。 那么,事实上真的如此吗? 我们先来看一下什么是观测者的坐标系。 观测者的坐标系有一个特点,就是在观测者自身的位置,度规必须是局部平直的:{-1,1,1,1}。就这点来说,我们平时看到的史瓦西坐标显然不符合要求:如果我们在一个有限R值的地方有一个观测者,那么这点的史瓦西度规显然不是{-1,1,1,1}。 这就是说,史瓦西度规并不是对任何一个观测者都“合适”的度规,而只是对“无穷远观测者”成立的度规。 OK,明白这件事情以后,我们再回头来看:黑洞视界在哪? 比如说,A在无穷远,B在R=1米的地方,两者看来黑洞视界面是在同一个地方吗? 对A来说,直接用标准史瓦西度规就成了。但是对B来说,就需要做一个坐标变换,从而保证B点的度规为{-1,1,1,1}。 这个变换很容易,将度规tt分量和rr分量的1替换为1+X,其中X只要可以让度规分量为-1与1即可,也及2m/rB,rB就是B自己看来的r值。 这么做以后,黑洞视界面的位置自然就发生了改变:从本来的2M,变成了现在的2M/(1+X),也即随着B的“深入”,黑洞视界面位置也跟着退后了——黑洞缩小了。 这也就是我们常说的黑洞视界面的奇异性是坐标奇异性的原因。 因而,谈论黑洞的“大小”是一个很没意义的问题——当然,有一定的观测意义。实际上,黑洞的“大小”是一个完全因人而异的量,无法确定。 
论几何学之基础假说by黎曼 (Riemann) 大家知道,几何学事先设定了空间的概念,并假设了空间中各种建构的基本原则。关於这些概念,只有叙述性的定义,重要的特性则以公设的形态出现。这些假设(诸如空间的概念及其基本性质)彼此间的关系尚属一片空白;我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联,相关到什麼地步,甚至不知是否能导出任何的相关性。   从欧几里德(Euclid)到几何学最著名的改革家雷建德(Legendre),无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对於「多元延伸量」(multiply extended quantities)(包括空间量)的概念仍一无所知。因此我首先要从一般「量」(quantity)的概念中建立「多元延伸量」的概念。我将指出,「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉,几何学中的定理并不能由「量」的一般概念中导出,而是要源自经验和能够将空间从其他易知的三元量属性区分出来。因而有了一个问题,即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题看,最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义,它们并没有逻辑上的必然性。只是由经验认可,是一个假说。因此,我们能够做的是研究这类数据关系的可靠性(在我们的观察范围内当然相当可靠)。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外,亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。 
卡拉比—丘成桐空间 “卡拉比—丘成桐”空间(简称“卡-丘”空间)是一个蜷缩的高维空间。   应该说,这六维空间目前还没有一个固定的模型能在计算机上展现出来,也没有一种形状能让所有的物理学家都赞同。唉!宇宙不是那么简单的!它到底是什么样子,我们不得而知。但你可别气馁,科学家们认为这些多出来的维卷曲在一种叫做“卡拉比-丘成桐”的空间结构里,“卡-丘”空间的大小如何呢?它的半径小于亿亿亿亿分之一米,只有质子和中子半径的亿万分之一!太小了!目前我们是无法用任何办法来考察到的,更别说钻到里面去旅游一番、看个究竟了。   的确, 要描述“卡-丘”空间几乎是不可能的,因为它有六个维度。但是,还是让我们试着去想象出一个图景来吧!   “卡-丘”空间看起来就像纸团,就是那些你随手扔掉的攥成团的用过的草稿纸那样,然而,“卡-丘”空间的迂回曲折和翻转可比你那随手一攥,拧出来的形状复杂多了,它们像一条条蛟龙一样,尽情地翻腾,绕着自己翻过去,再转回来,打成一个个环,丝毫没有一针见规则可以用传的欧几里德几何描述,可是它们呢?却对此表现出完全蔑视的态度,它们只遵循一种更为抽象的几何学,比如说,卡-丘空间根本不知道什么是直线!   身处某一个“卡-丘”空间的感觉一定很刺激吧?确实,它很像一胩有趣的房子,很多墙壁围绕着我们,房子上似乎到处都是镜子,镜子里有无数我们自身的影像,当我们凝视的目光投向任何方向,我们都在经历着奇特的视觉魔幻,比方说,你注视正前方,看到的是什么?不是你的正面,而是你的背部!   当然,卡-丘空间里面并没有什么镜子,那里只空间本身。所以这里存在一个本质上的差异:从理论上讲,当你可以看着前方而确实看到了你的北面时,你可以对着你的“背”扔个球过去,两秒钟后,你猜会怎么样?你会感到有个发射物朝着你的剂量冲过来!想知道这个球的具体行踪吗?客观存在可能已经在六维空间里来回折腾了好几圈,就像乘坐了好多个过山车一样,最终,它结束了整了旅行,在你背上停了下来。“卡-丘”空间就是这么一种奇怪的东西!
代数学的新生 .   18世纪末出现的数学悲观主义具有深刻的认识论背景.从根本上说,数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关,对自然的探索是数学研究最丰富的源泉,而几乎所有数学分支中那些最初的和最古老的问题都是由外部世界产生的.但是,数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性.一门数学分支或一种数学理论一经建立,人们便可在不受外部影响的情况下,仅靠逻辑思维而将它向前推进,并由此导致新理论与新思想的产生.因此,内在逻辑的需要也是数学进步的重要动力之一.数学悲观主义的出现恰恰表明,以揭示自然和宇宙的"数学设计"为己任的17,18世纪的数学家们过于将数学的进展与天文,力学的进展等同起来,对于数学靠内在逻辑需要推动而发展的前景则缺乏充分的预见.   实际上,就在18世纪后半叶,数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革.当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的,长期悬而未决的问题,其中最突出的是:   1.高于四次的代数方程的根式求解问题;   2.欧几里得几何中平行公理的证明问题;   3.牛顿,莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题.   在19世纪初,这些问题已变得越发尖锐而不可回避.它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨,并导致了数学发展的新突破.与上世纪末人们的悲观预料完全相反,数学在19世纪跨入了一个前所未有,突飞猛进的历史时期.以下我们就以代数,几何,分析这三大领域的变革为主要线索,分3章来介绍19世纪数学的发展.本章要介绍的是代数学中的革命性变化.
H.G.格拉斯曼 .   德国数学家、语言学家和社会活动家。1809年 4月15日生于普鲁士波美拉尼亚省的海港城市斯德丁(今什切青,属波兰),1877年9月26日卒于同地。早年曾在柏林大学研习神学、古典语言文学,1830年开始研究数学和物理学。1832年提出一种新的几何理论,从而使J.-L.拉格朗日的《分析力学》(1788)一书的数学论证得到简化,并对P.-S.拉普拉斯的《天体力学》中有关潮汐的部分给以独特的推导。他在数学上的主要著作《线性扩张理论》(第 1卷,1844),给出向量外乘法的递推定义,建立了格拉斯曼代数和格拉斯曼流形的结构,以及在现代分析和微分几何中占据重要地位的外微分形式的计算,此外,还发展了一种“代数乘法”的运算,从而产生了现在称为多项式环的结构。这些成就对后来的数学发展有重大影响,然而却超出了当时数学家们的接受能力,直到他逝世前后才受到重视,得到应用。作为《线性扩张理论》 的应用,他于1845年发表了 《电动力学的新理论》,1846~1856年发表了一系列文章,把他的理论用来研究代数曲线和代数曲面的生成,1847年他的《几何分析》 一书获得莱比锡科学会的大奖, 1862年出版了《扩张理论(全面严格修订本)》,1871年被选为格丁根科学院通讯院士。    由于在数学上的成就长期得不到世人的承认,他在19世纪50年代开始研究梵语等多种语言,后来在比较语言学上取得重要成就。他提出的关于送气音的一个规律(1863),被称为格拉斯曼律。他的《吠陀经词典》(1873~1875)代表了他在语言学研究中的高度成就,多年来成为梵语研究的典籍。逝世前一年成为“美国东方学会”会员,获得杜宾根大学名誉博士。    格拉斯曼也是一位积极的社会活动家,参加过引起1848年欧洲革命的许多政治事件,创办《德意志国家、教会与民生周报》,不久改为《北德意志日报》,鼓吹在普鲁士领导下统一德国,建立君主立宪制。1849年大革命遭镇压后,他对复辟活动不满,而销声论坛。 
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