△ABC中，P为A-垂线上一点，F，E在AB，AC上满足CE=CP，BF=BP，取P关于△ABC外接圆反演点X，作过P，X且圆心在BC上的圆再交圆ABC于D，令A-对径点为A’，求证：EFA’D共圆
大多数吧友绝对想不到这是哪道题转化过来的 当然其本身也具有一定难度 我还做了好一会

那个圆等价于阿氏圆，所以反演点可消。把E，F关于C，B对称一下，用等差幂线可知EFQP共圆。于是高线可消。结合阿圆的比例，导导相似比例，同一法证证共线/共圆，圆幂可得结果。

楼上给出了一个相当简洁的做法 由于本人做法繁琐到搞笑 就不帖了 这里还是就丢一下本人用到的核心结论作为练习题
Claim2 设圆ABC AEF PDX所共点为T，则AT和EF交点在圆DPP’上，它是CPBP’的密克点

最后说一下这题怎么来的
是吧里一个陈题了 不过我想不起来题号是多少 题目如下：△ABC外心为O，取AO上一点P，作BPC CPA BPC角平分线交点交三边于DEF，A-垂足为H，证明：DHEF共圆。
首先将P沿三边反射作阿波罗尼斯圆，显然它们共点（取两圆另一交点考虑三顶点距离比），并且可以论证它恰是P关于外接圆的反演点P’。
现在用反演反射绕开角平分的交点，仅用阿波罗尼斯圆和边的交点刻画DEF。注意到事实：若两点关于一圆互为反演，那么在一个大反演下，这两个点的反演点依然关于那个圆的反演像互为反演。于是在A-反演反射下，P和P’变成了A-垂线上关于BC对称的两个点。
注意原题中PYZ外心为A，反演后YZ容易构造，并且可以用以B，C为半径的圆消去。最后就得到了本题题面