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费马大定理证明者：搞数学是一种怎样的体验？此文原载于+Plus Magazine网站。翻译作者：mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员，软件工程师。稿件校对：333 关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）是一个数学传奇。他由于证明了费马大定理（Fermat’s last theorem）这个数百年来一直嘲弄着数学家智慧的问题而格外地有名。在这次采访中，怀尔斯告诉我们，证明这样一个重要的结果是什么样的感觉，通常做数学又是什么样子。本文基于安德鲁·怀尔斯在2016年9月的海德堡奖学金论坛（Heidelberg Laureate Forum）上举行的新闻发布会。《Plus》要感谢海德堡奖学金论坛（HLF）提供这个机会，所有参与者的精彩问题，以及安德鲁·怀尔斯的深思熟虑的回答！在花了这么长时间来寻找证明之后，最终证明费马大定理是什么样的感觉？简直棒极了。这是我们一直盼望的，这些造就启示和激动的时刻。实际上很难平静下来做任何事情 —— 那一两天（你）欣喜若狂。起初有点难以回到正常的工作生活，也很难沉下心来做一些平凡的问题。。你是否认为你对费马大定理的证明是某种开始，而不是某种结束？好吧，两者都是吧。对于那个非同寻常、经典而又浪漫的问题，我的工作给它画上了句号，这个数学问题在我还是小孩子的时候就驱使我和带领我走向数学，所以它也是我从那时起稚气而浪漫的数学观点的终结。以它作为起点，打开了一扇通往朗兰兹纲领（Langland’s programme）的小门，以及试图在朗兰兹纲领得到结果的一种新的方式。那扇门的打开，（允许）很多人穿过和发展它，这也是我一直在努力做的。你为什么秘密地进行证明工作？实际上我没有秘密地开始。我告诉了一两个人，然后意识到不能告诉其他任何人：这不轻松。他们总是想知道我所做的一切，我是否取得进展等等。我完全确信那些在黎曼猜想（Riemann hypothesis另一个著名的未证明的问题）上工作的人，我相信其中有一些人，没有告诉全世界他们在做什么。因为如果你有一个想法，你只是想把它做出来。当然在大多数时候，你并没有想法... 第一次分享这个证明的经历（在剑桥的一系列讲座中），能够媲美这个证明的发现吗？不，发现是最令人激动的事情。有一种泄露天机的小感觉。这是一场私底下的较量。它是让我五味杂陈的朋友，因为它有时对待我很糟糕。（笑声）但是把它传递到世界上也有种小遗憾的感觉。你代表数学研究员向普通大众的听众演讲。当你与更广泛的公众交谈时，你会强调什么主题？我想很多人在年轻的时候已经被数学吓退了。但实际上你会发现的是，孩子们在有某些负面的经历之前，他们真的乐在其中。糟糕的经历可能是因为你被教导或者你处在一个人们害怕数学的环境中。但我在大多数孩子中发现的自然状态是，他们发现数学是非常令人兴奋的。孩子们生来就很好奇，渴望探索外面的世界。我试图向他们解释，对于那些坚持下去的人，（做数学）真的是一个愉快的经验 —— 它非常刺激。现在，当你作为一个稍大的孩子或成年人开始做数学时，你必须接受这种被困住的状态。人们不习惯这种状态。有些人觉得这样压力山大。即使是非常擅长数学的人有时也会觉得很难习惯，他们觉得这是他们的失败之处。但它不是的：它是这个过程的一部分，你必须接受（和）学会享受这个过程。是的，你不明白（当前的东西），但你要有信心，随着时间的推移你会弄明白 —— 你必须经历这个过程。这就像体育训练。如果你想跑得快，你得训练。在你试图做任何新东西的过程中，你都必须经历这个困难的时期。这没什么好害怕的。每个人都这么过来的。在某种意义上，我最为反对的，就是那种观点，例如电影《心灵捕手》（Good Will Hunting）所表达的，存在一些你天生的东西，要么你拥有它，要么你没有。这真的不是数学家的体会。我们都觉得数学很困难，这不是说我们和那些在三年级时与数学问题作斗争的人有什么不同。这真的是相同的过程。我们只是准备好打一场更大规模的战争，我们已经建立了对这些挫折的抵抗力。是的，有些人比别人更聪明，但我真的相信，如果他们准备好应对这些更多是心理层面的问题，即如何处理被困住的情况，大多数人可以真正达到相当好的数学水平。当你陷入困境时，你怎么做？研究数学的过程在我看来是你理解了关于问题已有的一切，你想到了很多解决这个问题的想法，使用了所有可用于这些东西的技术手段。但通常问题依然存在，需要别的东西——所以是的，你陷入了困境。然后你必须停下来，让你的头脑放松一下，然后再回来。你的潜意识正在以某种方式建立联系，你再次开始，也许在下午，第二天，甚至下星期，有时它就浮现出来。有时我把某个东西放下了几个月，我再回来然后发现它是显然的。我不能解释为什么。但你必须有信心，那会浮现出来。有些人处理这种情况的方式是他们同时处理几件事情，然后当陷入困境时他们从一个切换到另一个。我不能这样做。对此我会变得狂躁。一旦我被一个问题困住，我就不能再思考别的东西。这更困难。所以我只是稍微休息一下，然后再回来。我真的认为，如果你想成为一个数学家，有太好的记忆力并非好事。你需要有稍微不好的记忆力，因为你需要忘记你前一次处理（一个问题）的方式，因为它有点像DNA进化。你需要按照你以前的做法来犯一点小错误，使得你去做一些稍微不同的东西，然后这实际上能让你绕过去（问题）。所以，如果你记住之前所有的失败尝试，你不会再去试一次。但是因为我的记忆力稍微有点不好，我可能会尝试基本上相同的事情，然后我意识到我只是错过了一点我需要做的小东西。当你休息时 —— 你的一天是什么样的？我喜欢去参观牛津附近美丽的地方。我的意思是反正牛津是一个美丽的地方，有很多地方可以去，以及邻近的兰斯洛特·布朗（别名Capability Brown）设计的布伦海姆楼（Blenheim House）那儿的美丽的地方。有很多美丽的地方，例如就到这些在几个世纪前由那些真正投入了他们生命的人所创建的景观去走走，我发现那样非常放松。创造力在数学中有多重要？对，创造力就是它的全部。我认为外界对数学有不同的反应，其中之一是普通公众认为“不都是已知的吗？”，或认为它是机器式的。但不是那样的，而是非常有创造性的。我们想出一些完全意想不到的模式，无论是在我们的推理过程中或结果里。是的，要与其他人交流，我们必须使其非常正式和非常合乎逻辑。但我们不是按那种方式创造的，我们不按那种方式思考。我们不是自动机。对于它应该如何组合在一起，我们已经发展出了一种感觉，我们试图感觉，“嗯，这个很重要，我没有使用这个，我想尝试并想出一些新的方式来解释这个，使得我可以把它放入方程，”等等。我们认为自己非常有创造性。我想这有时对数学家们来说有点沮丧，因为我们从美和创造力等角度来思考，然而外界当然认为我们更像一台计算机。这完全不是我们看待自己的方式。它可能有点像音乐。在某种意义上，音乐，你可以只是用数字把它写出来。我的意思是，他们只是些记号。它是上，下，上，下，加入一个节奏。它完全可以用数字方式写出，确实如此。但你听巴赫或贝多芬，这不是一系列的数字，还有别的东西。这与我们一样。有一些非常，非常有创造性的东西，是我们非常热衷的。当事情开始变得协调并朝着正确的方向发展，你能感觉到吗？是的，一点没错。当你有感觉，就像睡梦中和清醒之间的区别。当你做错了，在你内心深处往往有点儿感觉到它还没有足够简化。但当你做对了，那么你感觉到，“啊，这就是它了。” 你认为数学是被发现还是被发明？老实说，我不能理解哪数学家会不同意它是被发现的。所以我认为我们都站在同一阵线。在某种意义上，也许证明是被创造的，因为它们更容易犯错并且有很多选项，但是根据我们的需要找到的实际的东西，我们只是认为它是被发现的。这是一个必要的幻觉吗？作为一个数学家，做这项工作，你需要相信是你发现了它，而不是发明了它吗？我不想说这是谦虚，但你以某种方式找到这个东西，突然你看到这个景致的美丽，你就是觉得它一直在那里。你不会觉得在你看到它之前它不在那里，这就像你的眼睛被打开，然后你看到了它。谁创造了这个景致？好吧，数学家不是那么的哲学。（笑声）我们是艺术家，我们只是享受它，我们并不是它的一部分。有哲学家和其他人工作在数学中更哲学的一面，有一些人为这种事情劳心，但我们不是伯特兰·罗素。我们真的不是。（笑声）我们其实想做数学本身。我们是工作的艺术家。微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

读《一个定理的诞生》有感作者：进仰，互联网工作者。投稿可发至[email protected]，详情参见征稿说明。关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文写在正文之前我关注哆嗒数学网时间虽然不长，但是作为一名数学爱好者，我仿佛找到了一个理想的彼岸。我曾在数学吧、33IQ等多个平台里面以提问和故事的形式分享我的“愚见”，一些零星的反响，带给了我不断探索的勇气与激情。偶然的机缘，我结识了哆嗒数学网，里面丰富多彩的数学故事、知识，以及经久不衰的书籍，让我叹为观止！本次我所参与的写作征集活动，也让我找到了一个能“畅所欲言”的舞台。祝愿哆嗒数学网能够充分利用互联网的优势，让数学那道神圣的光芒，照耀到每个默默为数学探究努力付诸行动的人。最后我对搭建哆嗒数学网，以及背后那些为这个平台的正常运作而默默付出的人表示由衷的感谢！作者是一名能为自己的目标而不懈追求的人，在他年轻的时候就被那包罗万象的波尔兹曼方程所吸引，与大多数数学家一样，围绕在他们周围的始终是堆积数米高的草稿子，一台笔记本电脑，一支笔，以及在自己所热衷的难题与生活面前数以万计的选择。他们是一群敢于在黑暗中前行的人，穷尽自己的智慧与胆识力求在黑暗中寻找出一条通向光明的道路，在这之前，或许他们也并不知道自己在哪儿，距离成功还有多远，唯一支撑他们继续前行的永远是那个最单纯的信念以及永不磨灭的好奇心，有人把定理和数学家的关系描述成：定理是在某个正确的历史节点上选择了一个正确的人来证实了自己的存在，而这个唯一接近真理的人在此之前却又是终日与孤独为伴，相逢的知己也就自然而然的成为了他生命中最难忘的人。对于隐藏在问题背后的本质，数学家们有着极其敏锐的嗅觉，即便已超越平凡的认知，可对于数学家来说，他们并不会停留于此，一颗追求完美的心，会时刻让他们陷入更深层次的世界里面。本文的作者塞德里克·维拉尼，一个多才多艺且充满传奇色彩的数学家，与其他数学家一样，为了自己心中拟定的那个奋斗目标能够变成现实，他奔走于各所大学开展不同程度的学术讲座，从普林斯顿研究所再到庞加莱研究所，其间也不断的进行着各种深度的学术交流活动，结识了一些志同道合的朋友并且畅谈一番；与此同时，他也与普通人一样，有一个幸福美满的家庭，为了扮演好一个父亲的角色，他不忘准时去接送孩子上学，逗他们开心，陪伴他们健康成长。与常人不同的是，他目标非常明确，并且能为自己的目标而付出十倍于常人的努力。朗道阻尼——粒子和波相互作用使波的振幅减小的现象。也许正如达尔文所述：“数学家就像是在黑暗中努力寻找黑猫的那一类人。”朗道阻尼就如同那只黑暗中的黑猫，因为从一开始，它就单单只是个猜想（尚未有被公认的数学表达式）。但是由于这个猜想所描述的等离子体的自发稳定性规律，让深处波尔兹曼方程正则性问题困惑的作者在冥冥之中嗅到了其中的关系。万物归宗，大到恒星自发组成具有稳定外形星系的神奇能力，小到等离子体的自发稳定性规律。二者虽然来自不同的研究领域，可在表述上却又不乏相似之处，或许能从相似的现象中可以提炼出相似的研究方法呢？通过把离散的恒星群体的运动近似的看作为连续的流体来进行研究，再对误差进行控制分析，从中导出与“最优运输”的关系，这一切的关联给作者带来了启发。在对以上部分的阅读中让我深刻的感受到了数学的神秘性，方向不同但思维方式却可以引起共鸣，再通过彼此之间的相互交融最后产生灵感。另外让我为之一颤的是文中所提到的 KAM 理论，它所描述的某些局部扰动并不能改变全局结构的特性，引起了我的共鸣，仅依靠自身的系统规律来实现局部无序到全局有序的转化，这种局部与整体不相一致的模式让我联想到了 IMO 中的一些情形：局部最优并不意味着全局最优。文中不乏有晦涩的专业术语，细细品味之后，抛开不明觉厉的感觉，呈现在我眼前的那一道又一道思维亮点，让我叹为观止。在高层次的数学领域中，更趋向与把研究对象分解，从系统性的角度来研究其具有的性质，通过精确的定义、严密的推导、巧妙的构造，实现思维模式到解法的转化。天书般的数学符号像一个个彼此相连的音符，他们紧密而又美妙的组合，成为了响彻整个宇宙的天籁之音，高度概括性、抽象性、层次性的特点让它失去了初等数学那样的亲和力，里面所涉及的符号就像一个个机构一样庞大而又复杂，对深层次规律的探索时刻让我感受到一种“道可道，非常道”的压力。不过，万变不离其中，只要我们目标明确，问题表述清晰形象，就不至于感到迷茫，数学背负着解释万物的使命，作为一门语言，我们用它来描述其他语言因为其自身的局限性而不能很好描述的现象，其操作过程往往是先把对象抽象出来在赋予其形象化的特征，这时问题很可能就转化为了一个能被解决的问题。灵感引领我们取得突破的第一推动力，在研究过程中作者也曾多次陷入不同程度的困惑之中，忘我工作的状态之后，迎来的并不全是疲惫与绝望，上帝最喜欢在这个时候抛洒灵感的火花，指引着他走出困惑，爱迪生曾说过：“成功是 99%的努力加上 1%的灵感”。而我更情愿不这句话改为“成功是用 99%的努力去换取那 1%的灵感，再用那 1%的灵感去指引随后 99%努力的方向，直到最后取得成功”。诚然，努力也不一定会成功，必要的时候需要跳出死胡同，当正向进展受阻，不妨考虑从逆向进展，如本文所做：把某个部分可能出现的解所具有的特征提取出来进行分析，对特征解的分析能加深对整个系统的认识，有助于走出困境。当然以上方法极具特殊性，普遍来讲，解决一个数学难题最常见的两种情况是：1.突破性发现。这种情况又可细分为两种：1.1 已有的数学工具相互组合形成一个能带来突破性发现的数学工具，例如：微分几何就是微积分学与几何学交融后所形成的一个新领域，复变函数就是复数与函数交融后所形成的一个新领域。依靠这种突破性发现来攻克数学难题的数学家是极具眼光的一类，这让我联想到了解决庞加莱猜想的俄罗斯数学家佩雷尔曼，其核心工具“里奇流方程”，一个描述空间图形形状，即使在连续变化过程中出现干扰，但也最终偏向均匀分布变化而不改变拓扑结构的规律的方程。虽然佩雷尔曼不是发现里奇流方程的第一人，但他却将非线性几何偏微分方程用于拓扑学研究，并取得成功的人，这归功于他独特的眼光。1.2 敢于打破已有的数学工具，开创出一套崭新的数学工具用于问题的研究，例如：日本数学家望月新一，据说他就开创了一套前所未有的数学工具——宇宙际 TR 理论，用于解决困扰数学界已久的数论难题——ABC 猜想，可是由于目前还没有建立起一个好的标准来对此进行审核，所以研究的结果也就被搁置一旁，无人问津。这种情况很少，毕竟当前数学研究模式依然是把研究成果建立在彼此合作之上的。本文作者力图构造一个能便于自己研究的范数，构造是一项极具挑战性的工作，在各种条件所限制的前提下，为自己争取尽可能大的可突破空间，可事情往往不是单向发展的，构造出的模型在用于研究的过程中随时都会遇到新的问题，这是我们会在局部与全局之间做出选择，运气好的话，通过相关的技术能够完成在局部范围内的修复，研究的以继续，诚然，无法得到修复的局部错误波及到全局，对其产生显著影响的时候，那么就只能打道回府，另辟蹊径，“说到底，你所做的这些事，随便一个笨蛋都能做到，你应该去寻找一个更重大的问题，让人生更有意义”。数学是一门极具艺术性的学科，一串看似简单静止的字符表达，却是一个复杂系统的缩影。是真理的传递形式的体现，是大量信息的浓缩体，艺术性的表达式成就了包罗万象的数学定理。数学是一门极具神秘性的学科，文中谈到格罗莫夫对纳什所提出的“非光滑嵌入定理”的评价是“这不应该存在，但确实存在”。数学是理论性很强的学科之一，它具有前瞻性，它推动世界的发展，但又超越现实的脚步，如今的数学已发展到及其抽象的阶段，即使是跨分支的交流也变得吃力，也许某些研究对象并不能在现实中找到实际意义，但是却能推动数学理论的发展，例如虚数单位 i，找不到实际意义，但却成为了复变函数的基础，而复变函数的发展却有着实际的意义。这种虚实之间的转换更是给数学披上了神秘的面纱，殊不知还有多少这样“默默无闻”的东西等待去发掘。数学是一门极具吸引性的学科，一个都能看懂，都有话可说的命题，却是一声跨世纪的问候，费马大定理、哥德巴赫猜想，叙拉古猜想......它们是时代的句号；先辈们的省略号；智者的问号；胜利者的感叹号。数学是一门极争议的学科，1976 年，哈肯通过计算机对一千种构形加以检验，以此证明了四色猜想。关于这种依靠计算机来完成理论性的证明的行为，是否有悖于数学证明的初衷，成为一个备受争议的话题，计算机作为时代发展的产物，理应肩负起时代的使命，与人类合作发展，它是人类智慧的体现形式，用它来辅助进行证明证明过程中所遇到的极其复杂的运算，是不影响人类在研究数学过程中所形成的思维模式，相反，计算机的合理使用会有助于提高我们对于运算本质的认识。数学是一门及其严谨的学科，尽管作者已经证明了在大尺度时间前提下的朗道阻尼，但是依然遭到不少人的质疑，于是他又带着“能否在无限时间条件下成立？”这个疑问，直到成功。一丁点的瑕疵，却使价值含量大打折扣，完美的定理周围总是围绕着一群苛刻的人。 “人应该把自己放在逆境中，才能成长”，致力于现实之中，却置身于希望之上。关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

欧拉最牛的五个数学成果原文作者： Günter M. Ziegler，柏林自由大学数学教授翻译作者：donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学博士。关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文莱昂哈德·欧拉可能是史上最多产的数学家。欧拉1707年出生于瑞士的巴塞尔，但他一生中的大部分时间都是在柏林度过的。柏林的数学家们都为这一文化遗产而感到自豪。也正因为此，上个月（注：指2016年7月）在这个美丽的城市所举办的第7届欧洲数学大会有欧拉特色也不足为奇了。会上Günter M. Ziegler，一位来自于柏林自由大学的数学家以及公众参与数学的倡导者，作了一个与欧拉有关的五个著名问题的讲座。这“五个天才的发现”之美，如Ziegler所述，在于，你不必是一个数学家就能去欣赏它们：或许要解决它们是困难的，但问题本身是容易理解且充满乐趣的。这就是为什么我们决定在这里重温它们的原因。在这里我们不准备过多地谈论欧拉的生平（你可以在“MacTutor数学史档案”（注：原文“MacTutor History of Maths archive”）这个网站以及各种各样关于欧拉的书中找到许多有趣的信息）。值得说的是，欧拉也在俄国的圣彼得堡度过了很多时光。在那里，他育有13个孩子，在失明后完成了毕生大半的工作，并于1783年去世。欧拉曾声称“他作出一些最伟大的数学发现的时候，同时会抱着一个婴儿在他的怀里且其他孩子会围在他的脚边玩”。可悲的是，其中只有五个孩子活到成年。现在让我们把欧拉的生平放在一边，回到那五个著名的问题上来。（这里没有注明问题的详情，有兴趣的可以百度之）哥尼斯堡七桥问题是否可以在该市的地图上找到一条路线，使得穿过每一座桥恰好一次？欧拉对这个问题的解答导致了图论的起源。骑士遍历问题是否可以连续移动一个骑士（注：骑士指国际象棋中的“马”），使得它经过棋盘上每个格子恰好一次，最后回到初始格子？欧拉是第一批系统地分析这个问题的人，但仍有一些相关问题至今还是开放的。36军官问题欧拉可能没有完全解决这个问题，但它导致了许多重要的工作，包括我们今天知道的数独。（编者注：36军官问题是问，从不同的6个军团各选6种不同军阶的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？）欧拉多面体公式这个关于三维物体的令人惊讶的结果告诉我们一些关于空间本质的东西。（编者注：欧拉多面体公式是指，任何简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系V - E + F = 2）巴塞尔问题这是一个无穷和，困惑了不少著名数学家，直到欧拉找到了令人惊讶的答案。关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

什么时候必须得用反证法？原文作者：高尔斯，剑桥大学数学教授，1998年菲尔兹奖得主。翻译作者：radium，哆嗒数学网翻译组成员，就读于重庆第二师范学院。投稿可发至邮箱[email protected] 关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文已经有一段时间了，自从我在“哲学点滴”条目下写了一个帖子，也是在那儿我提出了像“如何说明一个命题比另一个命题更强，或者两个命题是等价的？”这样的问题。这篇文章就是讨论这个在我脑海里思考了很久的问题，但我发现它比我预想的更难。似乎可以将定理分为三种类型：一种是不需要运用反证法来证明的，一种是不管用不用反证法都能证明的，最后一种是似乎只能用反证法。但是如何把一条定理归为这三种类型中的一种呢？这个问题源自于我教给学生们一种前人所想出来的证明方法。比如下面这个“假设数列(An)发散。由此可知...几行计算...这意味着An→A，矛盾”，当你指出这个证明的第一行和最后一行可以被删除时，他们有时会十分惊讶。没那么荒谬的证明更多的是像这样的。“我们知道|y-x|<δ，假设|sin(y)-sin(x)|≥δ，因为sin导数的绝对值最大为1，它推出|y-x|≥δ，这与条件矛盾。所以|sin(y)-sin(x)|<δ”在这个证明中，显然更好的是直接从前提出发，通过引理|f(x)-f(y)|≤sup|f’|·|x-y|推导出|sin(y)-sin(x)|<δ。但是，通常是运用反证法来证明引理：假设这个结论是错误的，然后运用中值定理。所有这一切的结果是，已有的形式无法给我什么提示，“如果你的定理是像这样的，那么尝试着用反证法，不然不要这样做”对于本文的剩余部分，我将讨论另外一组例子，来阐释问题的复杂性。例1：根号2的无理性这当然是运用反证法的经典证明，我们甚至可以给出一个证明这个命题必须要使用反证法的“准证明”。因为“无理性”意味着“对于任何整数对(p,q)，都无法使sqrt(2)（sqrt表示开根号，下同）与p/q相等”。如果这是定义，那么让我们假设证明的最后两行消失了：因此sqrt(2)有性质P，因此sqrt(2)是无理数。于是我们会问“为什么有性质P意味着那个数是无理数？”这可以很明显的看出来性质P意味着无理性，但是为了证明它仍然有必要说“于是，取任意有理数x=p/q...因此x没有性质P”（为什么这个是有必要的呢？正是出于同样的原因！也许这是证明长度或其他类似东西的归纳）带着这些问题，考虑以下论证，我们从计算sqrt(2)的连分数展开开始。于是我们得到sqrt(2) = 1 + ( sqrt(2)-1 ) = 1 + 1/( sqrt(2) + 1)。继续对分数的分母进行展开得到2 + ( sqrt(2)-1 ) = 2 + 1/( sqrt(2)+1 )，于是我们看到连分数展开开始出现循环，标准记法是[1;2,2,2,……]。特别是,它是无穷的,因此sqrt(2) 是无理数。第一眼看这个证明的，这似乎就是直接论证而不是运用反证法证明的：我们运用假设演绎出具有明显的无理数性质。但是，就像我之前笼统的评述一样，一个潜在的问题就是“为什么一个具有无限连分数展开的数是无理数？” 答案是什么呢？很明显一个有理数是有限小数，因为当你计算的时候，它的分母不断减少...哎呦，不好意思，这又是一个反证法。所以答案也许应该这么说，如果你正在试图证明一个否定性的命题，那么你就不得不用反证法，但是什么是“否定性命题”呢？以下的定理如何？定理：如果p和q是整数，那么p²≠2q² 啊哈！你说，是因为“不等于”形成了否定。但我们可以通过快速的变形成来解决。定理：如果p和q是整数，那么(p²-2q²)²>0。这个的否定又是怎样的?如果你认为它不管怎么样都受限于“严格大于”的概念，那么下面这个又怎么样？定理：如果p和q是整数，那么存在实数使得如果和是整数，那么存在实数x使(p²-2q²)²x = 1。对我来说，这个命题起来对是相当肯定的，因为它断言某种存在性。但如果你思考一下如何证明样的x存在，它将变的没那么肯定了。显而易见的想法是：“唯一可能出错的地方在p²=2q²上面，所以我们只须证明p²≠2q²。”那它又是否定的了。所以这是否意味着，如果对于一个命题，证明它的唯一合理的方式是将它重新归纳为一个包含否定词“非”的命题，那么这个命题就是否定性命题？即使这样看起来是正确的，似乎也很难具体化。这儿还有一个对于最后一个类型的例子。无限是一种无理数性质吗？有人可能说是的，因为它意味着不是有限。但是，当我们讨论到连分数时，我们关心的是序列，我们可以定义一个无穷序列，如果它的项可以和自然数之间建立双射。（我们也可以定义一个无穷集合，如果它和它的某个真子集之间可以建立单射。但是仅仅由于真子集没有包含全部元素，我们就能称真子集是一个否定性的概念吗？）例2.有界闭区间上的连续函数直到最近我才“知道”下面是这种实例。如果你想运用[0,1]的紧性证明什么东西时，那么你既可以直接使用海涅-波莱尔定理（Heine-Borel theorem ），也可以通过反证法来处理，具体就是把区间内的数重新排成序列并应用波尔查诺-维尔斯特拉斯定理（Bolzano-Weierstrass theorem.）。例如，证明连续函数f在区间[0,1]是有界的，你既可以通过找函数f在每一点的领域是有界的（由连续性的定义）且将区间[0,1]有限覆盖（运用海涅-波莱尔定理），也可以假设函数f是无界的，构造序列(xn)，满足对任意n有f(xn)≥n，应用波尔查诺-维尔斯特拉斯定理通过反证法来证明。我也默认有一种算法能将一种证明转换为另一种证明，虽然我从来没有实际尝试过其中的细节。但是最近，在我和一个同事的谈话的过程中，谈到了下面关于这个定理的证明。在此之前我一直认为于自己对证明怎么运行的理解的很到位，但下面这个证明让我意识到事情远不止那么简单。这个想法是尽量模仿上述反证法的证明，但是最后的结果并没有用到矛盾来证明。具体的讲，构建一个序列是最有可能的引起矛盾的序列，然后证明它不会引起矛盾。下面是论证的具体内容。令S∈R∪{∞}是{f(x) : x∈[0,1]}的上确界。通过上确界的定义，我们可以找到一个序列(xn)使f(xn)→S，通过波尔查诺-维尔斯特拉斯定理选择一个收敛的子序列yn，我们得到(f(yn))是(f(xn))的子序列，所以f(yn)→S。但是如果y是序列(yn)的极限，且f(yn)→f(y)，所以S=f(y)，即f(y)是函数f的一个上界。（注意这个证明也表明这个上界可以取到。）似乎这个证明没有涉及矛盾。但是如果我们进一步思考，你会发现矛盾隐藏在证明的“明显”步骤中。例如，我们怎么知道我们可以找到一个序列(xn)使f(xn)→S？我们需要将它划分为两个问题（除非我们想要定义隐含在其中的广义实数直线的拓扑）。 S∈R不是值得深究的问题，因为它，我们立刻知道函数f是有界的。（尽管这一步是没有必要的，我们也可以获得其他的信息，比如函数f达到了上限）。如果我们将问题转向为S=∞，我们正在做的证明与假设函数f是无界的有什么不同？我自己也很困惑。最后的感想从这些例子中反映出来的一件事是，反证法的概念与你用的定义和你认为理所当然的一些小结论有关。例如，我们定义一个数是无理数，如果它的连分式展开是无限的。事实上我不会主张这样做，但如果有人这样做，那么我给出的根号2的无理性“直接”证明就是直接的。而且如果我们不准使用假设|f(x)-f(y)|≤sup|f’|·|x-y|那么要证明在|x-y|<δ的情况下|sin(y)-sin(x)|<δ就会变得没那么直接，还是需要反证法。在这种情况下，也许我该给这样答复学生，虽然上面的讨论还是不很明确，但已经尽力了。——反证法是一个非常有用的工具，但是尽量不要使用它，除非你不得不用它。搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

欢迎加入哆嗒数学网欢迎加入哆嗒数学网，㓂群 128709478 防水：用费马大定理证明，对于任意正整数n>2，2的n次方根不是有理数。

被人忽略的“穷”猜想（一）：回文数猜想关注 DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文导读语：近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第一篇：回文数猜想。在说这个数学问题之前，我们现来说一个历史故事。清朝乾隆年间，乾隆爷到一家名叫“天然居”的酒楼吃饭。然后机灵一想，想出一个句子：客上天然居，居然天上客。这个句子很有意境，而且这个句字正读倒读都一样，我们把这样的句子叫做“回文”。回文其实是语句中文字上的对称。英语中，也有类似的回文。据说亚当遇见夏娃的第一句话是：“MADAM, I’M ADAM!”这句话的字母从正着看或者倒着看都是一样的。自然数中，也有和上面提到的文字一样，数字无论从左往右，还是从右往左都是相同字符顺序的数，我们叫它们“回文数”。比如323、3334333、345676543都是回文数，而35456、45等，都不是回文数。对于一个自然数，如果他不是回文数，我们把他的数字顺序倒过来，再和原有数相加得到一个新的自然数。如果新的自然数还不是回文数，就再倒过来，再相加，一直做下去。比如自然数38，倒过来就是83，然后38+83=121得到了一个回文数。再比如176，按前面的办法反复做：176+671=847，847+748=1595，1595+5951=7546，7546+6457=14003，14003+30041=44044，还是得到一个回文数，虽然过程的步骤更多。那么是不是所有的自然数按上面的办法反复操作，都能在某一步得到一个回文数呢？如果和哆嗒数学网的小编们一样猜“是”，就是回文数猜想。也有很多人猜不是。那么如果一个自然数无法通过上面的步聚得到回文数，我们把他叫做利克瑞尔数(Lychrel Number)。回文数猜想也可以是这样表述：不存在利克瑞尔数。最小的疑似利克瑞尔数是196。但也有人想通过计算机，以196起始，按上面过程，希望在某一步得到一个回文数。可是，人们对196已经做了很多步骤了，仍然没有得到回文数。 1987年一个叫John Walker的人，用当年电脑程序算了近3年，算了2415836步，得到了一个包含100万位的自然数，但没有得到回文数。 1995年 Tim Irvin用超级计算机，得到了一个200万位的自然数，这回只用了三个月，但没有得到回文数。 2000年Jason Doucette得到了1千多万位的自然数，但没有得到回文数。 2006年VanLandingham得到了3亿位的自然数，但没有得到回文数。 2011年 Romain Dolbeau用分布式处理，进行了10亿步，得到一个4亿多位的自然数。但没有得到回文数。 2012年同样是Romain Dolbeau，同样用分布式处理，得到一个6亿位的自然数。但没有得到回文数。至今196是不是利克瑞尔数还是不被人知晓。关注 DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

数学真的是永恒的吗？原文作者：Andrea McNally 翻译作者：吹牛皮出洋相，哆嗒数学网翻译组成员，就读于苏州大学数学系关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文任何涉及到数学学科的人都很可能会回想起一次或者多次被质问数学是否有用的经历，Eduardo在他的TED演讲“数学是永恒的”中讨论了这个问题。他指出这个问题有三种回答：第一种回答富有进攻性，它认为数学无关实际应用的需要，拥有属于它自己的意义；第二种是一种保守性的回答，它回复道从桥梁建设到信用卡账号，数学隐匿于一切事物的背后；第三种回答，也是Eduardo主张的观点，数学的实用性源自于它的培养直觉的能力，从而使其永恒。数学是永恒的吗？Eduardo似乎是这么认为的，他认为钻石不能永恒，而一个定理可以。数学家们用他们一生的时间去提出猜想并想尽办法证明这些猜想，而一个猜想一旦被证明成立，他就成为了一个定理，一个永远存在的真理。因此，诸如勾股定理和蜂窝定理的理论将永远成立，无论我们在这里是否承认它们。这种想法根源于柏拉图主义，一种认为有独立于我们思想存在的抽象数学对象的哲学观点，因此所有数学上的真理只是等待着被发现而不是被发明。（下面是Eduardo的演讲视频，英文中字,地址 http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fv.qq.com%2Fx%2Fpage%2Fl0186pbi37v.html&urlrefer=3d9533aaa0d8d7073a1a89c071822452）在数学哲学观的领域里有两个做出过重要贡献的人。第一个是德国数学家大卫·希尔伯特（下图），希尔伯特纲领的提出者，他主张所有的数学都可以用公理化的形式表示，并在这样的形式下给予证明，他能够通过有限的步骤给出古典数学问题的一个证明。希尔伯特坚信理论可以在不需要直觉的情况下得到发展并且产生一系列的规则和公理，这些规则和公理是相容的，所以人们不能同时证明出一个断言既是对的又是错的。像Eduardo一样，希尔伯特坚信数学的能力是无限的。然而，希尔伯特的研究却给库尔德·哥德尔（下图）的研究以及他的不完备性定理带来了灵感。哥德尔证明了希尔伯特的关于生成公理的步骤的认知是不成立的，总会有一些猜想的证明实际上并不存在。哥德尔第一不完备性定理证明了数学理论不能被明确的统一起来并鉴别真伪，甚至看似最完美的基础理论都会含有有关自然数的不能被证明的断言。但是，我们要知道哥德尔从来没想过要推翻希尔伯特纲领，而仅仅是想要提供一个新的观点，这一点很重要。所以这使得数学界仍然保持一定的开放性，以供人们去探索数学是否真的是无关人类的认知水平就已被创造好或永恒存在。如果一棵树在一片无人的森林中倒下，那它还会产生声音吗？如果有个猜想没人能证明，那这个猜想所对应的定理仍然存在吗？像许多学派的思想一样，这里存在着模糊性和不确定性。作为数学界的一名个体，我们有义务深入研究各种认知和观点，并得出我们自己的结论。不过我们可以肯定的是，直觉和创造力在数学中绝对是不可或缺的。

小试牛刀：概率论击穿街头高端骗术作者：清华大学数学系 @李逍遥易水寒（本文由作者授权哆嗒数学网发布）关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文先来说说事情的起因。前不久，@江宁公安在线收到微博求助，求助人在街上发现一个小摊玩掷骰子的游戏，规则如下。如果看不清，我们把局部放大了看。是的，貌似只有一个是罚钱的，其他的都赚钱。好的，从经验来看这一定是个骗术，但是他骗人的机制是怎么样的呢？我们的公安蜀黍当然不能让人民群众失望，一定要给求助者一个完整的分析。于是，做了如下分析：然后，蜀黍发现，他分析不下去了，貌似这并不是辣么简单的骗术，似乎骗人的手法还有点高端。于是向广大网友求助。最后，来自清华大学数学系的 @李逍遥易水寒给出了完整解答。虽然，从专业数学的眼光上看，是一个简单的概率和数学期望的分析，但是解决的过程缺需要十分细心的操作。其间，还借助了软件辅助解决问题，为广大网友解惑。我们为他的这份工作点赞！ @李逍遥易水寒的解答如下：该游戏的26个数字布局是经过精心设计的，从而保证了利益的最大化。同时这种离散型分布而且是不具备统一的函数表达式的离散型分布，所以我们只能采用穷举加编程的方式来解决这个问题。下面的概率结果涉及到了很多细节，如果其中一个细节出错，那么最终的结果也一定会南辕北辙。第一个细节是“先交2元，然后选定方向，然后再掷骰子”。所有参与的玩家都是不清楚选顺时针和逆时针的差别，所以他们玩这个游戏的时候选方向是随机的，因此二种方向的概率都是1/2。5个骰子一共会出现6×6×6×6×6 = 7776个结果，其中有重复的情况。为了使具备高中数学水平的同学都能够看懂，本文主要采用最基础的数理方法来求解这个问题。虽然从我的角度来说很繁琐，但是从大家的角度来说将会方差便于理解整个问题，既明白结论，更重要的是能够明白问题推导的过程。 1.“中+50元”的概率：（1）顺时针掷出5点的概率：首先选出顺时针方向，概率为1/2；然后5个骰子都必须掷出1点，总和为5 的时候，仅存在一个情况。因此概率为1/2 × 1/7776 = 1/15552 （2）逆时针掷出30点的概率：首先选出逆时针方向，概率为1/2；然后5个骰子都必须掷出6点，总和为30 的时候，仅存在一个情况。因此概率也是1/2 × 1/7776 = 1/15552 （3）综上所述， “中50元”的概率为：1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601 2“中+35元”的概率：与“中+50元”的情况一模一样，只是需要把顺、逆时针方向颠倒一下就可以得到这种情况。因此概率与“中+50元”一样，1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601 3.“中+10元”的概率：（1）顺时针掷出6点的概率：首先选择顺时针方向，概率为1/2；然后掷出6点，这种情况必须要5个骰子其中一个掷出2点，剩下4个掷出1点，总共有C(5,1) = 5（C(n,m)表示n元集中选取m个元素的组合数）个情况。因此概率为1/2 × 5/7776 = 5/7776 ≈ 0.0003215 （2）顺时针掷出19点的概率：首先选择顺时针方向，概率为1/2；然后5个骰子点数相加之和等于19的可能情况的约束条件是：，需要通过编程来完成，结果是735种，因此概率为：1/2 × 735/7776 = 735/7776 ≈ 0.047325 （3）综上所述，“中+10元”的概率为：5/7776 + 735/7776 = 740/7776 ≈ 0.047582 4.“中+6元”的概率：先选择逆时针方向，概率为1/2；然后掷出11点，方法同上，约束条件是： ,也是需要通过编程来完成，得到的结果是205种，所以“中+6元”的概率为：1/2 × 205/7776 = 205/15552 ≈ 0.013181 5.“中+5元”的概率和“中-5元”的概率：这二种情况非常非常复杂。首先它们分别有19种和26种组合，第一步就需要先列举出来这45种组合，因为要根据每一种情况来设定约束条件，而且该游戏的设计没有按照一定的次序来进行，导致无法构造显示函数，毫无疑问又进一步加大了问题的难度。这45种组合全部计算出来之后编写程序，其中的这样才能得到“中+5元”的概率和“中-5元”的概率的准确解，没有误差的那种。下图给出的就是所有结果的概率分布，如果想要准确计算“中+5元”的概率和“中-5元”的概率，只需要将对应的情况列举出来然后累加求和即可。 5个骰子之和对应的概率（准确值以及近似值） 5 1/7776≈0.000128601 6 5/7776≈0.000643004 7 15/7776≈0.001929012 8 35/7776≈0.004501029 9 70/7776≈0.009002058 10 126/7776≈0.016203704 11 205/7776≈0.026363169 12 305/7776≈0.039223251 13 420/7776≈0.054012346 14 540/7776≈0.069444444 15 651/7776≈0.083719136 16 735/7776≈0.094521605 17 780/7776≈0.100308642 18 780/7776≈0.100308642 19 735/7776≈0.094521605 20 651/7776≈0.083719136 21 540/7776≈0.069444444 22 420/7776≈0.054012346 23 305/7776≈0.039223251 24 205/7776≈0.026363169 25 126/7776≈0.016203704 26 70/7776≈0.009002058 27 35/7776≈0.004501029 28 15/7776≈0.001929012 29 5/7776≈0.000643004 30 1/7776≈0.000128601 “中+5元”的概率：共有19种组合，分别是“逆7、顺8、顺9、··· 、顺28、逆29”，其概率为1/2 × ( 15 + 35 + 70 + 126 + 305 + 420 + 651 + 735 + 780 ×2 + 651 + 540 + 420 + 305 + 205 + 126 + 70 + 15 + 5 )/7776 = 6254/15552 ≈ 0.402135 “中-5元”的概率：总概率减去以上的所有概率得到1 – 7203/15552 = 8349/15552 ≈ 0.536844 同时我们也可以考虑采用蒙特卡洛模拟，需要编写模拟这个游戏程序去仿造这个游戏的过程（代码工作量依然不小，但是只需要将代码调试好，之后就不需要人工了），然后设定Xi = 5, 6, …, 30 ， Xi的取值共有26种，这26个取值并不是均匀分布，而是呈“离散正态分布”，需要精确地算出来这26个取值的对应概率（上图已经给出了）。利用设计的蒙特卡洛算法进行模拟，比如说令i为10的9次方，也就是一亿次，虽然运算时间有点长，但是这样可以保证得到的概率值能足够精确到到你想要的任意小数点位数，结果与上述方法得到的精确值非常接近。最后，我们给出顾客每参加一次这样的游戏所获得的期望收益值： EX = 48 × 2/15552 + 33 × 2/15552 + 8 × 740/15552 + 4 × 205/15552 + 3× 6254/15552 + (-7) × 8349/15552 = - 32779/15552 ≈ -2.107703 意思就是当参与这个游戏顾客的数量足够多的时候，每做成一笔生意，这个老板都是净赚2.1元，次数越多，他每一笔生意的平均收入值无限接近于2.1元，同样的，顾客参与次数越多，每次都是亏损2.1元，次数愈多，每次游戏亏损的平均值无限接近于2.1元。总结： 1、如果你想以2块钱来博取50块钱的奖金，那么要提醒你的是你梦想成真的概率只有0.0001，也就是万分之一的概率。 2、如果你不灰心，不想拿50块钱的奖金，只想拿35块钱的奖金，很遗憾，你此刻梦想成真的概率依然是万分之一。 3、如果你还不灰心，只想博取5块钱的奖金，然后去买个烤串，你的想法变为现实的概率是0.4，听起来还不错对吧。对不起，还有下面一种情况。 4、在这个游戏里面还有罚款的选项。你付2块钱有高达0.54的概率转到“-5块钱”这个选项。因此你有超过一半的概率每参与一次游戏都会输7块钱（2块钱的参与费加5块钱的罚金）的可能性。 5、综上所述，各种情况下既有赢钱也有输钱，那么通过求数学期望得到你每参加一次游戏在数学概率上都会输2.1元，参与的次数越多，你每次输钱的平均值也就无限接近于2.1元。所以，还是老实去搬砖别想这些旁门左道了。关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

代数拓扑的数学方法正在变革脑科学此文原载于《麻省理工科技评论》网站。译文作者：芝城柿子芝士，哆嗒数学网翻译组成员，就读于纽约大学。没有人彻底了解大脑各部分间的连接图全貌，但是代数拓扑的工具正逐渐帮助人们管中窥豹。人的连接体指的是大脑中不同部分间的网络连接。这些连接表现为大脑中的白质：轴突束。轴突是神经细胞上的突起物，它们连接了组成灰质的神经细胞体。脑科学的传统观点认为，灰质主要负责信息处理和认知，而白质负责大脑中不同部分间的信息传递。所以白质，也就是连接体，就是大脑的连接图。人们对这个结构所知甚少，但有几个引人注目的项目正在对它进行研究。研究表明连接体比人们原来认为的还要复杂。人的大脑里有大约10的10次方个神经元，它们之间有10的14次方个突触连接。找出它们连接的方式是个极富挑战的工作，特别是因为连接体的结构取决于观察的大小尺度。研究还发现了证据，表明白质在学习和协调大脑活动方面发挥的作用比人们所想的重要。但是这作用和连接体的结构的具体关系仍处于未知。所以说在跨度巨大的不同尺度上了解连接体的结构是神经科学最大的挑战之一，但人们并没有合适的数学工具来研究这个课题。如今，由于代数拓扑这个数学领域的发展，局面开始改变。这门传统上只是关于分类空间和图形的晦涩学科，现在也逐渐开始为神经科学家们所用。宾夕法尼亚大学的Ann Sizemore和她的同僚向人们展示了它如何革命性地推进了我们对连接体的了解。代数拓扑学家的目标非常具有挑战性：他们致力于研究拓扑空间在不同尺度下的对称性。在数学领域内，对称性指的是任何从不同的视角下看起来不变的东西。比如说正方形旋转90度后看起来没有任何变化，这就是一种对称性。还有一些数学结构，它们在不同大小尺度下保持不变。它们被称作稳定同调(persistent homology)。寻找它们成了研究连接体的关键步骤。神经科学家早就知道某些认知功能需要调动分散在大脑各处的许多神经节点。这些节点如何被白质连接起来的是整个连接体项目的中心问题之一。神经科学家们通过观察水在其中的扩散来研究白质纤维。扩散核磁造影技术可以显现出水扩散的路径，从而显现出白质的结构。为了进一步研究，Sizemore和她的同事们测量了八个健康成年人的大脑，这样他们就可以寻找在每个人大脑中都相同的结构。他们专门研究了已知在认知系统中有作用的83个区域之间的连接，这些区域包括听觉系统，视觉系统，和触觉、压力、痛感有关的体感系统等等。这样得到了一个连接图以后，Sizemore和她的同事们运用了代数拓扑的技巧来研究它。这个新方法让他们得到了一些重要的新认识。首先，它揭示了某些神经节群之间是“完全连接”的——意思是节群里的每个节点都和其他所有节点相连，整个节群组成一个叫做团的结构。所有和认知有关的系统都是由包括不同数量的节点的团组成的。但是，研究还揭示了另一组重要的拓扑结构。这个结构叫做圈，就是闭合的环。它指的是一个节点连接着另一个节点，第二个又连着第三个，等等，直到最后一个节点连接上了第一个节点，就是一个完整的圈。圈在大脑中产生了一个神经回路，不仅可以在大脑各处传递信息，还可以帮助反馈环作用。这些作用大概是记忆的产生或行为的控制。Sizemore和她的同事们说他们的研究发现了许许多多不同大小的圈。不像团的范围主要局限在大脑中的特定部位比如皮质，圈的延伸范围很广。它们连接起这些功能非常不同的区域。“这些圈用一个长环连接了进化上早期和晚期出现的区域，使两者在控制脑功能上发挥的独特作用都有所降低。”Sizemore和她的同事们说。团和圈的另一个区别体现在他们的密度。团代表了完全连接的节点，所以它们是密集的结构；环状的圈则相对比较分散。事实上，看和它们有关的大脑各部分间的所缺失的连接数量，是描述它们特点的一个方法。圈实质上描述了连接体中的洞。Sizemore和同事们的工作表明了这些洞的作用很重要。“这些结果第一次向大家展示，代数拓扑的技巧给连接体结构的研究提供了全新的视角。这个视角把环状回路作为大脑建筑结构的关键特点。”研究团队说。这个引人入胜的工作使代数拓扑在更好地研究连接体方面的贡献初露端倪。正如所有好的科学研究一样，这项工作不仅回答了问题，更提出了许多新问题。既然发现了圈可以比其他任何网络结构提供更多认知上的计算，那就可以问：这是些什么样子的计算呢？另一个研究新方向是：现在的人工智能系统所依赖的神经网络是从大脑的结构中取得的灵感。既然分析发现了大脑中新的结构，人工智能领域将如何吸收这些结果，又如何在他们的工作中引入代数拓扑呢？无疑这是一个代数拓扑学家的激动时刻。参考: arxiv.org/abs/1608.03520 : Closures and Cavities in the Human Connectome

无限不循环的无理数其实很逗比（转自哆嗒数学网）圆周率π是一个我们既熟悉又陌生的无理数。作为一个常见的数学常数，当它以小数形式展现的时候——3.14159265358979323846......，你又能记得它多少位数字？它是无限不循环的无理数，当它们以小数形式展开的时候，你能告诉我它小数点后的前1万位，前10万位，或者第100万位数分别是多少吗？不过，有了计算机，我们可以编写一个程序，在时间允许情况下，无论你想知道π小数点后多少位的数字，利用这个程序，我们都能把它们呈现在你眼前。不仅是π，像根号2，根号3，自然对数底e等等，这些熟知的无理数，我们都能编写一个程序，来呈现他们的小数的展开的数字。数学上，人们把这样的实数叫做可计算的实数。那么，有一个问题，对任意的无理数都是可计算的吗？或者说，对任意的无理数，我们都能编写一个计算机程序，把这个无理数的小数位全部展开出来吗？答案是：不能！这要从可数，不可数来说起。且听哆嗒数学网的小编们慢慢道来。一个集合可数的意思是说，他能被自然数“编号”写成：a1,a2,a3,...,an,....这样的形式。数学上已经证明，有理数是可数的，而无理数是不可数的。我们怎么写一个计算机的程序呢？一般来讲，我们会用一个键盘敲打出来。键盘上只有有限多个键(一般的键盘只有100多个键吧)，这意味着每次敲击键盘，只有有限多个可能的符号被打出来，这些符号可能是英文字母，数字，括号，空格，换行符等等。而程序无论有多复杂，它总有写完的时候，于是哪怕是100亿行代码的程序，它也是由有限多个符号组成的。因为上述原因，数学上也可证明，能写出的程序只有可数多个！于是他能展开的实数也就最多可数多个。但是，数学上早已证明无理数不可数！于是一定有一个无理数，无法用计算机把它的小数位展开！那么，能确切的告诉我，哪一个无理数的小数位不能用计算机展开吗？还真有人找到了一个数，也和计算机的程序有关。1975年，一个叫蔡廷的计算机科学家研究了一个有意思的问题：在给定的编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行，并且在有限时间内运行完毕的概率是多少？当然，数学家描述这个问题会用更严格的语言。在严格的表述下，这样的概率是存在的且是确定的一个常数。这个常数叫做蔡廷常数。这个蔡廷常数是一个确定的数，但数学上已经证明，它无法用程序展开。一个实数是确定的，但无法用某个程式展开。听起来，好像很逗比。但这就是数学神奇的地方！

数学证明你是与众不同的！原文作者：德夫林，斯坦福数学教授，英国数学科普作家。译文作者：mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员，软件工程师。校对：333 “每个人都会在某些方面表现优秀。”我们经常听到这样的论调，当有人因为在某件事情上表现不佳而感到沮丧时，通常可以从中得到安慰。特别地，父母们常常靠它来安慰自己的孩子们。然而很少有人认识到这个命题是可以用数学证明的。你只需要考虑200个本质上相互独立的人类行为表现特征，98%的人在至少其中一个特征上表现出众。这里“出众”定义为处于顶部或者底部的1%。（数学给出极值；如果你想有效保证处在顶部的1%，你需要更多的特征。这种现象是渐近的。）这个结果源自于一个令人难以置信的但少有人知道的关于高阶超立方体的观察：随着维数的增加，内部点（即不在边界上）的比例无限制地缩小。 . 按照以下方法，你可以向你的孩子、爱人、学生、挚友、或者其他什么人，来证明他们---或是你自己，看情况而定---会在某方面表现优秀。大家都熟悉钟形曲线（正态分布），它显示了在足够大的人口数量里对某一特征表现衡量的典型的分布。这个分布图形抓住了这样的事实：大多数人的得分聚集于一个“均值”附近，即中等值，只有极少数的人处在两端（特别差或者特别好）。为了进行高维计算，我们先从一个几何上更简单的模型开始，即闭区间[0,100]，如图2所示。我们定义异常点为位于两端单位区间中的点。在这个模型里，对于单个的特征，只有2%的人是出众的，其余98%的人是“普通”的。现在考虑2个特征，X和Y（按假设是相互独立的）。它们的分布可以被表示为一个100x100的正方形内含一个98x98的方块，如图3所示。衡量一个人的特征X用x-坐标，特征Y用y-坐标。普通人被表示为内部正方形的点，出众者被表示为外围区域的点。 . 所有的点的总数是100×100。正常点的数目是98x98。所以异常点的数目是10000 – 9604 = 396。因此异常点所占的比例是396/10000 = 0.0396，即3.96%。所以，当你考虑2个特征时，更多的人被归类为出众的（3.96%相对于2%）。接下来看3个特征，X，Y，和Z，模型就变成一个100×100×100的立方体内含一个98×98×98的方体，如图4所示。外部立方体的体积（表示总人口）是1000000。内部立方体的体积（表示普通人）是941192。所以外围区域的体积（表示出众者） = 1000000 – 941192 = 58808。因此出众者所占比例 = 58808/1000000 = 5.88%。到目前为止，一切看起来都相当直接和合理。考虑超过3个特征，模型就是一个4维或更高维的超立方体，我们无法提供有意义的图像。但现在我们已经熟悉了这样的套路：模型把出众的人表示为1%的外壳里的点。为了看出这能导致什么，让我们直接跳到10个特征，X(1),…X(10)。那样的话，我们的模型就表示为一个100^10)体积的超立方体内含一个98^10体积的超立方体。(译者注：a^b表示a的b次方，下同) 外部超立方体的体积（~总人口）= 100^10，内部超立方体的体积（～普通人）= 98^10。因此，外围区域的体积（～出众者）= 100^10–98^10，出众者所占比例为(100^10–98^10)/ 100^10–98^10。现在，是时候搬出Wolfram Alpha(译者注：著名的数学引擎，擅长各种数学计算)来做计算了。算出结果为，对于10个特征，18.29%的人是出众的。对于100个特征，X(1),…X(100)，我们的模型给出：超立方体的体积（～总人口）= 100^100。内部超立方体的体积（～普通人）= 98^100。外围区域的体积（～出众者）= 100^100 –98^100。出众者所占比例 = (100^100 –98^100)/ 100^100。再次呼叫Wolfram Alpha，我们算出对于100个特征，86.74%的人是出众的。对于200个特征，X(1),…X(200)，我们的模型给出：超立方体的体积（～总人口）= 100^200。内部超立方体的体积（～普通人）= 98^200。外围区域的体积（～出众者）= 100^200 – 98^200。出众者所占比例 = (100^200 – 98^200)/ 100^200。所以对于200个特征，98.24%的人是出众的.（再一次呼叫淡定的Wolfram Alpha。）这就得到我们的结论。当然，这只是一个模型。一如既往，这势必需要做出各种假设和简化。如果这个结果让你难以置信，你有两种选择。或者回头修改初始假设并生成另一个模型。或者接受这个结果并改变那个使你难以置信的成见。在这种情况下，我们不得不接受这样的事实：高维的等边、直角、实心（！）方体的几乎所有材料都位于其外壳上。（实体）内部几乎是空的。当我们考虑更高维的情况，数学有时候会导致意料之外的反直觉的——但是正确的——结论。并不是每个人都可以接受这个事实。是的，在美国的选举季度，这是一个有寓意的故事。

计算它们？那只是数学海洋中的一滴水作者：N_a_O_H_ ，哆嗒数学网群友，常年活跃于数学贴吧。和朋友们聚餐吃饭，他们总会把最后验证账单的活交给我。我说我算不出来，还是按计算器吧。于是伴随着目瞪口呆，他们会惊诧地问我：“你不是数学系的吗？” 在诸多情况想，包括在研究中，这类体力活般的运算都交给了计算工具，比如说计算机。计算机，顾名思义，最初是人们发明出来代替人们进行计算工作的机器。随着编程语言被应用于计算机，人们可以精确定义给予计算机的指令，并且能以比人工计算快得多的速度得出结果，精确程度亦是令人信服。人们利用计算机处理一个庞杂的计算任务时，依赖的是一种叫做循环结构的东西。这种结构把本身复杂的运算转化为一步一步的，每一步都依赖一个离散变量的小型计算，只需设定好想要的步数，就能令计算机按照这规定的步数进行一次次的机械的简单运算。就像织布机和流水线一样，这种简单机械的工作交给计算机是再适合不过的了，计算机运算的效率与准确程度都远高于人类。随着人们对数学的深入了解，指数函数，三角函数以及对数函数这些超越函数都可以通过这种循环结构计算了，而这些运算是初期的编程语言没有规定的。泰勒公式是计算这些函数的一种方法，把上述函数转化为一个多项式，这些多项式每一项的系数也是有特定的规律的。这样，每一项的指数与系数都有规律可循，那么用循环结构执行就成为了可能。按照这种思路，就连定积分的计算也可以交给计算机了。看上去很厉害，没错吧？请仔细留意我上面的措辞。我说，计算机用泰勒公式去运算那一系列超越函数的函数值，这听起来似乎没有半点问题。然而泰勒公式是用一个多项式近似表示函数某点周围的性态，注意是近似！泰勒公式只是个有限项的多项式，只要你愿意你可以写出它的任意多项，但是它始终是有限项的。真正恒等于那些超越函数的是它们的泰勒级数，泰勒级数是一个无穷和。你用泰勒公式无论怎么精确，都只是泰勒级数的一个部分和，也就是其中有限项的和，其结果永远与精确值相差一些。简单来说，得到上诉精确值或者近似值的方法，就是本文说的“数值计算”（这里打个引号，避免和真正专业的数值计算这个分支误会）。计算机也可以计算定积分的数值，我们可以完全按照定积分定义相仿的思想来计算——取曲线下一列纵向的细长矩形面积之和来逼近曲线下的精确面积。这样的方法下，计算机无论如何努力，都只能把曲线下的面积化为有限个矩形之和，其结果自然与精确的结果有所偏差。当然，我们可以改进这些计算方法，比如把矩形改成梯形，或者利用根高级的理论简化步骤，但是我们得到的还是有限次计算得到的精确值或者近似值。有人说，计算机进行了那么多次运算，其得出的结果的误差已经非常小了，以至于人们随时都能把它扔掉。不要着急，我完全没有要责难计算机计算能力的意思。我说了这么多，只是想说上述计算并没触及到数学的一个基础核心概念：无穷。无穷这东西，其实并不像它们在实平面中那样离我们那么遥远，而是一直在我们身边。小学二年级引入了除法的概念，老师一再强调0永远不能作为除数。那时我想勤于思考的孩子都想过，那么0做除数会是什么后果呢，比如说1除以0？抱着好奇心他们把这个算式输进了计算器，得到的却是一个冷漠的Syntax Error，于是只好就此作罢。到了后来，随着知识的不断积累，学生们意识到了任何0之外的数除以0，得到的是无穷大，因为你无论有多少个0，它们的和就一定是0，所以结果只好是无穷大了。这种想法倒无可非议，只是流于想象，并不十分不严谨罢了。于是，“n/0”这类形式的无穷，大概就是我们最早能够接触到的了。感谢数学家柯西和魏尔斯特拉斯，我们终于有了一种严谨的方式定义，证明和计算极限。那么我们回到上面的例子，我们还是来研究1/x在x=0处的极限。这次先让计算机来做。直接输入1/0会让电脑爆炸，所以我们只能通过一系列尽可能接近于1的数字来研究结果，1/0.1=10,1/0.01=100, 1/0.0001=10000, 1/0.00000001=100000000...千万不要以为这一系列结果告诉你很多东西，尤其是不能错误地就这几个结果，我们就臆断，x越接近于0，1/x越大，而这恰好是许多对数学不了解的人所犯的错误。数学中，对于有限的极限有这样一个性质：某处的极限存在（或者都趋于无穷），当且仅当每一个收敛到这点的数列，都收敛到一个相同值（或者都趋于无穷）。因此，为了用计算机证明这种极限，我们必须证明任意一个这样的数列都趋于正无穷，这将意味着我们必须验证无穷多个数列的结果，而且，就算我们能够验证无穷个序列的结果，那么对于这每个序列都有x趋于0时，y不断增大，注意我们能得出的只是不断增大这个事实，至于有多大呢？计算机暴力验证的办法，就行不通了。来看另一方面，人们可以用极限的严格定义来证明，1/x在0处的值为无穷。容易验证对于任意给定的正整数N，存在0附近的某个点x，使得|1/x|>N。数学分析的知识告诉我们，1/x的绝对值可以比任何一个正整数都大，自然就是无穷大了。从这里，我想引出这篇文章我真正想说的。我们数学系做数学的方式是用理性推理去证明数学问题的，这些数学命题很可能涉及无穷的概念。我们大多数人不会去纠结一个复杂的加减乘除运算式子，如何快速心算得到结果。比如，上面的命题“1/x在x=0处的极限为无穷”这一命题就是一个例子。暴力计算的思路很难验证一个涉及无穷的数学性命题，绝大多数情况下都只能验证有限个情况下命题的真伪性，而无法从本质上证明或证伪它。下面我想再举另一个例子，这是我这周的C++课作业内容。作业要求编一个程序，来算采矿和淘金两种方法的收益，已知两种方法中，各有一定的概率获得一定数量的收入。要求设定一些随机变量，然后把程序跑1000000次，求平均数。这个作业的目的再明显不过了，无非是要验证数学实验的结果符合某个期望。作业中（具体的作业内容我不再叙述了）按照数学推理计算能得到数学期望的理论结果，采矿的期望收益为75美元，淘金为68美元。而用程序跑出来的结果，始终与这两个结果相差一些。诚然，如果你用程序模拟的结果最终成两个分别以75和68为中心的正态分布，或者能验证这个程序计算的次数越多（多于1000000次），结果越接近于75和68，那么自然是有说服力的。然而，尽管做出一个很大的样本，也不能从数学理论上认定，他们的数学期望就是75和68。如果要认定，两种情况都要求无限次的运算。而我们能通过有限次运算得出的，从某种意义上来讲是苍白无力的，看上去很接近75和68的结果根本不足以说明数学期望的存在性——无论他们怎么接近目标值。反过来说，倒是因为有了理论上数学期望的存在，多次运算后的结果一致地逼近某个数值，这样的一个结果才是可能的。我们熟知的投针实验和抛硬币实验都是一个道理。这揭示了一个事实：在一些人认为很厉害的“数值计算”，在我们做数学的时候只是一个验证的工具，很多时候也许能给我们一些启发，但是大多时候一个数学理论突破的瓶颈跟计算机的这种计算没有半毛钱关系。甚至，我可以说严重一点，正如伟大哲学家康德也指出的，这些算式都是一个个经验性的命题，永远不会有真正的普遍性，从而没有指导意义。这些“数值计算”够做到的，只是穷举和有限的运算，总而言之能做到的东西有限，不足以归纳证明带有任意性的命题，也就是本身蕴含着无穷的那些。实际上，计算机要做到真正的数学推理，需要换一种办法。这也是数学家们研究的一个领域，叫做机器证明。它的思路，已经不是“数值计算”去得到一些近似值，这个不是本文想讨论的范围。在文章的最后，我想描述一下，有限在无限面前是多么渺小。现在的计算机，如果要他完成一个需要2的500次方步骤才能完成计算，那简直是不可能完成的任务。但在，无穷面前，他可能只是一个很平常有限数，很多时候都可以忽略不计。比如，前面验证极限的时候，这个数字都出不了场呢！说到底，这些“数值计算”可以覆盖的数学中的领域，标题上还高估了呢。所以，我是数学系的，但是是不会帮你们验证账单的。

我突然发现我进入贴吧五大了。发一个题庆祝一下。防水题目：证明无理数集合和超越数集合同胚。（实数集合通常拓扑的子拓扑）

上大学是为了提高眼界的维度作者，曲安京教授，西北大学数学学院院长。本文是他2016年的迎新演讲。哆嗒数学网转发。　　各位同学，下午好！　　首先，欢迎2016级的新生朋友们加入西北大学数学学院！　　今天讲一个故事，我想通过这个故事，与大家分享一个道理：你到大学来干什么，大学可以干什么？　　好多年以前，我在国外参加了一个酒会。在这个派对上，认识了一位女士，一位科学家的夫人。聊天的过程中，她得知我是学数学的，便以调侃的口吻跟我讲了一件事。她说：我认识一位菲尔兹奖获得者，他是我丈夫的朋友，有一次他到我家做客，我就问他，“你在做什么样的研究？”那个菲尔兹奖获得者说：“我在研究26维空间上流形的结构。” 　　流形是什么？你们到大二的时候学到微分几何自然就知道了。我知道，这位夫人并不打算从我这里得到什么是“26维空间上流形的结构”的答案，她只是把这个轶事当作一个笑话讲给我听的。想想看，我们生活的局部世界不过是一个三维空间，26维空间上流形的结构？这是什么东西？数学家是不是很奇怪啊？　　好吧，我就从这个地方引申一下，说一说高维空间与大学生活的联系。　　大家想象一个场景，如果说在我和你们之间突然树立了一道无边无沿的墙，我无法翻越这道墙，也不能够穿越这道墙，更不能打破这道墙，那么，我有没有可能见到你们呢？　　当然不能，是不是？除非我是上帝。　　真的不能吗？如果没有可能，我为什么还要讲这个例子？　　现在我就告诉大家，这其实是可能的，如果你修炼的足够强大，你是可以成为上帝的。大学的目的，就是为了帮助我们修炼成那个可以看到墙那边的你们的“上帝”。　　我现在就来证明这件事情：　　我们先从最简单的一维空间进行类比，想象你是生活在一维空间的一只小蚂蚁，你所有的世界就是一条曲线，你只能在这条曲线上前行或后退，如果我在这条线上打一个结，或者在这条线上放一粒小石子，你能穿过这个结或石子吗？当然不行，因为你的世界就是这个一维空间，你不能离开这条线，绕过这个障碍，所以，当这粒石子挡住了你的去路，你是跨不过去的。　　但是，如果你把你的空间放大一下，把你的这条线放置到一个曲面上，也就是把你的活动范围从一维空间扩展到二维空间上，你仍然在这条曲线上爬行，不过，当你接近这粒石子的时候，你就可以脱离这条线，绕过那个障碍物，继续在这条曲线上前进。　　让我们进一步类比，假如你现在生活在一个曲面上，你的世界是一张二维的曲面，你可以在这张曲面上自由活动，此时，如果在曲面上画一条无边的线，因为你不能离开这张曲面，所以你就无法穿过这条线，这条线会把你的世界分割成两个部分，彼此不能联通。　　好吧，大家再想象一下，这时候将你的世界扩展到三维空间上，也就是把这张曲面嵌入在一个三维的空间，当你在曲面上爬行并接近那条曲线时，你便可以离开这张曲面，轻易地越过曲面上的这条线，达到曲线另一侧的曲面上。　　依此类推，现在大家还觉得我们之间的这面墙，是不可逾越的吗? 　　我们到大学里来干什么？就是通过学习，提升我们的境界，扩展我们的视野，开拓更加广泛的世界。　　如果你的世界是一条一维的曲线，即便是一颗小小的沙粒也会成为你永远迈不过去的坎；如果你的世界是一张二维的曲面，那怕是一条细若游丝的线，也会成为横亘你面前永远无法逾越的鸿沟。　　但是，同学们，如果你修炼的足够强大，将你的世界扩展到四维空间，就算是在你的面前铺展开一面无边的墙，也是无法阻止你欣赏到墙那一面的风光。　　所以说，你的世界有多大，决定了你可以飞多高、走多远、看多深。　　在我看来，大学的意义，在某种程度上，就是通过不断的修炼，不断的学习，提高我们认识世界的维度，你的世界的就会越宽广。我也不能想象26维空间有什么样的精彩，但是我可以想象，如果你了解了四维空间的结构，那么，树立在你我之间的那堵墙，就不会成为阻断我们联络的障碍。　　我以为，大学的目的，就是通过我们的学习，帮助我们可以从更高的维度上理解人生、洞悉世界，看到你以前看不到的世界，解决你以前解决不了的问题。你所处的世界的维度越高，你看到的风景就越加绚烂辉煌。　　我想，这大约就是大学的意义所在吧。这就是我希望与你们分享的一点心得。　　祝你们从今天开始一个愉快的大学生活！哆嗒数学网转发

为什么空集是是任何集合的子集。用反证法解释一下？

观点：科学和人生中更多的是算法而非数学方程好吧，发出来被秒删。只能给链接了 http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fduodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F736%2F&urlrefer=618daf1e65df489d8b23d477bf754f91 防水：证明e+π和e/π至少有一个无理数。

【账号解封】08-18丨8月8号的申请恢复帖子还没处理 8月8号的申请恢复帖子的申请到现在还没处理。不是说超级会员优先，而且24小时内处理吗。

华为在法国设立第二家数学研究所加强基础研究微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 网易科技讯6月15日消息，华为周二宣布在法国设立数学研究所，拥有研究人员超80人，全部为博士及以上学历，成为其加强基础科学研究的又一重要举措。华为法国数学研发中心位于法国92省布洛涅市，旨在挖掘法国基础数学资源，致力于通信物理层、网络层、分布式并行计算、数据压缩存储等基础算法研究，长期聚焦5G等战略项目和短期产品，完成分布式算法全局架构设计等。目前，华为在全球建立了16个研究所，其中法国研究所下设设计、数字图像处理、数学和家庭终端等4个研究中心。此前华为曾在俄罗斯设立首个数学研究所，并在3G和2G在算法层面带来了突破。任正非不久前曾表示，华为现在的水平尚停留在工程教学、物理算法等工程科学的创新层面，尚未真正进入基础理论研究。随着逐步逼近香农定理、摩尔定律的极限，而对大流量、低时延的理论还未创造出来，华为已感到前途茫茫、找不到方向。华为已前进在迷航中。重大创新是无人区的生存法则，没有理论突破，没有技术突破，没有大量的技术积累，是不可能产生爆发性创新的。华为常务董事、战略Marketing总裁徐文伟表示，“数学是开启一切的工具，大数据流量疏导的基础是数理逻辑算法。长久以来，法国诞生了无数世界一流的数学家，笛卡尔、帕斯卡尔、伽罗瓦、傅立叶……如果没有傅立叶变换，可能就没有现代通信的发展。今天，这个传统依然被法国学者们传承下来，菲尔茨奖得主多达12位，仅次于美国。数学的研究正在为ICT产业带来全新的突破。”（易科）微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

数学家发明把披萨切成异国情调形状的新方法原文作者：雅各布·阿隆（Jacob Aron）译文作者：333，哆嗒数学网翻译组成员，就读于中南大学数学学院。微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fduodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F563%2F&urlrefer=c108aeca94b125318d725b8a6d1cbd2c 等你下次点外卖的时候就能用这个技能在你朋友面前炫耀了：全新而充满异国情调的切披萨方式。大多数人切披萨都是从正中间直接切，但是要是披萨当中部分有一个食材配料呢？这是很多人宁愿避免切到的，不过这时一旁的人可能已经迫不及待地想用脆皮蘸酱开吃了。数学家之前已经想出了一种切披萨的方式——正式说法是“单面圆盘平铺”（monohedral disc tiling）——这种方法能够让你切出12块完全一样的披萨，其中的六块组成一个从中心延伸出的星形图案，另外的六块分割了边上剩下的脆皮部分。具体要怎么做呢？首先你要切三道穿过披萨中心的弧线，然后把切出的小块每个一分为二，如下图所示。现在，英国利物浦大学的乔尔·哈德利和斯蒂芬·沃斯利推广了这个技术，创造了更多的切法。这两个人证明了利用任意有着奇数条边的“曲边披萨块”，如5边、7边等（即下面的阴影部分），能够创造出相似的的平铺方式，接着只要像之前那样把它们等分为二就可以了。“从数学上来说，这种操作可以无限进行下去。”哈德利说道，尽管你可能会发现对于超过9条边的披萨块，再要实施上述步骤已经不切实际了。哈德利和沃斯利甚至更进一步，通过在边角上切出楔形，创造出怪异的、带尖角的披萨块，这些披萨块仍然组成一个圆（下面这张图展示了5边披萨块的这种情形）。哈德利说：“这真是令人惊奇。”正如许多数学结果一样，它的用处并不会立刻显现。另外一个披萨定理也是如此，它表明了当一个披萨被随意的、不经过中心的切割后会发生什么变化。 “我不知道我们的成果除了用来切披萨外还会有什么用处。”哈德利说，他已经实际尝试过用这种方法去切披萨（如下图）。但这个结果“在数学上很有趣，并且你能由此制作一些漂亮的照片。” 微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

数学家的大脑,跟我们这些凡夫俗子有何不同? 撰文 Jordana Cepelewicz 　　翻译郭琳雯　　审校秦琪凯　　微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文　　阿兰?图灵、阿尔伯特?爱因斯坦、史蒂芬?霍金、约翰?纳什——这些数学和物理大神们美奂绝伦的思想无一不让我们着迷，但同时也让人感到神秘莫测、难以捉摸。同样是从最简单的算术开始学习，为什么这一小部分人最终就能掌握普通人望尘莫及的高级的数学概念和抽象思维？神经科学家已经开始研究数学奇才的大脑是否真有什么过人之处，可以显著提高概念性思维的水平。　　有科学家认为，高层次的数学思维与大脑语言处理中枢相关联，因为在如此抽象的层面上思考，数学家需要理解语言表征和语法，但也有科学家认为，这种数学思维只来自于与数量和空间推理有关的独立的脑区。在本周《美国科学院院刊》（PNAS）发表的一项研究中，法国INSERM-CEA认知神经成像机构（INSERM-CEA Cognitive Neuroimaging Unit）的两位研究人员称他们发现涉及数学思维的脑区与从事同样复杂的非数学思维的脑区有所不同。　　该团队使用功能性磁共振成像（fMRI)扫描了15位专业数学家和15位同等学术地位的非数学领域科学家的大脑，在扫描的同时让受试者听一系列72个高级数学命题，其中代数、数学分析、几何学和拓扑学各18个，以及18个高级的非数学命题（主要为历史方面的），他们每人有4秒的时间来思考每一命题并判断其是真、是假或是无意义。　　研究人员发现，只有数学家们在听到数学相关的命题时，其大脑中双侧顶内区、背侧前额叶和下颞叶区域的神经网络才会被激活。这一大脑回路通常不参与语言和语义处理。而当受试者被问及非数学命题时，所有人，无论数学家还是其他专家，负责语言和语义处理的脑区域均被激活。这一研究的共同作者，研究生Marie Amalric说，“我们的研究结果表明，高水平的数学思考所反复利用的大脑区域，是人脑中与数字和空间认知相关的区域，该区域在多年以前就已形成，并一直随人类演化到今天。” 　　先前的研究已经发现，这些非语言区域在执行基本的算术运算，甚至只是看到页面上的数字时就表现活跃，这意味着高级数学思维和基础数学思维是相关的。事实上，认知神经成像机构的主任，也是实验心理学家兼论文共同作者Stanislas Dehaene ，就研究过为何人类（甚至一些动物物种）对数量和算术操作有一种与生俱来的直觉，又称“数感”，它与空间想象能力也密切相关。至于这种固定成型的“数感”又是如何与高级数学思维联系起来的，仍是未解之谜。这项研究工作提出了一个有趣的问题：我们与生俱来的辨别不同数量（如两个苹果多于一个苹果）的能力，会不会同时也是我们理解群论这类复杂理论的生物学基础？加拿大西安大略大学的认知神经学家Daniel Ansari说：“探索低级和高级数学能力之间的因果关系将会非常有趣。”他没有参与该项研究。“我们大多数人都掌握基础的算术能力，所以我们早已激活这些大脑区域，但只有极少数人继续从事高级数学研究。我们仍不知道成为一名数学专家是否会改变一个人计算的方式，也不知道学习基础算术对于掌握更高层面的数学概念是否有帮助。” 　　Ansari提议进行一项训练研究，给非数学专家教授高级数学概念，这样就能帮助研究者更好地理解不同等级数学概念之间的关联和它们的形成方式。此外，数学方面的专业知识可能对神经回路产生其他方面的影响。Amalric的研究发现，数学家大脑中与面部表情处理相关的视觉区域活跃度比一般人小，这可能意味着，掌握和使用某些数学概念所需的神经系统资源可能会削弱或“耗竭”大脑的一些其他能力。尽管还需要更多的研究来确定数学家们识别面部表情的能力是否真的与常人不同，但是研究人员希望能进一步了解专业知识是怎样影响大脑的构造与工作方式的。　　Ansari说：“我们可以研究这些特殊才能是从哪里来的，也可以研究高水平的数学专业知识与基础数学能力在神经生物学上的相关性。幸好，现在我们有能力利用大脑成像技术来回答这方面的深刻问题了。　　原文链接：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.scientificamerican.com%2Farticle%2Fhow-does-a-mathematician-s-brain-differ-from-that-of-a-mere-mortal%2F&urlrefer=769bb46f86550f019eb95cab1e25b75e 　　文章来自环球科学ScientificAmerican（ID： huanqiukexue）　　微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

大神也会猜错：那些错误的数学猜想微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文新浪微博：http://weibo.com/duodaa 作者， SAMUEL ARBESMAN ，此文原载于WIRED网站。翻译，donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学数学博士。众所周知地，我们的直觉并不总是完美的。在日常生活中相当多的方面，可以预见的是我们理性的力量是不够强大的。当我们遇到稍微深奥一点的事情时，我们又能做什么呢？我们使用我们的理性——我们的能力来做推断和预测，最终却依然可能会失败，原因很简单：因为事情往往太复杂了。这种情况似乎体现在我最近在 Quora（译者注：一个问答SNS网站）上碰到的一个问题：有哪些猜想是因为一些“非常大的数字”的反例，从而导致它被证明是错误的？从本质上讲，提问者感兴趣的是如下情况：有哪些数学猜想刚被提出来时看上去是对的，但是推翻它反例却远远超出人类本身的计算能力，只能用先进的应用程序来证明它是错误的。这样的情况有很多。一个比较著名的例子是波利亚猜想。这个猜想说的是：给定一个正整数N（译者注：N≥2），所有不超过N的正整数中，有偶数个素因子（译者注：素因子数按重数计算，1的素因子数定义为0，）的数不超过有奇数个素因子的数。直到当你检验906150257这个数之前，这看起来都是对的。但是我们的感觉错了。另一个例子来自欧拉猜想：十七世纪瑞士数学家莱昂哈德-欧拉声称如下方程就像费马大定理中的方程一样没有正整数解：二百年来，没有人能证明欧拉猜想，但另一方面，也没有人能找出一个反例来否定它。首先是人工搜索，然后是多年的计算机筛选都未能找到一个解。没有找到反例是这个猜想成立的强有力的证据。然而在1988年，哈佛大学的 Noam Elkies 发现以下这个解：尽管二百年来都没有找到反例，但最终欧拉猜想被证明是错的。事实上，Noam Elkies 证明了这个方程有无穷多个解。正如 Singh 所注的（译者注：此处指 Simon Singh 及其所著的《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》）：“这里的教训是，你不能通过只对前一百万个数字来证明一个猜想对所有的数都成立。” 这些实例是迷人的。他们表明，再大的数字也不是无穷大，故而并不能成为证明。我们人类的大脑是强大的，但我们必须更多地与机器的合作，以帮助我们突破我们直觉的束缚。微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

我们应该在数学课上愉快地聊起来！关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 作者， David Wees ，数学教师。翻译，斜风细雨，哆嗒数学网翻译组成员，大学教师。为什么在数学课上学生需要相互讨论？最近有人问了我这一问题，我就此尝试给出一个非教条式的回答（例如，因为它重要所以重要）在教室里学生间相互讨论数学，这些学生的思路价值可以表现出来，而不是被忽略或边缘化。这让学生在学习中可以得到转化。这也让学生学习如何从他们理解世界的现有方式中发展以得到新的思路。支持学生相互讨论意味着数学可以是一种认识和存在的方式，而不仅仅是现有知识的一个实体（虽然作为一组工具的数学的价值经过长期的发展不能被边缘化），作为学生在理解什么是数学以及数学的价值时，他们更愿意把自己看作是数学家的一员，而不是一个与些无关的局外人。他们可以把自己看作是数学社团的一员。为了能够彻底理解我们所学习的一门语言，我们必须使用它才行，要么写作或交谈，要么倾听其他使用相同语言的人。所以，从实践的观点来看，学生需要通过相互交谈来发展他们对语言的使用（数学语言或其他语言），而不是学生按序发言，由教师指定学生一个一个地来讲，最有效的方式是他们一同来讲，相互交谈。我们知道我们的思想，当学生构想出思路并将其与其他同学交流，他们必须思考这些思路，这意味着他们在构造记忆。不论学生做什么这都会出现，焦点集中在学生所交谈的思想上，而不会是具体的活动（即完成一个任务）。最后，学生相互交谈并书写同时也对他们的教师提供了更多有关学生思维方式的信息，这也使得教师更容易按照学生实际的思路来安排分组讨论并规划相关活动。如果不知道学生怎么学习如何思考，很难规划课程来构建他们的知识。当学生相互交谈时，他们的教师不仅可以收集并评估学生理解了什么，还可以知道学生是如何理解这些东西的。这和“让学生自己独立安静地解决数学问题”的观点并不矛盾。当学生需要共同讨论一个问题的时候，最好让他们自己独自思考一段时间。还有，出于种种理由，一些学生会和其他同学有交流障碍，所以在某些情况下，让学生共同参与讨论比让学生挑战解决数学问题本身，得到的收益更多。你对学生应该在数学课上相互讨论有什么新观点吗？关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

前方高能！又一个证明地球是圆的办法关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fduodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F507%2F&urlrefer=fd8c5dee2059dd6e1ae7b2cd8faa5634 作者， Evelyn Lamb ，犹他大学数学助理教授。翻译，donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学数学博士。你如何才能知道你所处的星球看上去像什么？一种方法是发展太空计划，发送飞船，并从远处拍摄星球的照片。只有极少数的人带着相机离开过这个星球的表面在太空中看过它，然后他们告诉我们：我们的星球看起来像一个球体。但是如果他们是在说谎呢？而最近的一篇文章表明，如果一个全球性的阴谋需要由所有的空间机构，宇航员和行星科学家来共同维系，这将是非常困难的，因此我们不必认为他们在欺骗我们。除了发展太空计划之外，有一个从数学上讲非常聪明，但不太可能进行实际操作的方法来算出我们所生活的星球的表面究竟是什么曲面：那就是使用欧拉示性数（这是众多以莱昂哈德·欧拉的名字命名的词条之一）。人类知道地球是球体远远早于太空计划，甚至哥伦布都知道地球是一个球体。因此，地球是球体这个结论不是因为太空计划而得出来的。就像年龄一样，欧拉示性数只是一个数字。对于一个二维曲面如一个盒子，沙滩排球，或星球而言，它是该对象的顶点数减边数加面数，或者用公式表示：V-E+F。我们将从一个简单的例子开始，一个正方体。正方体有8个顶点，12条边，和6个面，所以最终可得8-12+6=2。那如果是一个球体呢？在这里，没有现成的顶点和边。我们必须把它们画出来。一个方法是在地球仪上画出赤道和一些经线。或者，如果你身边没有地球仪，那就用个柚子，然后绑上橡皮筋。因为我没有球形摄像机，所以如果你自己没有柚子，那么你就听我说吧，这些橡皮筋在相交处共产生了6个顶点，12条线段，以及8个三角形，因此它对应的欧拉示性数为6-12+8=2（这些数字看起来和正方体的那些很像。你知道这是为什么吗？）。在你们准备实施这样的计算前，总会有因为需要做出选择而带来的不确定性。我们所面临的选择是在柚子上如何绑这些橡皮筋。不同的绑法会不会导致不同的计算结果？这一次我将使用四根橡皮筋。现在它有10个顶点，21条边，以及13个面，我们再来算一下，10-21+13=2。事实上，不论我们如何通过画线或者绑橡皮筋来分割球面，我们最终都会得到欧拉示性数为2这个结果。当然你可以不相信我的话。虽然一个严密的证明对你来说可能过于复杂，但是你可以很容易地通过自己的涂鸦来确信这点。随意画一个形状，在里面随意画一些顶点和边，然后再随意添加一个顶点和一些边，欧拉示性数有没有发生变化？擦去一条边，又会发生什么变化？欧拉示性数是一个拓扑不变量，这意味着拉伸或挤压不会改变它，只撕裂或粘合可以。现在欧拉示性数，可以用来确定一个曲面的拓扑形状，但却不能用来确定它更精细的特征。例如，正方体，球体，四面体，以及其它像它们这样的封闭形状都有相同的欧拉示性数因为他们都是拓扑等价（注：“拓扑等价”用拓扑学术语来说，就是“同胚”）的。如果你是一个对科学好奇的人，却没有机会进入太空去看地球，同时你又不想迷信于古代科学家或美国航空航天局的话，你可以利用欧拉示性数来确定地球的拓扑形状。你所需要的仅仅是几个朋友和一堆绳子。让他们每个人都站在地球的某处，每个人都拉住几根绳子的一端。现在你需要做的就是数数有多少个人（注：对应于顶点数），有多少根绳子（注：对应于边数），以及有多少个被那些绳子分割成的区域（注：对应于面数）。然后算一下欧拉示性数，V-E+F。如果你得到的是2，那恭喜你。因为在拓扑意义下，欧拉示性数为2的曲面只有球面。如果你得到的不是2，那么可能是你算错了。现在让我们假设你是在一个陌生的星球上，其拓扑形状还不知道。该星球的一些其它特征将有助于你确定它的表面究竟是何种曲面。首先，它是有限的吗？或者，即使是沿着同一个方向走，也永远走不到底？如果它是无限的，你就无法把它分为有限个有限的部分，并因此无法计算欧拉示性数，如果是这种情况，那你是不幸的。因此我们将假设所有的情况都是有限的。接着，我们来考虑可定向性。莫比乌斯带是最著名的不可定向曲面：如果你从它的边界附近的某个点出发，沿着边界一直走（注：始终不跨越边界），你最终会回到你出发的那一点，唯一的不同是：此时你在莫比乌斯带的另一边。如果你是在可定向曲面上，你知道它具有内外（注：也可能是“上下”或“左右”或类似地其它的）之分；这将导致当你回到出发点时，你永远不会出现上下颠倒的情况。不论你所在的星球是否是可定向的，都可以使用欧拉示性数来确定它的拓扑形状。最后，我们来考虑边界。你觉得你可以从它的边缘（注：如果存在的话）走出去吗？如果可以的话，有多少彼此分开的这样的边缘？可能只有一个也可能有多个。也许你有理由相信它的形状像一个平环（注：对应于恰有2个分开的边缘）或字体变胖了的“8”（注：对应于恰有3个分开的边缘）。可定向的情况下，欧拉示性数以及边界的分支数（注：“边界的分支数”为拓扑学术语，可认为即上节中“彼此分开的边缘数”）可以唯一确定你所在的星球表面是何种曲面。如果欧拉示性数是2，你可以确定你是在球面上。增加一个边缘将导致欧拉示性数减少1，所以如果欧拉示性数是1，你就是在有1个洞的球面上，同时它是与平面多边形拓扑等价的。如果欧拉示性数是0，你可能生活在一个环面，或一个平环上。当你知道了你所处的星球看起来像何种拓扑形状之后，接下来你可以试图找出它的几何形状。如果欧拉示性数是2，你可以试着确定你是否生活在球体，正方体，足球，或其它一些奇怪的形状的表面上。在这里欧拉示性数就帮不了你了。我建议你从埃拉托斯特尼（Eratosthenes）以及其他古代天文学家那里吸取经验，用影子来研究地球在每一特殊的点处是如何弯曲的。爱萨恩·西格尔（Ethan Siegel）会告诉你关于这些的一切。致谢：我第一次接触到“使用欧拉示性数来确定星球的拓扑形状”这个想法，是在我的朋友、犹他大学的数学家凯文·沃特曼（Kevin Wortman）的一次演讲中。B.o.B.以及Neil deGrasse Tyson激励我完成了本文的写作。 *为回应评论，我需要说明一下，你围起来的区域，中间不能有洞。也就是说，它们应该像盘子，而不是平环。用专业术语来说就是“单连通”。确保每个区域都是“单连通的”的一个方法是把曲面分割成一个个三角形（注：用专业术语来说就是“三角剖分”曲面）。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

突然发现自己已经是贴吧十大！突然发现自己已经是贴吧十大！庆祝一下。防水：判断 sin(x)+cos(πx)是不是周期函数。

一张表读懂《怎样解题》关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 转自微信公众号数海拾贝，作者：意琦行波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。在我看来，《怎样解题》本身并不能直接带来对解某个具体的题目时的武力值大幅加成．事实上，它更多的是告诉我们如何通过不断的解题实践更快速的积累解题经验，从而使得数学能力得到更好的锻炼．下面这张表是我整理出来的大纲，每次解完题以后回顾一下自己的解题过程，可以让收获满满的哦！关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

新算法绕过考试给你打分关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584你如何证明自己掌握了所学的东西？通常你没有别的选择，除了参加测试。一种新的算法能让你在增长知识的同时，废除所有的正式测试。该算法由美国斯坦福大学和谷歌公司的研究人员共同研发，能分析学生之前做练习题时的表现，辨别出他们最容易在哪些地方出错，并且形成一幅整体知识图。利用软件追踪学生进步的想法并不新鲜。不过，迄今为止很少有人尝试利用深度学习—— 一门通过消化大量数据让机器学习的尖端学科。来自斯坦福大学的Chris Piech及其团队成员向他们的系统提供了140多万名学生就在线学习平台“可汗学院”上所设置数学问题给出的答案，并且作出了相应评分。他们还训练一个神经网络按照类型将问题分类：哪些涉及平方根、斜率，或者比如计算图表上的一条线在哪儿同水平轴相交。掌握了所有这些信息后，该系统开始了解每名学生在每个问题类型上的解决能力。该模型仅通过研究几十道已经回答过的其他问题，便可使预测一名学生做对或做错一道新练习题的准确率达到85%。Piech在日前于加拿大蒙特利尔举行的神经信息处理系统会议上展示了这一成果。他还构想了一个更为复杂的版本：不仅能预测一名学生可能在哪些问题上出错，还能知道其中的原因所在。Piech说，“如果我们都能负担得起雇佣一名在思考你应当学什么上花费大量时间的指导教师”，这当然是件好事。虽然这并不现实，但“有一天我们或许仅利用这种类型的软件，便能找到一个人在哪些方面存在困难，并且帮助他改善”。他同时认为，该系统最终会变得足够精确，从而将所有测试废除。（徐徐）《中国科学报》 (2016-01-04 第2版国际) 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fnews.sciencenet.cn%2Fhtmlnews%2F2016%2F1%2F335388.shtm&urlrefer=ee65c541a60d9b3c883290a05a3236d6 关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

“两位”“数学家”获得美国国家科学奖章关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 2015年12月22日美国白宫消息，新一期的美国科学界的国家最高荣誉美国国家科学奖章获奖名单已经颁布。一共有9位科学家获得殊荣。颁奖典礼将于2016年年初于白宫举行，届时美国总统奥巴马奖为这些科学界授予荣誉。 9位科学家中有两位的工作与数学密切相关。他们是麻省理工荣誉教授，数学家迈克尔·阿廷(Michael Artin)，以及普林斯顿大学教授，生态学家西蒙·莱温(Simon A. Levin)。迈克尔·阿廷主要研究领域是现代代数几何。他的父亲是埃米尔·阿廷，是20世纪杰出的代数学家之一。迈克尔·阿廷于1963年到麻省理工学院数学系工作直到退休。迈克尔·阿廷获得过2002年斯蒂尔终身成就奖以及2013的沃尔夫数学奖。沃尔夫奖的颁奖词提到他在代数几何的“数个令人困惑的领域做出了奠基性贡献”。西蒙·莱温虽然是生态与进化学系的教授，但他曾经是位数学家。西蒙·莱温的研究领域是复杂理论(complexity theory)——利用数学模型和数据来分析生态、社会分配以及金融系统的学科。西蒙·莱温是美国国家科学院院士、美国艺术与科学院院士，2005年京都奖得主。美国国家科学奖章由美国国会于1959年设立，1962年首次颁奖。美国国家科学奖章是美国的最高科学奖，由美国总统颁发，每年一次，获奖者每次不超过20名。主要授予在物理学、化学、生物学、数学、工程科学、行为科学及社会科学方面作出卓越贡献的科学家。美国总统奥巴马发言说：“科学与技术是解决美国一些最重大挑战的基石。这些美国科学家今天产出的知识能让我们国家不断革新向前，同时也对世界上无法计数的其他国家的人们有所帮助。他们所做的工作就是美国民众智慧的证明。” 关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

明天有大作！ ABC猜想即将登场！防水：证明ABC猜想蕴含费马大定理

哆嗒数学网获得搜狐教育年度教育科普自媒体奖在12月5日召开的搜狐教育年度盛典上，颁发了年度变革力校长教师、教育自媒体奖、影响力教育品牌、创新力项目产品等多项大奖。我们哆嗒数学网获得了年度教育科普自媒体奖项。(哆嗒数学网在搜狐的入驻名称是哆嗒数学的小屋)。在这里我们感谢搜狐教育给我们颁发此奖，这是对我们莫大的鼓励！我们更要感谢哆嗒数学网粉丝们的大力支持，你们的支持一直是我们前进的动力！我们也不能忘记感谢一直以来为我们默默奉献，无偿提供原创内容的翻译组成员，群友和各界朋友，因为有你们，才让我们在数以万计的自媒体中生长出特有的个性。另外，我们在成长过程，有无数的“路人”朋友提供过帮助。他们在微博、博客、空间、实体杂志上的每一条转发，都是对我们极大的支持。数学与艺术MaA微博，蒋迅老师的《数学都知道》，数学文化微博，《新高考》杂志等，名单太长，就不一一列举了，非常感谢。当然还要感谢数学吧各位吧主啦！关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

举一反三是非常不容易的事关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 作者：彭翕成 [email protected] 武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079 一位老师向我诉苦：我讲的题目，学生基本会做，但要是改了一点，哪怕只是表面一点点改动，本质没变哦，学生就做不来了，很郁闷。我听了，向他表示祝贺。他很不明白，说：我还希望您能帮忙想点办法呢？我说：我祝贺你，是因为你的学生能基本掌握你所教的内容。当然，你有更高的要求，我也表示理解。但必须要说明的是，举一反三，类比迁移真不是容易的事情。他表示不解，说：学数学不是只要真正掌握了本质，不管怎么变，万变不能其宗么？我说：理论上如此，但又有几人敢自称掌握数学本质的呢？沉默无言。过了一会，我给这位老师出了一道题：有一个天平秤和一个1千克的砝码，要从一堆糖中称出1千克糖。这本来是很容易的事情。问题是这个天平秤用久了，本来在正中间的支柱有所移动，不在最正中间了，导致天平两边臂长不等，现在还能称1千克糖吗？这位老师说：可以用尺子测量臂长，计算比例…… 我说：没有尺子。这位老师很无奈，表示想不到办法。我说：你知道曹冲称象吗？他说：地球人都知道啊！这和曹冲称象有什么关系？我说：假设天平左端放1千克的砝码，右端放糖，直到平衡。此时把砝码取下，换上糖，直到平衡。这样天平左端就是1千克糖。他说：你这个方法很巧妙，但我还是不明白和曹冲称象有什么关系？我说：曹冲称象，第一次称象，象重与船上刻痕有一个对应关系，相当于是一个平衡；第二次称土石，土石的重量与船上刻痕也有一个对应关系，相当于是一个平衡；因此大象重量等于土石的重量。而这个称糖问题，可看作第一次称砝码，天平平衡，表示左端的砝码和右端的糖在重量上有着对应关系；第二次换上糖，天平平衡时，表示左端的糖和右端的糖在重量上有着对应关系。两者何其相似，说本质一样，只是表面一点区别，又何尝不可！这位老师说，彭老师给我上了生动的一课。我们学习，都想学得快，闻一知十。但这是非常难做到的。颜回闻一知十的本领，连孔子都自叹不如。而孔子的另一得意弟子也只敢自称闻一知二。孔子有两个得意的学生，一个叫子贡，另一个叫颜回。有一次，孔子故意问子贡：“你和颜回相比，到底哪个强一些呢?”子贡回答说：“我怎么敢和他比呢”他闻一知十，我呢，闻一知二。”孔子点头说：“你不如他，我也不如他啊。”这段话在《论语·公冶长》中有记载：“赐也何敢望回？回也闻一以知十，赐也闻一以知二。” 经作者同意，使用原创声明发布。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

明天有大作，翻译的剧透一点点，荡气回肠，而且文章不长。

数学新方法助推大分子成像技术关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fduodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F394%2F&urlrefer=e5879cdac3342579874e3cea22b86e5f 作者，ScienceDaily, 英格兰数学教师。翻译，sanshi，哆嗒数学网翻译组成员。蛋白质、病毒等纳米尺度物质的复杂结构的全面认识有助于帮助我们突破生物医学领域的某些最具挑战性的难题。但是这些东西要比人的头发丝的宽度的千分之一还要小，科学家无法直接观察到他们，并研究他们的形状和功能。为了能够将自然环境中的蛋白质结构展现出来。科学家想到了利用大剂量的X射线对溶液中的微量蛋白质进行照射。并利用得到衍射图像作为关键性的信息来为蛋白质大分子重建分子结构。然而，传统的溶液散射技术常常由于技术局限，所能提取到的结构细节信息有限。随着高能光源技术的发展，研究者找到了新方法去克服这些局限。尤其是一种名为波动x射线散射（FXS）的新技术，FXS能够提供的细节信息较传统方法有数量级程度的增加。时至今日，缺乏有效数学模型来对（散射）数据进行解读，已经成为妨碍FXS技术走向实用的最大障碍。劳伦斯·伯克利国家实验室(Berkeley Lab)的应用数学家杰Donatelli 和Sethian以及物理生物学家Zwart使用一种名为多层迭代相位法(M-TIP)的新颖的数学理论和算法来解决FXS数据重建结构的问题。使用他们的程序，使用普通的桌面电脑就能在几分钟之内快速确定大致结构。这是极为重要的一步，帮助我们打开生物物理学前进大门，并且引入了新的工具来协助生命科学中一些最具挑战的难题的解决。就职于伯克利实验室物理生物科学部门的科学家兹瓦特Zwart表示：“这个消息令人振奋！尽管波动散射技术首次提出距今已有38年，但直到现代x射线光源技术的发展才使其真正具备实用性。而新的重建模型发挥出波动散射技术的优点，为其成为生物物理学常用技术提供了核心支持。” 克服传统成像技术的局限性随着（X射线）光源技术的发展，衍射（图像）很多种方式得以实现。如果微粒能够结晶成大晶体结构，可以利用x射线照射晶体，通过结晶学来分析。但是，很多重要的结构过于松散难以结晶，或者其在溶液中的结构与结晶后结并不相同。作为替代技术，结构生物学家从溶液中微粒获得衍射图像。然而，这种被称为小角X射线散射法/广角度X射线散射（SAXS/WAXS）的实验方法在成像过程中微粒会发生旋转，从而丢失信息导致对未知结构重建效果不佳。这就类似于我们拍摄旋转木马上的儿童时，因为照片曝光时间过长，导致图像模糊和细节丢失一样。克服SAXS/WAXS局限性的一种方案是使用更快、亮度更高的（X射线）光源，这样照相时间能够比旋转扩散时间更短。而这有赖于美国能源部的新设备--自由电子激光器（FEL），如斯坦福大学的LCLS（电子加速器相干光源）。通过波动x射线散射技术获取的额外角关联信息，能够为待成像对象获取重构所需的更多的细节结构信息。然而，如何利用散射数据来重建分子结构？这类反推问题非常具有挑战性，时至今日依然是横亘在分子结构研究道路上的绊脚石。 M-TIP破译FXS数据的秘密从波动散射数据中建立数据模型的部分难点在于,不像标准的（传统的）衍射图像测量的是衍射强度,并仅需要恢复丢失的复相信息。逆FXS数据还额外需要恢复三维强度信息。这个团队的新算法M-TIP提供了将FXS数据与对于溶液的先验知识结合起来建立模型的方法,例如密度的上下界,尺寸,对称与否等,最终能同时得到强度,复相,和分子结构信息. 伯克利实验室的计算科学部门的数学家Donatelli解释道：“为了开发鲁棒（稳健）且高效的FXS重构算法，我们不得不解决一系列的复杂（非平凡）的数学问题。寻找FXS数据和结构之间的联系涉及到非常多调和分析和线性代数的内容，并且我们需要开发多种新的计算工具，例如极坐标傅里叶变换等。” 鉴于FXS依然是非常新颖的技术，没有公开的实验数据库可用。为弥补数据缺失，Donatelli, Sethian 和 Zwart利用各种测试形状来模拟产生FXS数据，以此检验他们的模型,测试数据中也包括五聚体门控离子通道受体（pLGIC）模型。实验证明他们的M-TIP算法利用样品的FXS数据，能够快速，准确，精细的重建样品形状。CAMERA：利用跨学科交叉进行科学创新这项工作是CAMERA开展的项目的一部分。CAMERA全称为能源研究中的高等数学应用研究中心。CAMERA是能源部先进科学计算研究办公室和能源科学基础研究办公室的合作项目，部门负责人是Sethian。CAMERA将数学家，实验科学家，计算科学家和软件工程师联合起来,开发设计新的数学工具和软件，解决国家能源局各机构的数据和图像问题，包括为同步辐射光源和纳米科学研究中心工作。 Sethian表示： “能源部的（X辐射）光源为这些绝妙的数学问题的研究提供便利，这些问题的解决能够对飞速发展的科学产生重大影响。Zwart对问题的深刻理解结合Donatelli在调和分析和分步迭代算法的研究背景，为重构FXS数据的新方法的产生打好了基础” FXS的未来 LCLS（斯坦福大学的直线加速器相干光源）设备使用权限最近被授权给作者们参与一项大型的多机构合作，从多个不同的生物标本中来获取FXS数据。这将会允许研究者有机会去测试算法，进而使用重建算法对实验数据重建。 Zwart表示：“最终目标是提供给科学界一个强有力的新工具，使确定纳米尺度微粒的结构和动力学特性工作得以普及，满足大量的日常研究所需。目前看来，将FXS这项新技术成熟的并提供给结构生物学家的实验室中还需要一段时间，但是这个是一个非常重要的突破性进展。” 研究者强调可以利用超亮辐射光源取得被低温冷冻的粒子的现场FXS数据。国立卫生研究院最近授予Zwart和合作者新的探测器使用权，希望同步加速器能够助推研究工作。伯克利实验室先进同步辐射光源实验室副主管Steven Kevan说：“探测器、X射线源和光学上的新进展带来了低温冷冻大分子波动散射仪器以及现代同步加速器的实用研究, 我们期待这项技术在应用先进同步辐射光源之后取得新的进展。研究者指出这个新方法业已应用到生命科学的研究中,而且还能够扩展应用领域，用于材料和能源科技研究。这项工作资助单位包括:能源部科学办公室（先进科学计算研究办公室和基础能源科学办公室）、国立卫生研究院。先进同步辐射光源设施来自能源部科学办公室。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

谷歌徽标纪念布尔200年诞辰关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F382%2F&urlrefer=701b18c5c4d173f715df315765409947 今天，谷歌徽标(Google Doodle)纪念了的英国著名数学家乔治·布尔。布尔生于1815年11月2日，今天正好是他200周年诞辰。纪念布尔的徽标中并没有出现布尔的肖像，而是用GIF动画图的方式展示了他的伟大贡献——布尔代数和布尔运算。动画中，x或y的颜色会忽明忽暗，当颜色亮起时，表示这两个变量的值为“真”。那么会对应着相应的布尔运算： “与”， x AND y ； “异或”， x XOR y ； “或”， x OR y ； “非”， NOT x 以及 NOT y ；当上述运算得到的布尔值也为“真”的时候，对应的字母颜色会变为彩色。实际上，在纯数学中，布尔代数在代数学、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用。而在应用领域，布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等工程技术领域中有重要的应用——想想程序员们，应该没有不知道布尔值的。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

加加减减的艺术（五，完结）：零不代表没有！关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F372%2F&urlrefer=e9d6e015a02b3bd244193daec2b4d2a0 我们来关注这样一件事情:第一个级数是之前一直在重点讨论的格兰迪级数, 第二个级数是在格兰迪级数最前面添上一个0构成的级数. 现在我们问, 这两个级数是同一个级数吗？读者可能会说, 当然是同一个级数啊! 有没有前面的0它不都是格兰迪级数吗？现在再来比较另外两组级数.第一个级数是还是格兰迪级数, 第二个级数是格兰迪级数在-1与1之间添加0得到的级数. 我们问, 这两个级数也是同一个级数？在−1与1之间添加了如此多的0, 读者可能就会稍作犹豫, 但是之后可能还是会说, 这两个级数也是同一个级数! 但是通过简单的计算可以得到, 格兰迪级数的切萨罗和是1/2, 而第二个级数的切萨罗和却是1/3, 所以我们说这两个级数并不是同一个级数. 这就引出了0-1级数的定义.从格兰迪级数出发, 我们借由切萨罗求和与柯西求和的比较, 引入了从某种意义上来说最最一般的权收敛以及权和. 之后又通过指出柯西和不过只是一种比较标准的权和, 来说明虽然柯西和是一种特殊的和, 但也并不是绝对的, 这样就可以通过其他的求和方式来对级数进行求和了. 另外我们虽然在弱化柯西和的地位, 但从未对柯西和作过否定. 柯西的定义使人们真正的理解了级数的收敛与发散, 以及提供了很多可以对级数进行严谨操作的基本手段, 其依然具有不可替代的重要性. 通过计算格兰迪级数的权和, 我们发现其和似乎更应该等于1/2, 而不该把它当做一个发散级数来看待. 柯西的理论虽然重要, 但是就如在黎曼的积分理论是有局限性所以要引入勒贝格(Lebesgue)一样, 对于发散级数的研究也是有其理论意义的. 另外欧拉的那些神乎其技的操作发散级数的手段, 并不是无意义的操作, 尤其是在计算整数幂的时候相当于在黎曼ζ函数发现之前就计算出来其平凡零点. 虽然在那个时代无法解释欧拉的工作, 但是他用发散级数来进行渐进估计的手段却异常成功, 而发散级数在渐进估计中的重要性后来也被证实. 譬如在柯西摒弃发散级数后天文学家仍使用发散级数进行计算, 所以研究发散级数也是有其实际意义的. 另外, 拉格朗日(Lagrange)尤其在意发散级数在渐进估计时的应用. 虽然0-1级数可以视为格兰迪级数经过调整得到的, 而且0-1级数的权和都一定可以看成格兰迪级数的权和, 但是0-1级数也是有其自身意义和研究价值的. 因为在非权和的情况, 0-1级数并不能为格兰迪级数所取代, 而又由于其简单性, 它也是个比较易于讨论的级数. 在文章的最后通过对切萨罗权的推广, 引入了两种非权和的权, 从而跳出了权和的框架, 走出了看似所有的和都一定是权和的固定思维. 现在我们问, 能不能定义一种和, 使得任意的级数都有和, 而且柯西和(柯西和一直都是我们判断定义出来的和是否符合常理的基准)存在的级数其和等于柯西和呢？当然可以! 例如把柯西和存在的级数其和就定义成柯西和, 把柯西不存在的级数其和均定义成0, 所以提出的这个问题好像没什么意义. 那如果加上满足级数的和满足加减以及数乘运算这个条件呢？甚至在加上满足级数的柯西乘积的和一定是和的乘积, 这时此问题有解吗？我们曾指出过, 在计算通项为1的级数1+1+1+1+⋯时计算方式不同, 得到的结果也不同, 仔细的观察可以发现这是由于我们默认为0+1+0+1+⋯=1+1+1+1+⋯造成的, 而且若是默认类似的事情, 那0-1级数就是格兰迪级数, 也就没有其存在的价值了, 可事实上并不是如此. 这里提供一种思路给读者, 就是不要把这两个级数视为同一个级数, 而把级数视为一个无穷维的向量进行处理, 这样级数的加减以及柯西乘积依然可以定义, 但是级数的和不过只是给一个向量赋予了一个数值而已. 除了我们之前给出的几种权之外, 还有许多种类的权, 比如积分形式的权等等, 而且由于级数与积分的统一性, 我们对于积分也有类似的广义和的定义. 对发散级数感兴趣的读者请参读一些发散级数的专著. 关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

加加减减的艺术（三）：一些常用的权及求和方式关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F357%2F&urlrefer=8db11aa3c541deb7eaf46b470c843e2d 作者，逆蝶，哆嗒数学网群友数学中曾出现过许多的数学天才, 也有着众多的数学大师, 他们在数学方面的工作对数学的发展起着无可替代的作用. 众多的数学家在从事数学研究时也会有众多的研究成果, 这里不可能对所有的数学家都做个全面的介绍. 我们对其中的部分数学家进行一些简介, 然后把他们所研究过的级数方面的东西抽取出来, 来得到我们所想要的着重考虑的权, 以此来丰富权本身所包含的内容. 并且通过对格兰迪(Grandi)级数的权和计算, 来说明柯西(Cauchy)的收敛性要求似乎是太苛刻了, 而其他的权和是很有存在的必要的. 隐没的天才,阿贝尔(Able), 一个成就极高但是生前却没有得到认可的英年早逝的挪威天才数学家. 他完整给出了高于四次的一般代数方程没有一般形式的代数解的证明, 这曾经是一个悬疑达250多年的著名问题. 他和伽罗瓦(Galois)一样, 都是同一个时代最杰出的代数学家, 也都是由于柯西(Cauchy)的一时疏忽导致了英年早逝. 阿贝尔去世时26岁, 而伽罗瓦去世时年仅21岁. 阿贝尔也曾去拜访过大数学家高斯(Gauss), 但是高斯却看不上他, 将阿贝尔那写着划时代的伟大定理的六页手册扔在了一边. 阿贝尔在数学方面的成就是多方面的, 他研究过无穷级数以及幂级数, 使得他成为分析学严格化的推动者. 他还是椭圆函数论的奠基者, 他为椭圆函数论的研究开拓了道路，并深刻地影响着其他数学分支. 埃尔米特(Hermite)曾说：阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年.关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

加加减减的艺术（二）：柯西不是上帝！关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F354%2F&urlrefer=0b49fd71acfa0d4c68dd78081f7b7852 作者，逆蝶，哆嗒数学网群友那个年代, 数学家们还不能很好的理解级数的收敛与发散. 例如高斯(Gauss)在其著作《天体运动论》中对级数的数值进行近似计算时, 如果级数的一般项(也称作级数的通项)从某一项之后开始递减, 高斯就认为级数是收敛的, 并且在计算得出通项的某一项足够小时, 他就截取到那一项作为级数的近似值, 把剩下的项直接舍去, 而且他也从不会对自己的近似结果作误差估计. 后来, 很多数学家都为微积分的严密性做了很多贡献, 其中柯西(Cauchy)的工作尤为成功. 在级数方面, 柯西定义级数收敛即是指部分和数列有极限, 这看似很容易令人接受, 所以也就被多数数学家采纳, 而且一直沿用至今. 但就如欧几里得(Euclid)的第五公设, 虽然看似很容易令人接受, 但是实际上是很不自然的. 黎曼(Riemann)和其他的一些几何学家改变第五公设, 得到了非欧几何. 而在级数方面切萨罗改变级数收敛的意义, 得到了切萨罗和, 使得格兰迪级数可以收敛. 无论是柯西还是欧几里得, 他们的规定都是人为规定的, 只不过是规定出来的一些东西看起来比较合理而已. 然而柯西并不是上帝! 虽然依柯西意义收敛的级数具有很好的性质, 但是柯西的定义也使得一些看似性质比较好的级数不收敛, 也就是说柯西的定义似乎太严格了, 使得我们在得到一些好的东西的同时也失去了另外一些重要的东西. 我们是无法直接定义无限个数之和的, 所以柯西与切萨罗的方法都是用有限逼近无限, 而这本就不是很自然的方法, 但是我们只有通过这样才能避开无限和的问题. 柯西与切萨罗的逼近方法不同, 导致的结果也不同, 不过我们却说不好这两种逼近方法哪个是更加合理的(之后对合理性给出定义, 而这两种求和方式在这种合理性意义的解释下都是合理的). 本节先引入级数的权的概念, 之后通过细致的比较柯西收敛与切萨罗收敛的区别, 采用柯西和与切萨罗和中取极限的思想, 导出从某种意义上来说最最一般的级数的权收敛. 而在权的意义下, 无论是柯西的收敛还是切萨罗的收敛, 以及任何一种常见的求和方式, 都只不过是一些特殊的权收敛罢了.关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

明天有大作，逆逆的！明天有大作，逆逆的！敬请期待。防水给出一个 1+2+3+4+…… = -1/12 能成立的著名的“无限和” 的例子（说名字即可）。

菲尔兹奖得主马丁·海尔：钱不是最重要的　关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F69%2F&urlrefer=a4019b6593506ff8ac5d7da86c4f40e0 海尔，2014年菲尔兹奖得主之一。这位英国华威大学教授在颁奖前，并非最热门的人选。然而，他当选了，给他的评语是“对随机微分方程的有凸出贡献，尤其是为一类方程创立的理论。”。这对海尔教授来讲是一个惊喜吧。　　当大会记者要求海尔向普通大众简单介绍一下他的成果时，奥地利人哈哈大笑，他说这永远是一个很难的问题。不过，海尔还是在努力的描述：随机偏微分方程（简称SPDE）是用来描述，在含有随机因素的情况下，一个系统在一定时间和空间内的演化。有一些很搞笑的情况，有些方程可以用古典规则写下来，但由于一些项我们不知道如何在方程中表示，所以在数学上看是没有意义的。于是，我建立了一个一般性的理论，这个理论描述了为这些项赋予意义的方法。这是一个为SPDE提供严谨数学意义的系统方法，解决一些方程看上去很自然很有用但又没意义的问题。　　海尔继续举例子，比如一块在有温度房间的磁铁，看看会发生什么。在通常温度下，这个磁铁会产生一个磁场。如果这是升高温度，到某个点时，磁场就会消失。这个点就是磁铁变为中性点临界温度。这个时候磁铁不再像磁铁，而是跟一块普通的铁块差不多。如果关心接近临界温度时，磁铁内部的变化情况，磁场这时是有很大的随机波动，而不是之前很好的向一个方向变化。　　菲尔兹对任何数学家来讲都是一个莫大荣誉。海尔因为创立了一套理论而获奖。但海尔说这套理论现在还很年轻，理论的主要文章也没出版。在未来几年，海尔想把这个方向做得更深。这里还有几个问题没解决，当然时不时换换方向也是不错的。海尔没有说更远的将来的要做的事，他认为，那和周围人想法有关。　　经费、老师和想法哪个对做数学是最重要的。海尔认为是好的想法。他说，对大多数做研究的人来讲，拥有一定数量的经费很重要。但对于很多基础数学家，只要足够能宽裕的邀请同行，维持合作以及参加会议，哪怕经费比其他人少一些，就会非常开心的。海尔还认为，现在颁奖有一个不好的倾向，就是只给获奖人一堆钱，而其他人什么都没有。奖励并没表彰到为这些成果做出贡献的整个圈子。哆嗒数学网的小编觉得，海尔教授对他的学术同行真是太好了。　　海尔曾在他的论文中写到：“这是第一次，允许我们，给在物理中关心的一些SPDE赋予了严格的数学意义。”这看起来对数学家是一个很重要很让人兴奋的成果，但一些物理学家对这种严格不感兴趣。海尔解释说，基础数学家的工作一般是解决基础问题。通常，数学家完成了一个证明，而在物理学家看起来，是某所程度的理所当然，因为从直观上就应该是那样。有点像修房子，都知道要有坚固的地基，浇灌足量的混凝土，分散好房子的承重。数学家们就是在做这样的底层工作，有很多情况下不会有什么问题，但有时候会有问题。比如说纳维-斯托克斯方程问题，这是克雷研究所悬赏100万美元的千禧年问题。这个问题完完全全是一个数学陈述，但很多物理学家会说：“谁在意呢？”。答案似乎很简单，跟本不需要方程呀！只需要对流体进行观察实验发现他们不会突变或者发生别的什么事就行了。但是，实验的结果并不能让人知道，你所找到的解是否唯一。陶哲轩教授好像是这样认为的，在有些特别的初值条件下，解可能不唯一。如果，真不唯一，那说明在有些时候纳维-斯托克斯方程并不能合理地描述流体。如果我们不能证明那方程不会有这样奇怪的表现，那么意味着这些人一开始就错了。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

以前有一个用级数定义的三角函数推诱导公式的帖子在哪？

发现数学中鬼魂的人中元节是“中国的鬼节”。你可知道，数学中有一个东西，曾被称为“鬼魂”吗？关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F26%2F&urlrefer=14cfb44629b57250cead9b06923914b4 经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿被公认为微积分的奠基者之一。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。大部问题都指向微积分的基础--极限。其实就是对无穷小量的质疑。据说牛顿在计算自由落体瞬时速度的时候是这样做的。在t时刻和t+Δ t的物体的位移就分别是gt²/2和g(t+Δ t)²/2，于是这段时间内的变化就是两个相减，得到这断时间内的位移变化就是gtΔ t+Δ t²/2，除以时间变化Δ t就是平均速度gt +Δ t/2。最后牛顿说，因为是时间是瞬间的，所以Δ t可以认为是零，于是瞬时速度就是gt。一个叫贝克莱(Berkeley)的主教发现上面的推理有严重的问题。由历史原因，我们也许对反对科学家的宗教人士天生不怀好感，但这里要说的是，这个贝克莱主教其实并分等闲之辈。贝克莱是十八世纪最著名的哲学家之一,英国近代经验主义的三大代表人物中的一个。美国加州的伯克利市也是用他的名字命名的(加州大学伯克利分校的数学也是相当牛的)。他问：“这个Δ t到底是什么，是不是零？”，他继续说到：“如果Δ t是零，那么在求平均速度的时候就不能当被除数; 如果他不是零，最后不能随便消掉。无论怎么样，都是说不通的！”，最后贝克莱还补充：“难道这个Δ t是一个鬼魂？”。哆嗒数学网的小编认为：无论贝克莱出于什么目的来攻击牛顿的微积分，但不得不承认的贝克莱的攻击是切中要害的。以当时的数学发展水平，也是说不清那个Δ t的。贝克莱的上述表述被冠以“贝克莱悖论”的名称，而这个“悖论”导致了一次关于数学基础可靠性的危机，史称“第二次数学危机”。 150年后，波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄利克雷等人的开始工作，中间经历了50多年，直到魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的工作结束，才基本上解决了“贝尔莱悖论”，为微积分奠定了严格的基础。解决的终极方案就是我们高等数学书上常见的ε-δ语言，对初学者来讲，它晦涩难懂，但的确是数学家近200年的结晶。我们感谢这些为数学基础做出贡献的人！当然，也要感谢贝克莱，哪怕他的贡献是那么的间接。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

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我好像进入本吧排名首页了！防水，用72种办法证明，任意两个有理数之间，存在一个无理数。

数学学科学术排名：普林世界第一，港城大中国第一，兰大内地第一关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F315%2F&urlrefer=36b0d2a5b055a1617e401211ee548722 上海交通大学日前公布的2015年世界大学学术排名，前三名还是由美国学校占据。它们是哈佛大学、斯坦福大学、麻省理工学院。以这个榜单来看，美国在当今世界学术中心的地位不可动摇。数学学科排名方面，美国院校依旧表现强势，占据前十名中的五个席位，并包揽前四。而英国和法国分别占据两席。第一到第四分别是：普林斯顿大学、斯坦福大学、哈佛大学、加州大学伯克利分校。另外一所美国名校加州大学洛杉矶分校位列第八。英国的牛津大学和剑桥大学分获第七和第九，法国的巴黎第六大学和巴黎第十一大学分获第五和第十。前十中的唯一一个非美英法大学的席位被沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学占据，位次是第六。中国高校有42所大学进入榜单。在中国的高校的排名中，排名第一的是香港城市大学，世界排名第22名。第二名是兰州大学，世界排名第37名。兰州大学成为内地排名最高的大学，甚至超过了北大、复旦等传统的数学强校。中国排名第三的是香港中文大学，世界排名第39名。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

原函数存在的不可积函数？

哆嗒数学网翻译组启动项目。萧瑟大神领衔！哆嗒数学网翻译组于2015年8月9日深夜开始启动项目。翻译组致力于翻译国外关于数学的好文章，内容包括但不限于博客文章、新闻报道以及音频视频等各种媒体内容。现在QQ翻译组进群为邀请制度，须先加入QQ群128709478 。这里可以查阅项目情况 http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Ffanyizu.html&urlrefer=33a3943916aebc5f9ea638703e39ee15

今天看了一个级数敛散性的问题，求大神。 ∑ cos(n²)/n 是收敛还是发散的？怎么判定?

实数的任意子集，如果有上界，就一定有上确界？防水：小心回答，不要被骗了。

Wolframe我上不了了，谁帮我算一算tan(x)的n阶导数

闲的无聊，来讲讲从零开始怎么搞出所有实数。当然从从集合论中的ZFC框架下。

统计，以信仰之名：(三)衡量估计量的四大原则关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F285%2F&urlrefer=86bfbaa1a75829044ca9310a1bd468e9作者：浪荡游侠，哆嗒数学网群友。为了照顾到广大浑浑噩噩的群众，在这节之前，首先要声明一下，所谓的估计量都是随机变量，你每生成一次数据，用同样方法得到的估计量可能截然不同。我们无法控制数据的生成，但是能找到一个很屌的方法，使我们的估计量在多数情况下尽量准确。在学习数理统计时，我们都会学到评判估计量的三大原则：无偏性，有效性，一致性。水平比较高的老师也会讲到第四个原则：最小均方误差原则。我们在统计推断时默认这些原则，它们是人为规定的，而非某种公理性或定理性的东西。我们不禁要问，为什么要如此规定这些原则？比如，一个统计量为什么要无偏呢？是因为它长得帅吗？您别说，对于最后一个问题可能还就是因为它长得帅。实际上，这些原则都是从好的统计量中总结出来的，比如用几个观测的均值来估计其期望，均值具有无偏性，有效性，一致性，于是这些原则就总结出来了。下面我们对这些原则一个一个地讨论。 1、无偏性 is a piece of shit 所谓的无偏估计量就是它的期望恰好等于原参数。无偏估计量的优越性是非常直观的，在大数定律的保证下，它能以较快的速度收敛到原参数。如果让你列举什么是一个好的估计量，估计你第一个想到的就是无偏性。而且无偏性在数学上有一些非常优美的性质，比如很多情况下你可以找到一个最好的无偏估计量(一致最小方差无偏估计)。然而，这并不妨碍它是一坨shit。你想想无偏性到底是什么呢？期望等于原参数有什么用呢？用一个N(θ,100)的无偏随机变量X来估计θ，如果θ=0，你估计出来的很可能是5，或者8，这样的估计量你敢相信么？如果一个无偏估计量概率集中在真值周围，那么这个无偏估计量是可靠的。可惜无偏估计量在很多情况下并不符合这条性质。事实上，在高维统计中，无偏估计量是不可接受的(inadmissable)，因为你总能找到一个比无偏估计量更靠谱的有偏估计量，在各个方面都要胜无偏估计量一筹。所以，无偏估计量可能仅仅是长得比较帅而已。在这个看脸的世界，有时长得帅就够了。 2、有效性——渣男的评判标准一个估计量如果分布得太分散，那么这个估计量一定是个花心大萝卜。比如你生成一组数据估计量是1，另一组数据估计量是100,。这样的估计量绝非居家好估计量。我们希望它的概率尽量集中，这就是有效性。光有有效性是不够的，比如你就拿0做估计量，稳定得不行，但是离真实估计量十万八千里，也不靠谱。但是作为一个评判标准，有效性还是够格的，如果一个估计量都不具有有效性，不论他说多么爱你，都不要相信他。 3、一致性——众里寻他千百度，只要钱多，参数却在，灯火阑珊处一致性指的是当你样本趋于无穷时，你的估计量依概率趋于真实参数。也就是说，只要你的样本够多，一致估计量总能给你一个靠谱的参数。在有限样本时，这个评判标准仍然存在一定局限。然而统计学上，它仍不失为一条重要的评判标准。如果多采集样本都不管用，那只能看脸了。 4、最小均方误差原则——最靠谱的准则一个估计量的均方误差可以表示为：E(θ^−θ)²。在最小均方误差准则下，我们选估计量要使其均方误差尽可能小（似乎是句废话）。为什么说这条准则是最靠谱的呢？首先，如果均方误差小，这个估计量一定比较靠谱，即以很大的概率在真实参数旁边。而且该准则跟样本数量无关，不管样本多少，估计量都会有一个均方误差，只要均方误差够小，这个估计量都靠谱。根据mean-variance分解：均方误差=偏差+分散度也就是说最小均方误差事实上是无偏性与有效性的结合，最小无偏估计量的概率分布既集中，而且集中在真值周围。均方误差事实上是一种距离(统计决策上称为“损失”)，是参数空间内真值与估计量之间的欧式距离。于是我们要问，我们是否可以将欧式距离扩展至一般的距离？答案当然是可以的，对一般距离的探究构成了统计决策理论的基础。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

大学数学课程中常犯的四种错误关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F275%2F&urlrefer=78ddda7e757fef3b78d2782ccba9d241 作者系来自Varsity Tutors的Erica Cirino。哆嗒数学网翻译。问起任何一个大学生哪门课程对他来说最有挑战性，他一定会说：“数学”。从代数到微积分再到三角学，数学已经被誉为最具挑战性的大学课程之一。这是因为大学数学的问题往往是复杂的——他们要求学生执行多步操作才能得出正确的答案。大学数学是需要很大的努力去记住和了解如何使用方程，而不这样做几乎你总是得不到好的成绩。当一些大学生能够真正理解数学概念时，其他一些数学厌恶者常犯一些简单的错误导致他们作业和成绩失分。知道如何防止这些错误是确保你不成为这些人的最好方式。现在，让我们来看一下学习大学数学的四个最常见的错误以及如何避免它们： 1、做完数学题不仔细检查你的数学教授可能假设你已经在高中时期养成复查作业的习惯。因此，他可能不强调要求你在大学时还这样做。然而，学习任何领域任何水平的数学，检查是必不可少的。重温你的解题步骤并不仅仅在检查作业。为了审核一个数学问题，可以采用另一种方法解题。如果能得到相同的答案，那么结果应该是正确的。为什么？简单地说，用两种不同计算方法得出同一个错误答案一般是不可能的。 2、书写混乱易混淆谈及数学不可避免整洁问题。首先，潦草的字迹可以令你在解决一个数学问题时得出一个错误的答案。假如你不花时间写清楚，有些看起来相像的数字如“2”和“7”，还有一些运算符号和变量如“+”、“T”“容易混淆起来。一些教授在无法读懂你的作业时，甚至会扣分或者否定你。（也许2和z的例子更好，2和7之间如果能混淆，那得有多潦草？——哆嗒数学网注）为了解决数学问题，小心地避免潦草的字迹，你可以使用铅笔，而不是钢笔。这样，你就不会有任何使你的理解发生障碍的笔误。还有一种确保你不混淆相似的数学字母或数字的方法就是使用明显易于区分的表达方式。例如，加法符号“+”和变量符号“T”可以采用独特的写法使得它不太可能互相混淆以避免错误。 3、思维定势一些大学生总是在看到家庭作业或考试中一个特定类型的数学问题时使用同一类型的方法来解决它。但这并非总有效。事实上，你的教授也许希望你能用另一种不同于你的习惯的解题方法来解答它。假设你知道你需要使用哪种解题方法会结束你的失分，请花时间全方面地理解你在作业和考试中遇到的每一个问题。 4、需要帮助的时候羞于提问师者，传道授业解惑也。另外教授也会支持大学生学术成长。尽管如此，许多大学生在数学中挣扎时并不敢畅所欲言。这是一个巨大的错误。不提问题可能造成你在短期内的学习混乱，比如你很难理解一个特定的论题，从长远来看，它可以让你的研究明显落后。如果你不懂一个论题，一定要问你的教授问题——无论是课前，课上还是课后，甚至通过电子邮件都可以提问。你的教授会很乐意伸手帮助你。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

2015邵逸夫数学科学奖为德国马克斯普朗克数学研究所所长法尔廷斯以及美国罗格斯大学数学系新泽西讲座教授伊万尼克。表彰他们对数论基本工具的推行及发展，让他们及其他人能够解决存在已久的经典问题。法尔廷斯是1986年菲尔兹奖得主。官网链接：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.shawprize.org%2Fgb%2Fshaw.php%3Ftmp%3D5%26twoid%3D79%26threeid%3D241%26fourid%3D431&urlrefer=67c4615030af8770dac8ae180f48d5d1 关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

数学里的宇宙(三)——排队的序数宇宙关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F258%2F&urlrefer=3620d5350c538611e57acdc91d853e9f 上过大学的同学，大概都参加过军训。每天出操整队，持续数周的时间。军训列队的时候，都会做一件事——报数。一列人员从数字1开始，依次递增的报出一个自然数，一直到队伍的末尾。而队伍的指挥官会默默的记下最后一个报出的数字。今天我们说的宇宙就从这报数说起。每一位队员都被自己报出的数字标志了在队伍里的顺序，最后的一个报出的数字n，既表示最后一位队员是第几个，也能表示这个队伍有多少人。在一个有限长度的队伍里，在判定队伍长短的时候，我们可以不必纠结这两个意思的差别，但如果我们打开脑洞，考虑无限长的一列队伍就会有不同。比如，队长小明面对一个无限长的队伍0、1、2、……，这个时候，他走进队伍会形成一个新的队伍。一个办法是站在队伍前面，变成——小明、0、1、2、……；另一个办法只站在队伍末尾，变成0、1、2、……、小明。两个的排序方式是不同的，因为后者有末尾的一个，而前者没有。然而两个队伍的人数都是一样的。在数学中，如果关注末尾的那个“数字”的顺序的性质，我们叫做“序数”，如果关注队伍中人数的绝对的多少，我们叫做“基数”。其实，之前讲冯·诺依曼宇宙(http://tieba.baidu.com/p/3766647054,微信版回复 #98)和哥德尔宇宙(http://tieba.baidu.com/p/3781296847,微信版回复 #101)的时候，我们已经提到“序数”这个东西了。只是没解释过它到底是什么。按照数学的逻辑顺序，应该先有这个东西，才会有前面两篇文章中的操作。队列训练中，我们还经常干一件事。比如教官会喊：“双数，向前一步走！”。然后所以报偶数的队员会形成一个新的子队列，或者用其他规则，取队列中的一部分形成其他的子队列。但无论怎么样去抽出子队列，我们都能在子队列中找出一个排位最靠前的一个人。在数学里，如果所有的子队列里，都能找到一个最前面的，这个队列叫做“良序”的。我们很容易看出，之前小明的两种站队方法都是良序的。数学里还规定第二个队列比第一个队列长，因为第一个队列的排序和第二个队列前面部分一模一样。如果我们把所有这样“良序”的排序办法聚集起来，他会形成一堆庞大的东西，同样大到不能是一个集合。因为如果是一个集合，那么这个集合也是良序的，而且是最大的良序集合。于是我在这个集合里强行加入一个更大的Max符号，于是形成了比最大还要大的排序办法。这是一个矛盾。这个矛盾在公理化集合论成熟之前，就已经被集合论之父康托发现了。所以又叫康托悖论。这个悖论比罗素悖论的发现更早，也足以引发对集合论为基础的数学的“第三次数学危机”。但是，这个悖论的表述，在当年的数学圈里，还是算生僻的，所以关注的人不多，也没引发太多的波澜，直到罗素悖论的出现——毕竟，罗素悖论是不需要太多数学基础的人都能看懂的。好吧，今天有到时间了。下一次，我们纠结本文前面提到的队伍数量——“基数”宇宙。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

纪念作为数学家的那位纳什关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F256%2F&urlrefer=912cbcd489ae8b997e7f224f1546826a 就这样，一场车祸带走了纳什夫妇的生命——而5天前，他们还在奥斯陆的颁奖典礼上接受阿贝尔奖的殊荣。当官方宣布纳什成为2015年阿贝尔奖得主的时候，纳什成为了第一位也是目前唯一一位同获得过诺贝尔奖和阿贝尔奖的学者。由于两个奖项的颁发国家瑞典和挪威同处于北欧的斯堪的纳维亚半岛，纳什还调侃着说：“我是一名光荣的斯堪的纳维亚人。” 一般的人们知道纳什更多是因为电影《美丽心灵》，这部电影在2002年奥斯卡金像奖的评选中独揽四项大奖，成为最大赢家。而这部电影的原型正是这位纳什——电影里，着重介绍他的博弈论方面的学术成就，以及几十年来与精神疾病的抗争。因为在博弈论上的开创性成果，纳什获得了1994年诺贝尔经济学奖。的确，在现在，学过经济学的没有不知道博弈论的，学过博弈论的没有人不知道“纳什均衡”的。但是，我要说的是，即便“纳什均衡”在经济学里取得巨大成功，后来帮助纳什夺得了诺贝尔奖，但在数学圈子里——至少在一开始——并没把它当成一个重要的结果。现代博弈论的开山鼻祖冯·诺依曼甚至说它“不过是又一个不动点理论”。在数学界，纳什之所以被人敬佩，并不是他的“纳什均衡”，而是因为他在纯数学上的研究——纳什在微分几何和偏微分方程的数学成就同样光彩照人！沃尔夫数学奖及阿贝尔奖双料得主格罗莫夫就这样说过：“依我看来，(纳什)在几何学中的成果比在经济学中的成果高出好几个数量级，后者根本没法比。这些成果带来的是思考问题的态度上的巨大转变。” 纳什第一个在纯数学的突破性成果是在同20岁刚出头的时候做出的——“一个关于流形和实代数簇的漂亮发现”。他的同行们认为，这是一个重要且深刻的结果。 1951年，纳什离开普林斯顿来到麻省理工。这里，纳什开始了关于“等距嵌入”研究。考虑黎曼流形是否能看成欧几里得空间的子空间。在数学里，前者非常抽象，而后者一般认为接近现实世界。最后，他用两个“纳什嵌入定理”解决问题。这些结果，被认为是上个世纪经典结论，提供了最深层次的数学直观。同时，纳什嵌入定理的发现让纳什进入了另外一个数学分支的研究——偏微分方程。他利用纳什嵌入定理研究出一种办法，能够解出一类偏微分方程，而这类方程之前一直被认为不可能解出的。他所用的方法，被另外一位沃尔夫数学奖得主墨瑟完善后发表，定名“纳什-墨瑟定理”。在这次与他分享阿贝尔奖的数学家尼伦伯格建议下，纳什开展了对椭圆偏微分方程的一个公开问题的研究。而这后来的成果也许是纳什最伟大的数学成就。仅数月时间，他就解决了这个问题，正常情况下，这个成就足以让纳什获得菲尔兹奖——数学界的最高荣誉，只给不超过40岁的数学家颁发。而在这之前，意大利人德·吉奥吉用另外一个方法也解决了这个问题，他们都互不知道对方的研究。于是属于各自的独立发现，这个结果定名为“德·吉奥吉-纳什定理”。有人说，这次阿贝尔奖的颁发，是对纳什几十年前没能获得菲尔兹奖的“补偿”，纳什终于以数学家身份得以“正名”。然而，谁也没想到，这次挪威之旅却是他最后一次旅行。每当不幸发生，我们总会去假设“如果”。如果纳什回国时，那传言中的“专车”准时到达而不用上出租车；如果纳什一上车就系好了安全带；甚至，如果纳什没有进行这次去斯堪的纳维亚半岛的旅行，也许就会是另外结果。但是，一切的“如果”都没有了意义，人类不得不面对一个重大的损失。面对大师的离去，我们也只能最后说一句：一路走好！天堂里没有车祸，没有精神疾病，只有美丽心灵…… 关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

2015年度QS世界大学数学学科排名关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F248%2F&urlrefer=882b5b852d2ff53b3332a5627bba99f5 近日，高等教育数据专业调查机构QS发布了年度QS世界大学学科排名(QS World University Rankings by Subject)。在调查所评估的36个学科中，哆嗒数学网的小编们当然最关心数学学科排名啦。和所有以往的排名一样，英国和美国的几乎垄断榜单的前10位。第一名为美国大名鼎鼎的哈佛大学，而英国的剑桥大学、牛津大学分列第二、第三名。接下来，美国的麻省理工大学、斯坦福大学、加州大学伯克利分校、普林斯顿大学、加州大学洛杉矶分校占据了4到8名的位置。第九名是前十中唯一非英美大学——瑞士的苏黎世联邦理工学院，第十名是美国的芝加哥大学。亚洲的前十名中，占据第一的是新加坡国立大学。而中国的大学，占据了其中5个席位。第二到第十分别是日本东京大学、香港大学、香港城市大学、新加坡南洋理工大学、香港科技大学、日本京都大学、香港中文大学、北京大学、韩国国立首尔大学。在中国的大学方面，香港大学排名第一，而在内地的大学中排在第一的是北京大学。共有29所中国内地大学、6所香港大学、6所台湾大学进入榜单。关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

最佳职业Top 5，“数学类”占据3席！关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F243%2F&urlrefer=42f8373658adaebd6e99d861ea2bf14f 美国职业规划和薪酬信息网站CareerCast评估了美国从业人数最多（根据劳工部的数据）的200个职业。调查人员使用了一种公式，把各职业的一系列因素纳入考量。CareerCast利用美国劳工统计局的数据再加上增长潜力来估算各职业的薪酬。其中前五名中“数学类”占据3席，前十名中，“数学类”占据4席。以下是2015年“最佳”职业榜TOP 10，也就是评价最高的职业。注意得分低者排名靠前。 1、精算师利用统计数据来判定事故、疾病、死亡的概率，以及盗窃和自然灾难造成的财产损失。总评分: 80.00 年收入: $94,209.00 工作环境: 41.500 从业压力: 16.300 就业前景: 25.09 2、听觉矫治专家通过测试听觉功能损失的范围、性质和程度来诊断和治疗听力问题。总评分: 88.00 年收入: $71,133.00 工作环境: 45.000 从业压力: 6.300 就业前景: 33.33 3、数学家在商业、教育或工业环境相关领域，应用数学理论和公式来进行指导或解决问题。总评分: 92.00 年收入: $102,182.00 工作环境: 42.900 从业压力: 12.730 就业前景: 22.82 4、统计学家将实验和调查的数字结果进行列表、分析和解释。总评分: 96.00 年收入: $79,191.00 工作环境: 41.900 从业压力: 13.900 就业前景: 25.91 5、生物医学工程师以改善病人治疗的质量和效果为目的，分析和设计生物及医学问题的解决方案。总评分: 117.00 年收入: $89,165.00 工作环境: 44.900 从业压力: 16.620 就业前景: 26.65 6、数据科学家综合应用信息技术、统计分析方法以及其他学科的知识来从数据中解释变化趋势。总评分: 121.00 年收入: $124,149.00 工作环境: 45.300 从业压力: 13.500 就业前景: 14.97 7、牙科保健师为病人清洁牙齿，诊断像牙龈炎之类的口腔疾病，以及提供其它的预防性牙科护理。牙科保健师同时还向病人教授提升和保持口腔健康的方法。总评分: 125.00 年收入: $71,102.00 工作环境: 47.200 从业压力: 12.040 就业前景: 31.02 8、软件工程师研究、设计、开发和维护软件系统，以及针对医疗、科学和工业领域进行硬件开发。总评分: 129.00 年收入: $93,113.00 工作环境: 48.800 从业压力: 12.530 就业前景: 21.13 9、职业理疗师为心理上、生理上、成长中和情感上受损的人士提供个性化的活动，帮助他们实现自力更生。总评分: 134.00 年收入: $77,114.00 工作环境: 47.800 从业压力: 13.100 就业前景: 29.14 10、计算机系统分析师为企业和科研机构策划及开发计算机系统。总评分: 135.00 年收入: $81,150.00 工作环境: 44.100 从业压力: 16.440 就业前景: 23.50关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

各路大神为数学说的一句话“广告语” 关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584 原文地址：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.duodaa.com%2Fblog%2Findex.php%2Farchives%2F242%2F&urlrefer=79b5a32743f7295b9ee241bdf94a0c46 来源：新浪微博 @数学与艺术MaA，哆嗒数学网加入批注如果用一句话来为北京奥运会推广——“新北京，新奥运”；如果用一句话来为NBA推广——“见证奇迹之地！(Where Amazing Happens!)”；如果用一句话来为数学推广，你会怎么说？来看看各路大神的表演吧！自然界的书是用数学的语言写成的。 ——伽利略(意大利数学家、物理学家、天文学家，科学革命的先驱) 数学的本质在于它的自由。 ——康托尔(德国数学家，集合论的创始人) 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 ——华罗庚(中国著名数学家，中国解析数论创始人和开拓者，被誉为“中国现代数学之父”) 数学是研究抽象结构的理论。 ——布尔巴基学派(欧洲数学学派，主张集合论的基础上用公理方法重新构造整个现代数学) 数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 ——笛卡尔(法国著名的哲学家、数学家、物理学家，有名言“我思故我在。”) 用一，从无，可生万物。 ——莱布尼兹(德意志哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为17世纪的亚里士多德，微积分发明人之一) 数学家们都试图在这一天发现素数序列的一些秩序，我们有理由相信这是一个谜，人类的心灵永远无法渗入。 ——欧拉(瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一) 数学是科学之王。 ——高斯(德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称。) 数学是符号加逻辑。 ——罗素(英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家，分析哲学的创立者之一) 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 ——克莱因(德国著名数学家) 万物皆数。 ——毕达哥拉斯(古希腊数学家、哲学家，将数字奉为神明崇拜) 几何无王者之道。 ——欧几里德(古希腊数学家，被称为“几何之父”，数学巨著《几何原本》的作者) 迟序之数，非出神圣，有形可检，有数可推。 ——祖冲之(中国古代数学家、天文学家，将圆周率第一次精确计算到小数点后第7位，发现球体体积计算公式) 可类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。 ——刘徽(中国古典数学理论的奠基人之一，伟大数学著作《九章算术》作者) 关注微信： DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584