吧里不少人想方设法创造出超越葛立恒数的数，却在构造时陷入了误区，总是离不开乘方、阶乘这类运算，于是楼主就把这些年来研究大数构造的一些心得发表出来，希望能帮助大家成功构造出超越葛立恒数的数。
这篇帖子的内容主要是：
1.构造大数的几个思考方向
2.介绍楼主自己创造的一种大数表示法
3.看看这个表示法能表示比葛立恒数大多少的数字
一、想构造大数，应该往什么方向去想？
核心：提高表示法表示数字的能力，用更简短的式子表示更大的数
1.使用更高级别的“计数器”
高德纳箭号能表示出巨大的数，就在于它把运算级别扩展到了3以上，而运算级别中蕴含着计数的思想，首先来看一看加法、乘法和乘方：
a×b=a+a+a+…+a，式子的右边进行了b-1次加法的操作，而左边仅用一个×b就把它表达出来了，这个b可以看做是一个计数器，表示一共有多少个a相加，因此乘法能把一串很长的和式缩在一起，用更少的符号表达出更大的数字，这便是乘法比加法表示数字的能力更大的原因.
类似的，a^b= a×a×…×a×a，这里的b又是一个计数器，表示乘数的数量，因此乘方又比乘法表示数字的能力大
因此，在高德纳箭号中，a↑↑↑b=a↑↑a↑↑a↑↑⋯↑↑a，式子的左边是第五级运算，右边是第四级运算，左边的b作为第四级中a的计数器，起到把式子缩短的作用.
综上我们可以看出，运算级别的增加，可以让我们利用更短的式子表达出更大的数，表示数字的能力便提升了.
2.充分地迭代
假如你成功地构造出了一个增长得很快的函数，姑且记作g(x)，那么你该怎样做才能构造出增长得更快的函数呢？如果这个函数增长得比加法、乘法、乘方……更快，那么最有效的让数字增大的办法办法是利用这个g(x)，让它自己迭代多次(可以设一个计数器来统计迭代的次数，从而缩短式子）. 自然数阶段的FGH正是靠着不停地迭代，才拥有与高德纳箭号相媲美的增长率.
3.对角化（以小换大，以静换动）
对角化这个概念定义在矩阵上，后来Bachmann把它引入了大数表达中，不过意思好像变了不少。通俗的说，对角化就是把某些符号和数相互替换的操作。在FGH中，把ω换成自变量就是对角化；在超阶乘数阵中，“[1]”替换成感叹号之前的数，也是对角化。对角化也是缩短式子的一种好方法，不论数有多么大，写起来多么长，都可以用一个固定的、简短的记号来替换。
二、楼主自己创造的大数表示法：简单迭代数阵
一个完整的结构大概像这样：n | [A,B,C,D,…] 或 n | k（n和k为非负整数）
其中n姑且称为基数，[A,B,C,D…]称为数阵，数阵中每一个用逗号隔开的东西称为项
项可以是一个数，也可以是一个数阵，
例如“6 | 8”，“3 | [3,5,6,9]”，“15 | [12,17,[6,3,1],[2]]”都是合法的表达.
先说几个记号：
固定用n表示基数；上标表示迭代次数，而不是指数；
符号"@"可以表示任何东西，也可以什么都不表示，给"@"带下标只是为了区分不同的“任意部分”；
符号"#"只能表示若干个0组成的序列，例如“0,0,0”，也可以什么都不表示，下标的作用同"@".
规则如下，一共6条规则（贴吧里打不出上下标，便以图代文）：
这个表示法怎样用上了上面那三种构造大数的方法呢？
看规则2，k每增1，就相当于把原来的式子作为一个函数迭代了n次，在这里n既是参与迭代的初始数字，也是迭代次数的计数器，这就省去了一个计数器。
规则3体现了对角化的方法，基数再大，到了“|”符号右边也只变成一对方括号。
规则4是化简式子的规则。
规则5是专门用来折叠式子的，基数是“有多少个式子被折叠”的计数器，每一个数阵中的最右边一项是“这个式子被折叠了多少次”的计数器。
规则6决定整个表示法表示数字能力的大小。这条规则是数阵内部的嵌套折叠，迭代位左边一项，是一个折叠次数的计数器
PS. 关于规则6，楼主想了很久。其实楼主想过一个更强的规则，可以让这个表示法的极限增长率超过TREE函数、SCG函数、鸟之记号乃至超阶乘数阵。然而它需要几个子规则的辅助才能发挥效用，所以楼主干脆采用一个较弱但简洁一些的规则。
三、楼主这个表示法的分析
（全程借用FGH）
n|0的增长率是0；
n|1 = ((…((n|0)|0)|0…)|0)|0=2n，增长率为1；
n|2相当于把n|1迭代n遍，增长率为2；
n|k增长率恰好为k；
n|n=n|[0]，增长率为ω，达到了高德纳箭号的极限；
n|[0]1相当于把n|[0]迭代n次，增长率为ω+1，同葛立恒函数G(n)相当；
因此葛立恒数G64小于64|[0]1，更严格地说，介于5|[0]1和6|[0]1之间。
这个表示法还可以表示更大的数：
n|[0][0]=n|[0]n，增长率为ω×2；
n|[0][0][0]=n|[0][0]n，增长率为ω×3；
n|[1]=n|[0][0]…[0]，增长率为ω^2，达到了不带下标的康威链式箭号的极限；
n|[2]=n|[1][1]…[1]，增长率为ω^3，达到了带下标的康威链式箭号的极限；
n|[n]=n|[[0]]，增长率为ω^ω，达到了BEAF和鸟之记号线性数阵的极限。
好啦，接下来逗号就可以用上了
逆用规则4，n|[[…[0]…]]（嵌套n层）=n|[0,[0,[0,[…[0,0]…]]]（嵌套n层）
再逆用规则6，原式=n|[1,0]，这个式子增长率为ε(0)，和古德斯坦数列、长蛇函数相当；
继续往下，n|[2,0]=n|[1,[1,[1,[…[1,0]…]]]，增长率是ε(1)
n|[3,0]=n|[2,[2,[2,[…[2,0]…]]]，增长率是ε(2)
n|[n,0]=n|[[1],0]增长率是ε(ω)
《大数入门》里，E#系统最大已命名的数字是Great and Terrible Tethrathoth，也不过相当于(100 | [[0],0] ) | [[0],0]而已
n|[1,0,0]增长率是ζ(0)，n|[1,0,0,0]增长率是η(0)，
最终，表示法的极限增长率是ϕ(ω,0)，很可惜，还是没碰到TREE(3)

好像φ（ω,0）=Γ0

n＆n&n…&n,从头有n个，它的增长率为ω↑ω+1吗？

看不懂

楼主，有一个很让我困惑的问题，乘方以及更高级运算都是不满足交换律的，而乘法和加法运算都满足交换律，造成这种差异的本质原因是什么？

这个是代数系统性质的问题了，实数和加法构成阿贝尔群，和乘法又构成环，这两个代数系统有这样的性质。这些是离散数学方面的内容，具体我还未研究过，抱歉不能解决你的问题了

谢谢楼主，简单的说乘法比加法高一级，乘方比乘法高一级会有点问题。
因为有幂函数这么一个怪胎存在，幂函数是乘方运算，增长率超过一切乘法函数，但乘法函数和幂函数的增长率却都近似为1，和指数函数的增长率差一个等级。

我在网上看到一种说法，乘方之所以不满足交换律是因为它的定义与乘法有区别。
乘法的定义：a×b=a+a×(b-1)
上面的减号是加号的逆运算，所以式子里有加号和乘号两种运算符。
乘方的定义：a^b=a×a^(b-1)
这个式子里同样也有减号，所以式子里有三种运算符：加号、乘号、乘方号，因为运算符的种类更多，所以定义与乘法的定义不一致。

根本看不懂好吧 所以说到底比一个算法的大小还是看增长率大小吧 所以增长率大小又是怎么算出来的或者定义的 为什么增长率大小也有极限值

BHO应该等于ψ(Ω↑↑ω)

就是从这里得来的。

精致基数Y在哪个层次

一个疑问，为什么n(4)会被认为是TREE(3)的一个极弱的下限？是否在当时还没有更高的下限被计算出来，所以只能暂时把n(4)看作下限？楼主能不能考证一下。

如何构造出超过TREE(3)的大数

康威链式箭头