三重积分的定义和概念。
三重积分的计算。
三重积分的对称性。
a) 直角坐标系：
1) 先一后二，投影法。
2) 先二后一，截面法。
3) 三次积分法。
b) 柱坐标。
c) 球坐标。
.
二重积分的贴子链接：https://tieba.baidu.com/p/6118992094

二楼

三楼

三重积分的定义。
.

先一后二投影法。
三次积分法。
.

先二后一截面法。
.

路过，学习

柱坐标系。
其实柱坐标，本质就是投影法加上用极坐标计算二重积分。
只要会投影法，又会二重积分的极坐标，两者相加就等于柱坐标。
.

球坐标。
.

球坐标的上下限确定。
.
.
球坐标计算三重积分的步骤。
.

三重积分的对称性和轮换对称性。
.
类似二重积分的对称性。
被积区域和被积函数要同时满足条件，才能使用对称性。
一般我们不使用关于原点的对称性，因为基本用不到。
.

最简单的区域，长方体区域。
.

平面和三个坐标平面围成的封闭区域。
立体区域是个三棱锥。
平面在三条坐标轴的交点在坐标轴的正半轴上面，所以在第一卦象。
.
这种立体区域，很常见的入门题，在二重积分时，求这种立体图形的体积也是常见题型。
x+2y+z=1，令z=0就是xoy平面的投影交线，令y=0就是xoz平面的投影交线，令x=0就是yoz平面的投影交线。
交线和坐标轴围成的封闭区域就是投影区域。
.
.
这里用先z，后y，最后x的顺序。
.
.
如果要用截面法。因为此题被积函数是x，可以先yz，再x。
截面是直角三角形，y的上限在x+2y=1上面，z的上限在x+z=1上。
截面直角三角边的直角两边分别是y(max)和z(max)。
所以截面直角三角形的面积dydz等于 1/2 * y * z = 1/2 * (1-x)/2 * (1-x)
.

三维立体图不会画，不要紧，但是要能画出投影的二维区域图，然后找到上底面和下底面。
.
y=0, 3x+y=6, 3x+2y=12 里面都没有z，所以垂直于xoy平面。
所以此题投影到xoy平面，会容易计算。
投影到xoy平面的交线，就是他们三个的方程。
画出xoy二维平面区域图，这三条交线围成了封闭区域。
然后一个底面确定，就是z=0。
另一个底面就是x+y+z=6。
又因为在封闭区域内部，x+y+z-6>0，所以这个面在上方，是上底面。所以z=0就是下底面。
.
最后的xoy平面二重积分区域，用Y型区域只有一个区域。
.

y=sqrt(x), y=0, 这两个不含z，在xoy平面的投影就是他们的方程。
x+z=π/2 和xoy平面的交线，就是令z=0得到。
x=π/2 和上面的两条交线，构成一个封闭区域。
然后z=0是下底面，x+z=π/2是上底面。
画出xoy平面的二重积分区域图，然后再斜着放一个过直线x=π/2的平面，就是立体图形。
.