经典理论中，在同样的实验条件下观测一个系统的物理量，测量值相同。但是这只是一种近似，量子规律告诉我们，即使条件相同，测量值也是不同的。假设对一个物理量进行N次大量重复实验，测量值有n种可能，第i种出现的次数是ki，如果N充分大，那么与该物理量相关的信息至少有两种：一个是测量值本身，一般是个实数，另一个是该测量值出现的概率，也就是ki/N的极限。这是在同一个实验中告诉我们的全部信息。n种不同测量值相互独立，互不相关，因此我们将每种测量值的概率对应一条数轴，数轴上的点与具体概率相对应，显然由于互不相关，这n条数轴彼此相互正交，构成一个n维空间，实验中物理量的状态可以对应这个空间中的一个向量，这个向量由每一条数轴上的概率对应的点合成。根据n维空间勾股定理，向量与所有数轴夹角的余弦值的平方和等于1，因此，我们可以把方向余弦的平方解释为系统物理量取值的概率，这对应所有可能取值的概率之和为1，因此方向余弦就是概率幅。
也就是说，几率幅是几率平方根的原因是勾股定理。
一个数的平方根一般有两个，这两个平方根相差180度的相位。因此即使对一个实验中的物理量进行无限次重复实验仍然无法区分这两种状态，因此必须改变实验装置，用新的实验测量相同的物理量，这样这个物理量的第三个隐含信息：相位才能在不同的实验装置之间表现出来。
在这里用到了一个隐含的假设，系统的状态从状态A变到一个新的状态B，然后又变回A，这两个过程是可逆的，只有这样，系统的状态才可以用一个n维空间的向量表示，否则只能用新的方法。
假设系统有n种可能的状态，第i种变到第j种的概率是Pij，显然，当Pij不等于Pji的时候，这种n维空间中的向量方法失效。对于单个实验装置，用所有Pij组成的一个n阶矩阵就可以包含全部信息了，可是我们知道，单个实验装置无法区分一些不同的状态。必须用不同的实验从不同的角度进行分析，才会发现这些新东西。
我们可以用矩阵“平方根”来描述和区分这些不可区分的状态，也就是说，当一个矩阵的共轭转置矩阵与自身相乘得到的是Pij对应的概率矩阵，我们就说这是矩阵的平方根，它描述了一个系统状态。计算矩阵的平方根在这里变得很有意义，如今整天瞎忙没时间，等老了有时间了再把玩一下。

感觉挺有意思，精了。

没想到成精品了，感谢吧主。
早知道不牢骚最后那句了……