DSolve[
{
-y''[t] == (G*m^2)/(x[t]^2 + y[t]^2)*y[t]/Sqrt[x[t]^2 + y[t]^2],
-x''[t] == (G*m^2)/(x[t]^2 + y[t]^2)*x[t]/Sqrt[x[t]^2 + y[t]^2]
},
{x[t], y[t]},
t]

这个问题太难了，它不会。

不过其实这个x和y是可以手解出来的用几何的方法，但是。。。应该mathematica不甚智能

“不过其实这个x和y是可以手解出来的用几何的方法” 嗯嗯嗯，算出个椭圆轨道是吧。不含时当然简单啊。含时情形的讨论可以参看
space.stackexchange.com/a/43237/47510
求解过程涉及一个超越方程，并且这个超越方程的解甚至没法用Mathematica（目前已内置的）特殊函数表达。别说DSolve了，换谁都不好使。

不过，说到消去t，这其实衍生了一个有意思的问题：有没有什么
系统化的方法消去万有引力里的 t 项？（教科书的做法都非常富有技巧，高度依赖人工分析。）传说中的李群？
最后再补几个相关的链接好了。
a. 教科书里的解法（先变极坐标，再找不变量。相关帖子很多，这里随便贴一个）：
math.stackexchange.com/q/1384274/58219
b. 在笛卡尔系下找到不变量进而消 t 的解法（跟化极坐标的做法相比简直匪夷所思，合理猜测背后存在系统化的分析方法）：
physics.stackexchange.com/a/701545/18778

酱紫君在知乎也有文章讨论此问题，可以参看：
《x = cos x 的解析形式》
zhuanlan.zhihu.com/p/36297534

Mathematica不是万能的，不是你扔进去什么就都给你结果的，你要自己把方程化解为最有利于它求解的形式。你这个看着就是一个中心对称性的问题，要用极坐标。