首先，我们都知道对于数列1∧2+2∧2+..+n^2，有这么一个公式(如图1)
对于它是如何得出的，
lz
是用数归证明的...但是数归这东西只能证明不能猜想，这是令人很烦人的一点。
还有一种证明方法，用到了立方差公式。(不得不说那种方法很不错...)
然而lz今天中午突发奇想，用一种比较奇怪的方法得出了这个结果。
比较有意思的是，这个方法可以推广到n次幂。立方和与四次方和都有效。
(不知道以前有没有人推过这个东西...就权当水个贴好了
首先我们构造一个等比数列x^n.我们可以很容易地得到它的前n项和公式:(如图2)
现在我们对x求一次导，左边变成了:(如图3)
左边求了导，右边也求一次导。(如图4)
然后左边如果乘以x之后再求一次导，就会变成:(如图5)
右边也对x求一次导，右边就会变成:(如图6)
显然此时左右两边令x=1，左边就是平方和数列的前n项和，右边就是我们要得到的式子了。然而很令人头疼的一点是右边的那个式子里，x是不能取1的。
所以该怎么办？
emm，洛必达大法好。我们试一下用洛必达对右边求极限:(如图7)
(具体怎么算的，我算了一个中午来着...交给MMA之后就是这个结果，要求三次导)
我们似乎得出了和图1一样的结果
我们再重复一次刚才的操作:左右两边乘以x，求导之后取极限:(如图8)
没错，这是立方和数列的前n项和公式。
因此我们可以放心大胆地猜想一下，m次幂的前n项和公式都可以这么求出。图⑨给出了四次方正整数列的前n项和求和公式。(也是用MMA算的)
以上，水贴结束。
若有错误欢迎指正w

由于是手机发的排版瞎眼十分抱歉

真是个机智的方法要比差分来得开心

既然是水贴那帮顶一下

水贴果然没人回
其实我们可以证明它是一个n+1次多项式，再用待定系数法
139曾经是用组合数公式求的，或许lz您可以再了解下欧拉-麦克劳林求和公式

直接待定系数貌似可以得几个比较好玩的等式

之前有一个高三大佬，自己用组合数推出了伯努利不等式，可以参考他的（一片澄海）

楼主也是用了心的

厉害

这个呢1+2^k
+3
^k+……+n^k=?

阿贝尔变换了解一下

排列组合证明更方便

我发现可以把这个级数转化成一个上三角的方阵，然后化成一个f(n)减去比他低一个指数级别的幂数列的二重连加