本帖的定位由前易推知。

公告栏

索引

可交换而不可结合的二元运算：(a+b)/2; (ab)^1/2.
如果还要破坏更多的性质：ab/2; (a+b)^1/2.
——————————
可结合而不可交换的二元运算：a.

一个系统中所有元素的地位两两对等，不意味着这些元素每一对的联系是两两对等的。
例：正方体中8个顶点的地位是对等的，但点与点的联系确有“同棱”“面对角线”“体对角线”三种，声称这些联系对等显然是不可接受的。

——当然，现在学了群的知识，就能解释这一不符合直观的现象了：
声称一个系统/结构中两个元素“对等”（或者沿用下文所用的词，“对称”），其含义是不明确的。对称的本质是“不变”、是在描述一个变换的性质：当一个结构经历这种变换，其依旧保持不变（例：沿对角线对称一个正方形；绕中心旋转一个正三角形2π/3）。当然，变换不变 的可结合、含幺、可逆决定了其成群。
我们是所以习惯“两个元素对称”这种说法并能够使用之，是因为恰涉及两个元素的变换只有一种，故而不会引起歧义。如果我们声称三个及以上的元素“对称”，就难以明确我们说的到底是什么意思了。
再拿下例作更清晰的说明，单独看x^2+y^2+z^2和xy^2+yz^2+zx^2两式，说它们中任一个“x，y，z三者对称”似乎都是可以理解且可取的。但同一变换会揭示两种对称性有区别（甚至一者“强于”另一者）：将式中的所有x与y互换，前者保持不变，后者则不然。进一步试验会发现，只有当将x，y，z三者依次代换，后者才能保持不变。
如果依然要用“元素对称”的语言描述这种 变换不变 的性质，我们可以说前者是“x，y，z两两对称”，后者是“x，y，z轮换对称”。但随着元素个数的增多，结构（甚至仅仅是所有不变变换所构成的集合）的可能空间急剧增大，企图靠添加自然语言的词汇明确地描述每种情况的尝试，将会变得像有机物的自然命名法一样不自量力而举步维艰。至少对有限元素的结构来说，在一个集合中列举所有不变变换是更明智的做法。
总结：“对称”是用来描述一个变换的，而非用来描述多个元素的。我们过去能使用这样的语言，只是因为我们研究的范围还不够一般而通常。

罗素悖论、集与其幂集的不等式，停机问题的处理中明显都用到了罗素悖论的结构。
既然我们能感受到这种相似性，那就自然地会考虑能提出某种解析方式（某种能用来描述的语言），用其表示的这三个命题有形式上的相似之处，使得人不用洞见也能看出其本质上的相似性并用以解决问题。
我不相信数学界没有足以成气候的数学家产生并发展这一思想。所以现在我迫切地想知道，是否有一门学科的一个理论或定理做完了或正在做这一问题。

我发现，自己并不能严格地定义一个实数，也不能理解实数的加、乘等运算所成的结构……
我（我猜测自己周围的大部分同学也是如此）对实数的理解，实际上是完全基于“十进制无限小数”这个表示方式的。

接下来收录一些最近想过的思考题：
——————————
如果一个群G是有限生成的，且其生成即中每一个元素都是有限阶的，那么G是否可以是一个无限群。

如果一个群G是无限生成的，那么G是否可以只有可列无穷多个元素。

对于一个群G及其一个子群H，是否一定存在从G到H的群同态。

对于一个群G及其子群H，H的生成集的元素个数是否一定小于等于G的。

1. 对于正整数n，写出所有的n阶阿贝尔群。
2. 对于正整数n，写出所有的n阶群。

内涵原理与外延原理, 归纳定义
----
第一次在大学里重学朴素集合论时想到过类似的内容, 不过明确地提出还是在读了数理逻辑教材后.
----
我们可以仿照哲学中的用词定义 "内涵" 与 "外延" : 一个概念所具有的本质性质称为 "内涵" ; 这个概念所包含的一切具体的实体则成为 "外延" . 例如: 群的内涵是群的4条公理, 其外延则是一切的群构成的整体.
在定义一个概念时, 我们所力求的便是 定义的内涵 与 我们所接受的外延 完全重合. 正面的例子如数学中的许多定义; 反面例子如 "人是两只脚没有毛的鸡" .
在朴素集合论的语言中, 如果要定义一个集合, 途径便有使用内涵原理与使用外延原理两种. 使用外延原理, 我们需要指出所有属于这个集合的元素, 并限定这个集合 "的确只含有这些元素" ; 使用内涵原理, 我们需要给出一个性质p, 然后声明属于集合的有且仅有 符合性质p的元素 .
罗素悖论已经表明, 不加限制地使用内涵原理是危险的. 悖论所构造出的集合Q只是一个具体的危险, 更大的危险在于: 每当我们用内涵原理定义一个集合, 我们没有一个机械的办法检查它是否会带来类似的悖论, 于是我们基于这个集合所得出的结论便立在不稳固的基础之上, 随时有被证伪或失去意义的风险, 这对于数学家显然是无法接受的.
很自然地, 我们开始考虑尽可能只用外延原理定义我们要用的集合--或者至少先尽可能地只是用外延远离, 实在没有办法时再考虑内涵原理.
使用外延原理定义集合, 需要指出集合中所有的元素. 最直观的一种做法便是把集合中的所有元素逐个列举出来 (由集合相等的定义, 这的确构成了对一个集合的定义) . 对于有限集合, 这尚且在理论上可以做到 (尽管在物理上对大集合可能很不现实) ; 但对于无限集合, 这在理论上就是不可实现的.
考虑有理数集的定义 {p | p=m/n, m, n∈Z且n≠0} , 我们发现这是一种能够指出无限个元素的作法: 使用旧集合的元素进行排列组合. 使用类似的方法, 我们可以用自然数定义整数, 用整数定义有理数, 以及用有理数定义实数. 但这种作法依然需要旧集合是一个无限集合, 而无法做到凭空定义出一个无限集合.
而这就是归纳定义的意义所在: 它使我们能够仅通过有限的语句, 不基于任何已有的无限集合, 而可以定义出一个新的无限集合来.