有十二个大小相等的球,除开一个之外,其余各个质量相等.现在要用天平把那个质量不同的球称出来,只许称三次,并且要确定它是轻些或者重些,问应怎样称?这个问题用天平已经解决,不过通常不容易找到天平,手边常有的只是买菜的市秤（目前广泛采用的是电子秤）,它的效用与弹簧秤一样,现在问,如果不用天平只许用市秤,上述问题的解法如何?听说十二个球保证找出一个差异球要称四次,怎么称？进一步，十五个球保证选出一个差异球怎么称呢？

以下为了方便起见,那个质量不同的球叫做坏球,其余质量相同的球叫做好球,再假定球的总数是N,要称的次数是n。先从简单的情形开始。
【定理1】如果好球与坏球的质量都是已知的,n次就可以称2∧n个球。
证明分两个步骤：
(1)当N=1的时候,因为坏球的个数是1,所以不必称。这就是说n=0的时候，定理是正确的。
(2)应用数学归纳法,假定n次可称2∧n个球,试证n+1次可称 2∧（n+1）个球。这是因为在2∧（n+1）个球中任意取出 2∧n个球放在秤盘中,如果恰是好球质量的 2∧n倍,坏球在盘外 2∧n个球中,如果不是好球质量的2∧n倍,坏球在盘上 2∧n个球中。两种情形,根据归纳假设,都只要再称次就可以找出坏球。

【定理2】当好球质量是已知的,n次就可以称2∧（n+1）个球,并且可以找出坏球质量。
证明分两个步骤：
(1)当N=1的时候,因为坏球的个数是1,所以没有好球。这时只称一次就可以知道它的质量,也就是说当n=1的时候,定理是正确的。
(2)应用数学归纳法,假定n次可称2∧（n+1）个球,试证n+1次可称 2∧（n+1）-1个球。这是因为在2∧（n+1）-1个球中任意取出2∧n个球放在秤盘中,如果恰是好球质量的2∧n倍,坏球在盘外2∧（n+1）-1球中,根据归纳假设再称,次就可以找出坏球。如果不是好球质量的2∧n倍,坏球在盘上2∧n个球中,根据定理1,再称n次也可以找出坏球,因此定理得证。

【定理3】当好球、坏球的质量不明,球数N分别是1,2,3,4,5,6,7的时候，次数n分别是1,2,3,3,3,3,4,并且可以知道坏球的质量。
证明：只有N=4,5,6的情形有写出的必要,其他的情形都非常简单。
(1)当N=4的时候,n=3。
这时假定球的名称是a,b,c,d。首先把a球放在秤盘中求出第一盘质量,再放b,c两球在第二盘中。如果第二盘的质量恰是第一盘的二倍,坏球就是d球,再称一次就知道它的质量。如果第二盘的质量不是第一盘的两倍,坏球在头两盘中,第三次就称b球,这样就可以确定a,b,c各个球的质量,那个质量与其余两个不同的球便是坏球。
(2)当N=5的时候,n=3。
这时假定球的名称是 a,b,c,d,e。第一次称a,b两球，第二次称c,d两球。如果头两盘的质量相等,e便是坏球,再称一次就知道它的质量。
如果头两盘的质量不等,第三次称 b,d,e三球。
如果第二、第三两盘的质量比恰是2:3,那么坏球就是a球。
如果第一、第三两盘质量比恰是2:3,坏球就是c球。
如果第三盘减去第二盘的质量恰是第一盘质量的一半,坏球就是 d球。
如果第三盘减去第一盘质量恰是第二盘的一半,坏球就是b球。
(3)当N=6的时候,n=3。
这时假定球的名称是a,b,c,d,e,f。第一次称a,b,c三球,第二次称 b,c,d,e四球,于是有下列情形。
①第一、第二两盘质量的比恰是3:4,坏球就是f球,再称一次就知道它的质量。但第一、第二两盘质量比不是3:4,那么坏球在头两盘中。第三盘称c,e两球。
②如果第二、第三两盘质量比恰是4:2,坏球就是a球。
③如果第一、第三两盘质量比恰是3:2,坏球就是d球。
④如果第二盘减第三盘的质量与第一盘质量比恰是2:3,坏球就是e球。
⑤如果第一盘减第三盘的质量恰是第二盘减第三盘质量的一半,坏球就是c球。
⑥如果第二盘减第一盘的质量恰是第三盘质量的一半,坏球就是b球。
根据上面三个步骤,定理完全得证。至于七个球至少要称四次的证法从略。

【定理4】如果2∧（n+1）-1(n≥2)个球中有2∧n个球与另外一个(或几个)好球相加的总质量是已知的，那么只要称n次就可以找出坏球,并且分别知道好球与坏球的质量。
证明分两个步骤:
(1)当n=2的时候,一共有七个球,假定为a,b,c,d,e,f,g.再假定另外已知质量的好球是p,并且a,b,c,d,p五球的总质量是已知的。于是第一次就称a,b,e,f四球,就可分下列的情形：
①如果第一盘的质量恰是五球总质量的五分之四,坏球就是g球。如果第一盘的质量不是五球总质量的五分之四,第二次就称b,c,e三个球。
②如果第一、第二两盘质量比恰是4:3,坏球就是d球。
③如果五个球总质量与第二盘质量的比恰是5:3,坏球就是f球。
④如果五个球总质量与第二盘质量的差恰是第一盘质量的一半,坏球就是c球。
⑤如果第一盘减第二盘的质量恰是五个球总质量减第二盘质量的一半，坏球就是b球。
⑥如果第一盘减第二盘的质量恰是五个球质量的五分之一,坏球就是e球。
⑦如果五个球总质量减第一盘的质量恰是第二盘的三分之一,坏球就是a球。
如果另外的好球不只一个,只要把质量比适当地加以变更,就可得到相似的证明。因此根据上面七种情形,定理在n=2的时候,是完全正确的。
(2)应用数学归纳法,假定定理对于n-1(n≥3)是正确的,试证定理对于n也是正确的。这时只要把 2∧（n+1）-1个球中2∧（n+1）-2个两两配对,就得2∧n-1对,根据归纳假设n-1次可以称出每一对中都是好球,或者可以称出某一对中有坏球。如果每一对中都是好球,那么在 2∧（n+1）-1个球中剩下的一球就是坏球，再称一次就求出它的质量。如果某一对中有坏球,因为这对的质量是可以求出的,所以也只要再称一次就可以找出坏球。两种情形都只要称n次就可以找出坏球,因此定理完全得证。

【定理5】当好球、坏球的质量不明，n(n≥4)次可称2∧n-1个球。这时不但可以找出好球的质量，而且可以找出坏球的质量。
证明分两个步骤:
(1)先证定理对于n=4是正确的，也就是先证4次可以称15个球。这时用1,2,…,14,15分别作为十五个球的名称,再把这十五个球分成 a(1,2)，b(3,4)，c(5,6)，d(7,8)，e(9,10)，f(11,12)，g(13,14,15)共七组,括号中数目表示各组中所含球的名称。这样分好之后,首先把a,b,c,d四组放在第一盘,再把b,c,e,f放在第二盘就产生下列情况。
①第一、第二两盘质量相等,坏球在b,c,g三组中,而且b,c与a,d相加的总质量是已知的质量。再b,c两组共有四个球,g组共有三个球,根据定理4再称两次就可以找出坏球。
②第一、第二两盘质量不等,坏球在a,d,e,f四组中。这时取c,d,f放在第三盘中,如果第一、第三两盘质量比恰是4:3,那么坏球在e组中。如果第二、第三两盘质量相等,坏球在a组中。如果第一盘减第三盘质量恰是第二盘质量的1/4,坏球在d组中。如果第二盘减第三盘质量恰是第一盘质量的1/4,坏球在f组中。这四种情形,因为各组质量都可以求出,所以都只要再称一次就可以找出坏球。
根据上面两种情况,在n=4的时候,定理已经证明,至于四次可以称十四个球,只要把g组看成只有两个球就行了。
(2)应用数学归纳法,假设定理对于n(n≥4)的情形是正确的,试证n+1次可称2∧（n+1）-1个球,这是因为2∧（n+1）-1=6*2∧（n-2）+(2∧（n-1）-1)。首先把2∧（n+1）-1个球分成七组,其中六组各含2∧（n-2）个球,另外一组含 2∧（n-1）-1个球。再各组仍然叫做 a,b,c,d,e,f,g。最后一组g含有 2∧（n-1）-1个球。与第一步骤完全一样,第一次称a,b,c,d四组,第二次称b,c,e,f四组。如果两次质量相等,坏球在b,c,g三组中,根据定理4只要再称n-1次就可找出坏球,如果两次质量不等,根据第一步骤中②再称一次可知a,d,e,f中的一组有坏球。根据定理2只要再称n-2次就可找出坏球。这两种情形都只称了n+1次就在2∧（n+1）-1个球中找出坏球,因此定理得证。

【定理6】当好球坏球的质量不明,如果n次可称m个球,n+1次就可称2m个球,也可以称 2m+1个球。
证明：这只要把2m+1个球中任取2m个分成m组,每组有两球。根据假设n次可求出m组中都是好球,或者m组中某组有坏球,如果m组中都是好球,剩下的没有分组的一球一定是坏球,再称一次就可以得出它的质量。如果m组中某组有坏球,因为这组的质量可以求出,所以再称一次也可以找出坏球。因此2m+1个球只要称n+1次,至于2m个球也只要称n+1次,就可以找出坏球,这显然是正确的。
根据这个定理,利用定理3的结果就知道N=8,9,10,11,12,13的时候,都只要称四次就可以找出坏球。至于N=14,15 的时候也只要称四次的道理,可以参看定理5的证明。于是N=16,…,31的时候只要称五次,照样推下去就得到定理5的另外证法。

【定理7】在定理1的假定下,n次最多可称2∧n个球,而少于2∧n个球的情形最多只要n次就可以找出坏球。
证明：应用数学归纳法,在定理1的假定下,一次最多可称两球,现在假设n-1次最多可称2∧（n-1）个球,试证n次最多可称2∧n个球,这是因为,当第一次称x个球,剩下y个球的时候,坏球可能在x个球中、也可能在y个球中,如果x+y>2∧n,在x,y中就至少有一个大于2∧（n-1）,也就是说要多于n-1次才能在x球或y球中找出坏球。因此n次至多可称2∧n个球,至于少于2∧n个球的情形只要n次就可以找出坏球是显然正确的,因此定理得证。
同样可以证明在定理2的条件下,n次最多可称2∧n-1个球。又在定理5的条件下,n(n≥4)次最多可称2∧n-1个球。再当好球、坏球的质量不明,只需找出坏球,不必得出它的质量,n(n≥4)次可称且至多可称 2∧n球。证明从略。

回头回答初设问题，十二个球保证找出一个差异球要称四次，且知道差异球质量。
下面将差异球称呼为坏球。
【12球参考答案一】
一共有12个球,编号定为1~12。
第一盘称A：1,2,3,4,5,6，第二盘称B：4,5,6,7,8,9,10
（一）若A:B=6:7，则真C=B-A，坏球从11,12选取，二选一剩余2次可知坏球质量。
（二）若A:B≠6:7，11,12为真，第三盘称C=1,4,7,8,11。
记录D=B-A，E=A-C，F=B-C。
（1）若A：C=6:5，则坏球从9,10中选，第四盘取9来判断，也知道坏球质量。
（1）若B：C=7:5，则坏球从2,3中选，第四盘取2来判断，也知道坏球质量。
（3）若A：C≠6:5，且B：C≠7:5。
①若C=5D，则坏球从5,6中选，第四盘取5来判断，也知道坏球质量。
②若F=2E，则坏球为4。
③若B=7E，则坏球为1。
④若A：F=6:2，则坏球从7,8中选，第四盘取7来判断，也知道坏球质量。

【12球参考答案二】
无脑套用定理，参考【定理6】将球分6组，参考【定理3】里面对6个球的测量方案：
一共有12个球,编号定为1~12。分6组，每组分别为a（1,2）,b（3,4）,c（5,6）,d（7,8）,e（9,10）,f（11,12）,括号中数目表示各组中所含球的名称。第一次称A：a,b,c三组,第二次称B：b,c,d,e四组,于是有下列情形。
（1）如果A：B=6:8,坏球就是f（11,12）组,剩余2次就知道11、12中假球及它的质量。
（2）但如果A：B≠6:8,那么坏球在头两盘中。第三盘称C：c,e两组。
①如果B：C=8:4,坏球就是a（1,2）组。此时已知假球质量，第四盘称1,2其中一个即可。
②如果A：C=6:4,坏球就是d（7,8）组。此时已知假球质量，第四盘称7,8其中一个即可。
③如果（B-C）：A=4:6,坏球就是e（9,10）组。此时已知假球质量，第四盘称9,10其中一个即可。
④如果（A-C）：（B-C）=2:4,坏球就是c（5,6）组。此时已知假球质量，第四盘称5,6其中一个即可。
⑤如果（B-A）：C=2:4,坏球就是b（3,4）组。此时已知假球质量，第四盘称3,4其中一个即可。

【延伸问题】
前面讨论的都是找出一个球，看了帖子也许对找出一个球已经胸有成竹了，现在我们衍生一下问题，那来玩玩找2个球呗：
有N个外观无法分别的球，已知好球重量一致，其中有2个坏球重量与好球不一致，只能用精确的电子秤分辨这两个坏球，能知道坏球分别重量，用电子秤限称X次保证找出2个坏球，求N最大值。
我们一步一步来：
【1】基于问题基本条件，共5球选2坏球只称4次，这一关是2坏球的基本关，值得摸索，有一定难度的，怎么称？请写出详解。
【2】基于问题基本条件，共8球选2坏球只称5次，怎么称？请写出详解。
【3】再接下来，能把6次的解法写出来那一定是高手中的高手了，若你得到了答案，欢迎贴出解法。
下面只称7次的，应该属于超凡的领域了，这儿就建议不做深入研究了，不过也许本帖能见证超人出现~