第二届BMMO各题目背景,提示及解答 - 数学吧

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富里哀楼主

1.说明:这是一道相当困难的题目,用普通的组合数学方法恐怕难以解答.用计算机编程的方法可以解答,这也不容易.在麻省理工(MIT)曾征解过此题,但各种方法及解答都不尽人意.各位大侠再试试,是否有简单的,"初等"的解法.我的方法是从100条直线两两相交的情况作起,逐步调整,逼近,排除.当然,这非常困难.2.相当著名的组合几何问题.这道题并不困难,2011个圆是可以放开的.用的是"单位块"的思想.2013个圆放不开,证明的着眼点是圆心.2012个圆是不是放的开呢?在过程中得到一个结果:335[1+√(4√3-3)]相当接近999,判断2012是困难的.换一个思路,再试试看.3(这题的证明构造的一元二次方程,我的方法与CNRS网友的答案大同小异)证：若a=b,令2a^2/(1+a^2)=k(k为正整数）,则（2-k)a^2=k>0 所以k=1 a=b=1,结论成立。若a≠b,不妨设a>b。令（a^2+b^2)/(1+ab)=k,则a^2-bka+b^2-k=0。设方程x^2-bkx+b^2-k=0的两根为a,a'。由韦达定理： a+a'=bk a*a'=b^2-k 所以a'=bk-a,为整数又a'^2-bka'+b^2-k=0 得a'^2+b^2=k(a'b+1) 所以a'≥0 a’=(b^2-k)/a

2006年02月02日 12点02分 1

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富里哀楼主

第二天,4.已经证明对任意正整数n，n与2n之间必有素数。（1）所以2^n与2^(n+1)之间必有素数Pn，显然2^n＜Pn＜2^(n+1)不妨令f(0)＝a＝2+r0，显然对任意r0满足0＜r0＜1，f(0)的整数部分都是2f(1)＝2^f(0)，所以有4＜f(1)＜8反之，如果4＜f(1)＜8，则必有2＜f(0)＜3令f(1)＝5+r1 （7+r1亦然），0＜r1＜1可得32＜f(2)＜64，令f(2)＝37＋r2 0＜r2＜1由（1），上述过程可无限进行下去，所以a必定存在另一个结果是,实际上对有相同整数部分的f(0)，很可能存在无穷多个a满足题目的要求,大家可尝试证明.5.前几天看到的角元塞瓦定理可以巧妙解答此题.当然用三角,几何变换的方法还很多.这是最容易的一题.(出自德国IMO国家队集训题)6.(出自International Zhautykov Olympiad)形式上与托勒密定理相似,但是不可向这方面努力.这题硬算就可以了.记六边形为ABCDEF,仅需注意到:AB^2+BC^2+CD^2+DE^2+EF^2+FA^2≥1/2(AD^2+BE^2+CF^2)

2006年02月02日 12点02分 2

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璐村惂鐢ㄦ埛_005GG7t馃惥

哇，吧主，您的解答也太简单了吧。第二题和第六题能再仔细解答一下吗？在这里，我很想谈谈我对这一届BMMO试题的看法。我觉得这届BMMO的题出得不好。首先，这次试题的难度太大。毕竟做题水平能达到IMO试题难度的人很少，这种人一般都是高三的竞赛种子选手或教高中竞赛的资深老师，而他们一般是很少上网的。我相信对于这些题目，高等数学也无能为力。因此，这次试题完全与大多数网友的解题能力脱节，也就自然没有多少人参与。我不知道吧主是否已经注意到了这一点，从您简略的答案我是否可以作出这样的推测：您也知道没有多少人会关心这些题的答案？其次，这次试题的难度非常不均衡。一般给题目排序的思路都是简单题靠前，难题靠后。这次你把一道麻省理工都无人能完美解答的题放在了第一道，而且题目看起来又如此简单，很大程度上将参赛者引入了做题的误区。我思考第一题的时间至少有3个小时，是所有题目中用时最多的。但如果我知道这是最难的一题，我无论如何也不会花这么多时间。有了这次做题的“经验”，到下一届BMMO时，我很难相信我还会花很多时间去想某道题的解法，因为我怕再次遇到这样的题目。我认为这次试题没有达到“向广大网友普及数学知识，考察网友们对数学本身的认识和领悟”的目的，反而像是在向外吧炫耀数学吧的做题层次有多高（吧主千万不要生气，这只是我的一点看法）。我建议下一次出BMMO题目的时候，将难度降为高中数学联赛以下，并大体指明每道题适合哪一种学习层次的人做，这样，我相信热心参赛的人会更多。（我的话可能有些直，再次希望吧主原谅。）

2006年02月02日 14点02分 3

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富里哀楼主

谢谢cnrs的批评指正。鉴于上次BMMO的试题难度较小，这次应网友之要求加大难度，不想却过了头。这里向大家道歉。试题的难度编排不太合适，这点我也注意到了，谢谢您的意见。下次一定改正，并尽力作到网友们的要求。下次BMMO于五一前后进行

2006年02月02日 14点02分 4