V是n维线性空间,f,g是V上的线性变换(即f,g∈End(V)),f有n个互异的特征值.令E表示恒等变换.证明：
fg=gf的充要条件是:g是E,f,f²,...,f^(n-1)的线性组合.

<== 太简单了 一眼看出来
==> f有n个互异特征值 且 fg=gf ==>   f在一组基下是对角形的,g在这组基下也是对角形的 (这是因为如果对角矩阵且对角元素不相同,那么与它可交换的一定也是对角矩阵) 记f在这组基下的矩阵为F=diag(v1,v2,...,vn) ,g在这组基下的矩阵为G G=diag(u1,u2,...,un)
考虑线性方程组:
(1,vk,vk^2...,vk^(n-1))*(a0,a1,...a(n-1))的转置=uk (k=1,2..n) 它的系数行列式是vendermonde行列式不为0,因此(a0,a1,...a(n-1))有解 记以它为系数的多项式为h(x) (n-1次的) 不难验证G=diag(h(v1),h(v2),...h(vn)) ==> g=h(f) 得证