level 6
n为偶数时，(sinx)'n的定积分为[(n-1)/n][(n-3)(n-2)]...(3/4)(1/2)(pi/2)
2009年04月13日 23点04分
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level 6
下面用数学归纳法对其证明，用§表示积分符号。
(1)n=2,§(sinx)'ndx=(1/2)§(1-cos2x)dx=(1/2)(pi/2)+(1/4)sin2x=(1/2)(pi/2)\(pi/2,0)(PS:是(0,pi/2)的积分
2009年04月13日 23点04分
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level 6
(2)假设当n=2k时，等式成立，即§(0,pi/2)(sinx)'(2k)dx=[(2k-1)/2k][(2k-3)/(2k-2)...(3/4)(1/2)(pi/2)
2009年04月13日 23点04分
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level 6
当n=k+1时设§(0,pi/2)(sinx)'ndx=a_n
则a_(2k+2)=§(pi/2,0)(sinx)'(2k+2)dx=§(pi/2,0)(sinx)'(2k+1)xd(-cosx)
2009年04月13日 23点04分
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level 6
=(2k+1)§(pi/2,0)(sinx)'(2k)dx-(2k+1)§(pi/2,0)(sinx)'(2k+2)dx=(2k+1)a_(2k)-(2k+1)a_(2k+2)
2009年04月13日 23点04分
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level 6
移项合并可得，a_(2k+2)=(2k+1)(a_2k)/(2k+2)={[2(k+1)-1]/[2(k+1)][(2k-1)/(2k)]...(3/4)(1/2)(pi/2)
综上所述，命题成立
2009年04月13日 23点04分
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level 6
额，将就下啦，手机功能有限，§表示积分符号，x'n表示x的n次方
2009年04月14日 02点04分
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