关于高中数学的抽象函数，比如已知yf(x)=f(xy)；f(x)+f(y)=f(xy)；f(x)f(y)=f(xy)；f(x-y)+f(x+y)=f(x)f(y)；f(x+y)=f(x)f(y)等，让你研究这些函数的性质。我最近想到，有些抽象函数本身其实能看出来函数原型是什么，但是却不能在过程中写出来。这让人并不好受。
所以我试着证明了一下，下边的图以f(x)+f(y)=f(xy)为例。
希望吧里的大佬们能帮我看看，这个过程有没有问题。感谢大家的指教。

上边那四个例子，第一个是正比函数。
第二个是图片中的，是对数函数。
第三个是幂函数，即x^a。
第四个是上下缩放2倍，左右任意缩放的余弦，即2cos ax。
第五个是指数函数。

我一会把大概思路简单写一下，如果不愿意看一楼的图，就看我下边发的图。

去百度柯西方程

这个是简化版，可能严谨性不如一楼的图。

这个是简化版，可能严谨性不如一楼的图。

我记得柯西方程的解必须要强调连续吧，高中好像是默认了

在有理数是对的，一般需要加个条件例如连续性，否则用旋转公理可以构造一个不是这种形式的函数也满足Cauchy方程

楼主是高中生，只知道一点高等数学，说实话没太看懂大佬们说的。

默认光滑直接解微分方程就行了，不用这么麻烦。更弱的条件参照柯西方程的解法。至于4楼说的，设g＝f（e^x），那么g满足柯西方程。
没有连续性的前提，承认选择公理可以找到非平凡解

百度函数方程

为什么一定可导

只证明在有理数上满足那个形式应该不难，且不需要导数

需要附加一些条件才能确定是这些函数 否则不行

有个好东西叫柯西方程的非平凡解