估算1+1/√2+1/√3+1/√4+…+1/√400002025的整数部分。答案是:39998

@贴吧包打听 你会不会计算这个题？

知道放缩法及数列分母有理化则易如反掌。

@贴吧包打听 提示一下:
考虑数列a₁=1，an=1/√n，
原式为Sn，有2an=2/√n。
则2an=2/√n=1/√n+1/√n>1/√n+1/√(n+1)，构造2an>1/√n+1/√(n+1)>√(n+1)-√n即可。
分析法:
移项:√n+1√n>√(n+1)-1/√(n+1)
→(n+1)/√n>[(n+1)-1]/√(n+1)
→(n+1)/√n>n/√(n+1)
→(n+1)²/n>n²/(n+1)
→(n+1)³>n³，n∈N。
下略…

本题为东京大学入学考试数学压轴题的改编题。

该式子能用比较容易的手法判断出位于39998（2√n-2）到40000（2√（n-1））之间。那么如何判断它小于39999

再往下精确应该不得不求助级数展开了，那单靠心算难度较大。不知道有么有简单的构造

解:取个数列，设a₁=1，a₂=1/√2，an=1/√n。
则原式=a₁+a₂+…+a₄₀₀₀₀₂₀₂₅=S₄₀₀₀₀₂₀₂₅。
看通项公式an=1/√n:
(1)令0.5an=1/[2√n]>√(n+1)-√n。
分析法:
即1/[√(n+1)-√n]>2√n→
[√(n+1)+√n]/[(n+1)-n]=√(n+1)+√n>2√n。
有0.5Sn>[√(n+1)-√n]+[√n-√(n-1)]+…+[√2-1]
=√(n+1)-1。
有Sn>2[√(n+1)-1]。
S₄₀₀₀₀₂₀₂₅>2[√400002025-1]>2[20000.05-1]>39998。接下

(2)考虑√n+√(n-1)<2√n
→1/[2√n]<1/[√n+√(n-1)]=√n-√(n-1)
→0.5an=1/[2√n]<√n-√(n-1)
→an<2[√n-√(n-1)]。
原式=S₄₀₀₀₀₂₀₂₅=1+1/√2+1/√3+…+1/√4000002025
=1+a₂+a₃+…+a₄₀₀₀₀₂₀₂₅
<1+2{[√2-1]+[√3-√2]+…+[√400002025-√400002024]
=1+2[√400002025-1]=1+2[20000.050625-1]≈39999.1≈39999。这点不太好确定。题出得有点问题。结束🔚

最好尾项根式内设成一个完全平方整数。我不想计算了。从略…

作图y=1/√x，易知:
1+1/√2+1/√3+…+1/√n∈(1+∫₃ⁿ⁺¹[1/√x]dx，∫₁ⁿ⁺¹[1/√x]dx)，
即∈(2√(n+1)-2√3+1，2√(n+1)-2)。结束。

作图y=1/√x，易知:
1+1/√2+1/√3+…+1/√n∈(1+∫₃ⁿ⁺¹[1/√x]dx，1+∫₂ⁿ⁺¹[1/√x]dx)，
即∈(2√(n+1)-2√3+1，2√(n+1)-2√2+1)。订正一下。结束。

还有点问题。后面我回家再订正一下。

作图y=1/√x，易知:
1+1/√2+1/√3+…+1/√n∈(1+∫₃ⁿ⁺¹[1/√x]dx，1+∫₁ⁿ⁺¹[1/√x]dx)，
即∈(2√(n+1)-2√3+1，2√(n+1)-1)。订正一下，看看对否？结束。