level 14
乌木598
楼主
常有新手贴出一个错误态（或看似错误态）的三阶魔方问有关公式，昨晚跟某帖解释了为何不能单单翻转一个角块，现在那帖子没了，莫非被系统或楼主自己删了？我还是发一帖试试解释一下三阶魔方的三种错误态吧，至少我自己不想删。
1、不可能单单交换两个块（无论角块还是棱块）。
三阶魔方的基本变化是表层一转90°（中层旋转90°就是两旁的表层反向旋转90°，属于两个基本变化叠加），表层转90°总是角块一个四轮换以及棱块一个四轮换，而任何四轮换等价于三个二交换（任何n轮换等价于n-1个二交换），所以表层转90°一共含有6个二交换，是偶数个二交换。
复原态含有0个二交换，也是偶数个；三阶魔方的任何状态都是表层旋转90°的叠加结果，偶数个二交换的叠加得到的只能是偶数个二交换；所以三阶魔方任一态都含有偶数个二交换。
所以，要求单单交换两个角块或两个棱块，就是要让魔方含有奇数个二交换，当然是不可能的。
出现了要单单交换两个块的情况，要么是错装态，比如中心块盖子错装过，后来错误转移到棱块或角块上去了；要么是异形三阶或特殊涂饰的三阶，看上去要单单交换两个块（A和B）是假象，实质或者是另有两个一样的块（C和C）也要交换一下；或者是另有一个和A或B一样的块，比如是
A，实际上要做A-B-
A的三轮换得到B-
A-A。
三阶魔方角块和棱块的位置变化都是相对于中心块组而言的，所以，如果从复原态开始，做 （比如）R F U D' L2 B2 L F' B D' B2 D B' ，结果似乎有两个棱块交换了一下，却不算错误态，因为一个正确魔方的任何正常转出态，总是正确态。这个公式的结果，四个中心块相对于角块-棱块框架也有位置变化，反过来，相对于中心块组而言，角块、棱块的位置变化并非单单两个棱块交换了一下，看上去交换了的两个棱块之一，相对于中心块组来说，还算是没有变化呢。（这个公式是三阶空心魔方公式之一，用于非空心三阶上是说明角块、棱块位置变化与中心块组的关系。）
统计三阶魔方总态数时，位置变化数是 (8!×12!) / 2，就是排除占一半的含奇数次二交换的位置变化态。
2、不可能单单翻转一个角块。
面对一个角块，沿魔方的体对角线看入时，
它的顶底色恰好向上或向下的话，它的色向为0°；
它的顶底色要逆时针旋转120°才能向上或向下，它的色向为120°；
它的顶底色要顺时针旋转120°才能向上或向下，它的色向为240°。
只有表层旋转才涉及角块，表层旋转有U U' U2 R R' R2……等18种，任一种表层转要么不改变所涉及的四个角块的原有色向（转顶和转底）；要么保持所涉及的四个角块的色向和不变，即四个角块的色向和的变化为0°。
比如，某一打乱态时，F面的四个角块的色向分别为120°，240°，0°和120°，色向和为120°（360°算作0°），分别做F，F'或F2之后，四个角块的色向有变，但是色向和总是120° ，色向和的变化总是0°。
复原态时，8个角块的色向都是0°，色向和也是0°；任何打乱态都是表层旋转叠加的结果，而任何表层旋转所涉及的四个角块的色向和的变化总是0°，所以，魔方的任何状态，8个角块的色向和总是0°。
所以，不可能单单翻转一个角块。
二阶和各高阶魔方的角块的色向变化性质也是这样。
出现了要单单翻转一个角块的情况，要么是错装态；要么是操作手法不当使某个角块就地直接扭转过；要么是异形三阶，比如粽子魔方，另有一种角块它翻转不翻转一个样，实际上是要两个角块一顺一逆翻转。
如果出现了单单两个角块都要顺时针翻转或都要逆时针翻转，等价于要单单翻转一个角块：前者等价于要单单逆翻一个角块，后者等价于要单单顺翻一个角块。
计算三阶魔方总态数时，角块色向引起的变化数为3^8 / 3，就是排除占三分之一的8角色向和为120°的状态，也排除占三分之一的8角色向和为240°的状态，留下三分之一8角色向和为0°的状态。
3、不可能单单翻转一个棱块。
三阶魔方一个棱块的色向要么是0°（正向），要么是180°（反向）。复原态时12个棱块的色向和为0°。表层旋转的前后，所涉及的四个棱块的色向和的变化总是0°。所以，三阶魔方的任何状态的12个棱块的色向和总是0°。
因此，不可能单单翻转一个棱块。
出现了要单单翻转一个棱块的情况，要么是错装态；要么是有的异形三阶魔方，另有一种翻转不翻转一个样的棱块，请它参与两个棱块的翻转工作即可。
计算三阶总态数时，棱块色向的变化数为2^12 / 2，就是排除占二分之一的12个棱块的色向和为180°的状态。
2019年05月25日 23点05分
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1、不可能单单交换两个块（无论角块还是棱块）。
三阶魔方的基本变化是表层一转90°（中层旋转90°就是两旁的表层反向旋转90°，属于两个基本变化叠加），表层转90°总是角块一个四轮换以及棱块一个四轮换，而任何四轮换等价于三个二交换（任何n轮换等价于n-1个二交换），所以表层转90°一共含有6个二交换，是偶数个二交换。
复原态含有0个二交换，也是偶数个；三阶魔方的任何状态都是表层旋转90°的叠加结果，偶数个二交换的叠加得到的只能是偶数个二交换；所以三阶魔方任一态都含有偶数个二交换。
所以，要求单单交换两个角块或两个棱块，就是要让魔方含有奇数个二交换，当然是不可能的。
出现了要单单交换两个块的情况，要么是错装态，比如中心块盖子错装过，后来错误转移到棱块或角块上去了；要么是异形三阶或特殊涂饰的三阶，看上去要单单交换两个块（A和B）是假象，实质或者是另有两个一样的块（C和C）也要交换一下；或者是另有一个和A或B一样的块，比如是
A，实际上要做A-B-
A的三轮换得到B-
A-A。
三阶魔方角块和棱块的位置变化都是相对于中心块组而言的，所以，如果从复原态开始，做 （比如）R F U D' L2 B2 L F' B D' B2 D B' ，结果似乎有两个棱块交换了一下，却不算错误态，因为一个正确魔方的任何正常转出态，总是正确态。这个公式的结果，四个中心块相对于角块-棱块框架也有位置变化，反过来，相对于中心块组而言，角块、棱块的位置变化并非单单两个棱块交换了一下，看上去交换了的两个棱块之一，相对于中心块组来说，还算是没有变化呢。（这个公式是三阶空心魔方公式之一，用于非空心三阶上是说明角块、棱块位置变化与中心块组的关系。）
统计三阶魔方总态数时，位置变化数是 (8!×12!) / 2，就是排除占一半的含奇数次二交换的位置变化态。
2、不可能单单翻转一个角块。
面对一个角块，沿魔方的体对角线看入时，
它的顶底色恰好向上或向下的话，它的色向为0°；
它的顶底色要逆时针旋转120°才能向上或向下，它的色向为120°；
它的顶底色要顺时针旋转120°才能向上或向下，它的色向为240°。
只有表层旋转才涉及角块，表层旋转有U U' U2 R R' R2……等18种，任一种表层转要么不改变所涉及的四个角块的原有色向（转顶和转底）；要么保持所涉及的四个角块的色向和不变，即四个角块的色向和的变化为0°。
比如，某一打乱态时，F面的四个角块的色向分别为120°，240°，0°和120°，色向和为120°（360°算作0°），分别做F，F'或F2之后，四个角块的色向有变，但是色向和总是120° ，色向和的变化总是0°。
复原态时，8个角块的色向都是0°，色向和也是0°；任何打乱态都是表层旋转叠加的结果，而任何表层旋转所涉及的四个角块的色向和的变化总是0°，所以，魔方的任何状态，8个角块的色向和总是0°。
所以，不可能单单翻转一个角块。
二阶和各高阶魔方的角块的色向变化性质也是这样。
出现了要单单翻转一个角块的情况，要么是错装态；要么是操作手法不当使某个角块就地直接扭转过；要么是异形三阶，比如粽子魔方，另有一种角块它翻转不翻转一个样，实际上是要两个角块一顺一逆翻转。
如果出现了单单两个角块都要顺时针翻转或都要逆时针翻转，等价于要单单翻转一个角块：前者等价于要单单逆翻一个角块，后者等价于要单单顺翻一个角块。
计算三阶魔方总态数时，角块色向引起的变化数为3^8 / 3，就是排除占三分之一的8角色向和为120°的状态，也排除占三分之一的8角色向和为240°的状态，留下三分之一8角色向和为0°的状态。
3、不可能单单翻转一个棱块。
三阶魔方一个棱块的色向要么是0°（正向），要么是180°（反向）。复原态时12个棱块的色向和为0°。表层旋转的前后，所涉及的四个棱块的色向和的变化总是0°。所以，三阶魔方的任何状态的12个棱块的色向和总是0°。
因此，不可能单单翻转一个棱块。
出现了要单单翻转一个棱块的情况，要么是错装态；要么是有的异形三阶魔方，另有一种翻转不翻转一个样的棱块，请它参与两个棱块的翻转工作即可。
计算三阶总态数时，棱块色向的变化数为2^12 / 2，就是排除占二分之一的12个棱块的色向和为180°的状态。
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