这个三十九和四十题，是我之前就不会的两道题，但是这本书的答案被初中时的我有志气地订上了，有没有大佬给我讲解一下不过这俩道题编排在同余之前的，说不定只需用整除的知识呢！（P.S.有没有大佬推荐一下自学初等数论的书，我不知道是我太蠢了还是小蓝本真的很难，反正作为“入门书”我不咋看得懂做的来）

第二题用pell方程x²-5y²=-1的正整数解即可。
若没有学过PELL方程，可用x=2,y=1为解，且若x²-5y²=-1，那么(9x+20y)²-5(4x+9y)²=x²-5y²=-1
可知x²-5y²=-1有无穷多组正整数解。
取其中y＞5的解，明显还是无穷多组正整数解。令n为对应x即可。
那么有 5<y<2y<x=根号(5y²-1) =n ,这样n!肯定是5*y*2y=10y²的倍数，自然是n²+1=5y²的倍数。
还有一种比较特别的解。
取n=x^105 ,其中x为正整数
注意n^2+1=x^210+1=(x^2+1)*(x^4-x^2+1)*(x^8-x^6+x^4-x^2+1)*(x^12-x^10+x^8-x^6+x^4-x^2+1)*(x^16+x^14-x^10-x^8-x^6+x^2+1)*(x^24+x^22-x^18-x^16+x^12-x^8-x^6+x^2+1)*(x^48+x^46-x^38-x^36-x^34-x^32+x^28+x^26+x^24+x^22+x^20-x^16-x^14-x^12-x^10+x^2+1)*(x^96-x^94+x^92+x^86-x^84+2*x^82-x^80+x^78+x^72-x^70+x^68-x^66+x^64-x^62-x^56-x^52-x^48-x^44-x^40-x^34+x^32-x^30+x^28-x^26+x^24+x^18-x^16+2*x^14-x^12+x^10+x^4-x^2+1)
注意后面的各分解式为x的不同次数多项式，且最高位96次，低于n的次数。
所以主要正整数x充分大，各分解式代表的数字不同且均小于n，自然其乘积为n！的因子。

如果a,b,c中有两个相等, 由条件可以推出a,b,c全都相等, 所以可以设a,b,c两两互不相等
如果n是奇数, a^n,b^n,c^n的大小顺序和a,b,c的相同, 而a,b,c互不相等, 条件中的连等式不可能成立, 所以n是偶数, 这时可以设|a|,|b|,|c|两两互不相等, 否则同样可以推出a=b=c
由于a,b,c在条件中轮换对称, 可以再设a的绝对值最大, 则由a^n>c^n以及a^n+pb=c^n+pa 可得a>b, 则a>0
因此a=|a|>|c|≥c, 再由b^n+pc= c^n+pa可得b^n>c^n, 则|b|>|c|,
另一方面, 由a^n>b^n以及a^n+pb = b^n+pc可得b<c, 所以b<0
综上所述可知在此时的假设下
|a|>|b|>|c|, a>-b>c>0, a>c>b
接下来可以分类讨论
(1)当n≥4时, 由假设可知a-b>c-b>0
由a^n+pb = b^n+pc可得
(a-b)*(a^n-b^n)/(a-b) = p*(c-b)
由a>b>0以及n≥4, 可以推出(a^n-b^n)/(a-b)是不小于a-b的正整数
由于p是素数, p一定整除a-b和(a^n-b^n)/(a-b) 中的某一个(设为A), 另一个(设为B)就会整除c-b
但c-b比a-b和(a^n-b^n)/(a-b)都要小, 所以c-b一定小于B, 同时c-b又大于0, 这和B整除c-b矛盾
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(2)当n=2时,
由a^2+pb = b^2+pc 可得
(a-b)(a+b) = p(c-b)
与之前同理, a-b和a+b之中有一个整除c-b, 但a-b>c-b>0, 所以只可能a+b整除c-b, 则存在正整数A使得
(c-b)/(a+b) = (a-b)/p = A ①
再由 a^2+pb = c^2+pa 可得
(a-c)(a+c) = p(a-b)
因为2(a+c)>a-b>a+c, 所以a+c不整除a-b, 只可能a-c整除a-b, 则存在正整数B使得
(a-b)/(a-c) = (a+c)/p = B ②
又由 b^2+pc = c^2+pa 可得
(-b+c)(-b-c) = p(a-c)
由①②以及-b-c>0可得
(a-c)/(-b+c) = (-b-c)/p = A-B > 0 ③
由①可得 c-b≥a+b, 则a-c≤-2b < 2(-b+c)
因此由③可得0<A-B<2, 只可能A-B=1
则a-c = -b+c, 推出a-b = 2(a-c)
从而由②可得B=2, 进而得到 A=3, 因此
c-b = 3(a+b)
与 a-c = -b+c 联立可得a=7c, b=-5c
代入 a-b=3p或a+c=2p 可得p=4c, 与p为素数矛盾
因此不管哪一种情况下假设都不成立, 只可能a=b=c

40:注意到n=x^2+x+1时，n-x|n^2+1。这时候取x为偶数，n为奇数，n-x为奇数，n^2+1/n-x为偶数。因此2，n-x，（n^2+1）/2（n-x）为三个小于n的因数。而易证p＜n时，若p^a||n^2+1则p^a|n!。这是因为a至多为2logp n，n!则可以提供至少n/p个p。log比一次增长速度慢，n足够大即可
注意到的部分验证很简单 （x^2+x+1）^2+1=x^2+1=0（mod x^2+1）用了同余符号主要是贴吧好打
至于哪来的惊人的注意力，晚上我把思路写下，图发给你

整理了一下发现根本就不用什么素因数分析，直接分解为仨不同的因数就行了。而且还有2p^2和3p^2的可能（虽然从构造来说很好排除就是了），所以素因数的分析只是解题的惯性分析，没有实际必要
应该真的有狠人能一眼看出n=x^2+x+1，或者直接从x^2+1入手。不过理清需求的话也是可以像这样根据需求构造的

40是titu上的题，我现在还记得自己的抽象解答。首先47满足条件，其次设a1=47，an=an-1^2-an-1+1。若an^2+1|an！有an+1^2+1=（an^2+1）（an^2-2an+2）丨an+1！。归纳即有an均满足条件，即无穷个

czw：你听不懂我的课你就去看《初等数论》，不管是谁写的，越短越好