三角形ABC满足外接圆半径=A旁切圆半径，设内心为I，费尔巴哈点Fe，BC中点M，A旁切圆切点D，射线MI上一点R满足MI*MR=MB^2，求证：IFe关于圆RIFe极点在AD上。

（我认为）此题是一个不错的综合题，建议当8648的练习。

方法还是捣鼓费尔巴哈双曲线。
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作外心O，垂心H，奈格尔点Na，费尔巴哈双曲线与外接圆的第四交点X104
先用8648：https://tieba.baidu.com/p/8927885750
熟知该特殊图里：
（1） O在I的赛瓦三角形的一条边上。因此推出O关于费尔巴哈双曲线极线是AI，故AO是费尔巴哈双曲线切线。所以，AINaX104是费尔巴哈双曲线上的调和四边形。
（2） OI 经过 A在BC上的射影，设为F。∠AFI
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回到原题，设X为IFe关于圆(IFeR)的极点，只需证AXNa共线。
如果作BC关于费尔巴哈双曲线的极点Z，则MZFe共线且 MZ·MFe=MB²，即 IFeRZ共圆。
所以，∠XIFe = ∠IZFe。
注意IZ, ZFe的极点为F，∞_{BC}，所以∠IZFe = ∠MFFe
再用5000，△AOF∽△FeMF，所以∠MFFe=∠AFI
因此∠XIFe=∠AFI
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接下来证 AX104 // IX
由于X104斯坦纳线垂直OI，故∠X104AO = ∠(BC, ⊥OI) = ∠AFI
因此只需证 ∠(IX,AO) = ∠FeIX
即证 ∠(IFe,AO) = 2∠FeIX = 2∠AFI=90°-∠OFFe
其中左侧有向角 ∠(IFe,AO) = ∠(IFe,IO)+∠(IO,AO) = ∠(IFe,IO) + ∠AFeI
= ∠(AFe,IO) = ∠(AFe,OF)
因此只需证 FeA⊥FeF 就能推出 AX104//IX
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怎么证明 FeA⊥FeF呢……？这么美丽怎么不单独拿出来。
先跳过这个，怎么证明且听下回分解。
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假设证完了FeA⊥FeF和AX104//IX。我们再做I关于X对称点I'，则∠IFeI' = 90°。
所以I,I'关于费尔巴哈双曲线极线垂直，因此I'极线垂直OI。
取A在OI上射影U，则U在I'关于费尔巴哈双曲线极线上，且AUFeF四点共圆，且BC是切线。
由前文， ∠AFU = ∠FeUM = ∠FeUF，所以 FeU⊥BC
而∠FeII' = ∠AFU = ∠FeUF = ∠UFe∞_{OI} = ∠(IFe, U的极线)
因此 U就是II'的极点。所以I'的极线就是AU，因此AOI'共线。
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最后，根据调和四边形：AX104, ANa; AO, AI调和线束；
另一方面，根据中点+平行，AX104, AX; AI', AI也是调和线束，故ANaX共线。

不用锥线也可以做

感谢豪神来解答我的题目，这让我感到好激动啊，这让我已经感到满足了，下面给出我自己的解答，其关键在于R其实是8648性质A3中的点：