无意发现的圆锥曲线的笛沙格定理 - 几何吧

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不知道3254 楼主

这几天在想三角形的笛沙格定理可以解释为空间上三棱锥穿透两相交（或平行）平面，那么如果是圆锥或椭圆锥呢？把三角形的边类比为锥线的切线，空间上理应得到同样的效果，试了一下，没想到真的可行，将空间上的射影到平面即可

2017年09月01日 00点09分 1

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反恶联盟小白

投杂志里试试

2017年09月01日 06点09分 2

不知道3254

没大量事实根据，不能说自己第一个发现，只是自己发现，所以单纯阐述一个可能早已存在的理论不但没有含金量还可能会被追究责任 [捂嘴笑]

2017年09月01日 07点09分

我要弄死tfboys

@不知道3254

2017年09月01日 14点09分

level 10

不知道3254 楼主

结论2：过两圆锥曲线公切线交点T引直线分别交两曲线之交点处切线交点连线过T点，如图切线交点M、N过T
这个可以这样解释：两相交于直线TMN的平面切顶点为T的圆锥侧面于直线TAA'、TBB'，分别用空间上的平面A'B'N和平面ABM切圆锥面，得到的图的直观射影就是此图（注：即使TAA'与TBB'不重合结论同样成立）

2017年09月01日 15点09分 3

不知道3254

椭圆锥面也可以

2017年09月01日 15点09分

level 10

不知道3254 楼主

用空间模型解决是再直观不过的了，两结论无非都是对顶圆锥面被两平面所切再被两截面所截得到的立体模型的直观射影，只不过结论1的笛沙格共线是模型中截面之交线，结论2中的共线是切面之交线

2017年09月01日 15点09分 4

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无情天魔精致

首先要做出两个圆锥曲线的透视中心，也就是公切线。
你会吗？

2017年09月02日 09点09分 5

不知道3254

我只能做出相交情况的，另外此贴只是讨论一组空间模型在平面上的直观射影，并不涉及探讨两锥线公切线做法，您可以查阅一下相关文献也许有帮助

2017年09月02日 12点09分

level 10

不知道3254 楼主

我只想出了做锥线相交时的透视中心，在交点AB所在直线上取两点别分做两锥线的切线（尺规的话，用配极性质即可）连接两切点（交错切点）构成两直线的交点就是两锥线的头透视中心T
@
无情天魔精致

2017年09月02日 12点09分 6

不知道3254

不过也非常感谢楼上的兄弟，这么做的原理刚好是圆锥曲线的笛沙格逆定理，两锥线交点连线AB就是两锥线所在截面的交线，过此线上点的平面圆锥面切于一条母线，同理找到另一条切线母线二者相交即圆锥顶点，也即透视中心T

2017年09月03日 05点09分

不知道3254

突然觉得这里不用取两个点，取一个做出四条切线，每两交错切点连线的交点即透视中心T

2017年09月03日 11点09分

不知道3254

如果能找出两相离锥线类似两圆的根轴，那么两个透视中心就都能做出来了

2017年09月03日 11点09分

level 10

不知道3254 楼主

配极性质的立体模型解法：
如图两相交平面①②切顶点为T的圆锥面于TA、TB，用平面③截模型得到圆锥曲线c，平面③交平面①于PA，交平面②于PB（P为平面③与平面①②之交线的交点，A、B分别为平面③与平面①、②和圆锥面切线的交点），当TA与TB在我们视线中重合时的这种情况就是配极的一种性质
而TA、TB重合只是我们视角变换时的特例，我们看到的此模型二者多数是不重合的，如下