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大家都知道1/1+1/2+1/3+……+1/n当n趋向无穷时，是发散的。1/1^2+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2当n趋向无穷时，是收敛的。且极限为π^2/6但是它的几何意义却是：长为1/k(k∈N)的线段之和无穷大，而以1/k为边长的正方形面积和却是一个有限定值。又如：双曲线y=1/x在(x≥1)上的一段，绕x轴旋转时，形成一个旋转曲面。利用积分可知它的体积为π，但它的侧面积却是无穷大。就像一个装着有限量油漆的油漆桶，其外面却用无穷多量的油漆去涂刷。这我有点搞不懂，请高人解释，在此多谢。
2006年01月24日 09点01分
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第一问题没什么矛盾，而以1/k为边长的正方形面积和就是一个有限定值，没什么不可以的。第二个问题，这个几何体的表面积应该不是无穷大，也是有极限的，但好像没有求它表面积的办法。
2006年01月24日 09点01分
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但是正方形边长之和是无穷大的，面积和是一个有限定值另为人难以接受。第二个问题，表面积做出来确实是无穷大的，2楼再想一想。
2006年01月24日 09点01分
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第二个问题 虽然 侧面积为无穷大 但是并不需要无穷量的油漆去刷 因为油漆的总体积等于 面积*厚度 的积分 虽然面积为无穷大 但是厚度为 无穷小时体积可以是个 有限值 其实 刷油漆 刷到一定程度时 油漆的分子直径 已经远远大于 柱的直径了 怎么刷
2006年01月24日 17点01分
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那个几何体的表面积不是无穷大，因为没有求曲线长的积分，我给不出证明，只是凭感觉。相信你也给不出它的表面积是无穷大的证明。
2006年01月25日 01点01分
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对于第一个问题,这可以是一种理解:一个三角形,在保持面积不变的情况下把它压扁,在压的很扁的时候,面积是有限的,而周长是无限的.而把正方形拼起来和这类似吧
2006年01月25日 01点01分
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对于第一个问题6楼的解释也可以，这个问题让我想起了科赫雪花，周长无限大，面积却有限雪花似乎不能压扁吧！6楼能否给出更好的解释。对于第二个问题S侧＝2π∫(1,+∞)（x^-1）(√1+x^-4)dx是发散的V=π∫(1,+∞)dx/x^2=π是定值不知道大家是否看的清楚
2006年01月25日 08点01分
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