最近复习电动力学所发现的问题，可能应该算是数学问题，希望大家多多指教讨论！本问题出自郭硕鸿《电动力学》第二版，95页第8题。有这本书的吧友可以查看一下原题。（图为该书的封面。）

以下为原题目

问题就出自于这道题目所给出的提示部分。

貌似的确不怎么严密，我在蔡圣善的《电动力学》上看到的一个有类似计算的题目当中，就把r'
r的情况分开讨论，正如楼上给出的那样。

我也记得好像条件有点问题。不过很久不记得了！

To5L,依据原题目是能解出答案的，题目本身没有什么问题，但是提示的部分我不是很清楚是不是应该像我写的那样讨论。

提示中式子的收敛没有任何问题。查了下书，你抄录的式子中的Legendre多项式P(x)应为Pn(x)(n为下标）。如果用达郎贝尔比值收敛法，还必须考虑P(n+1)(x)和Pn(x)在n趋近无穷大时比值。实际上，达郎贝尔比值收敛法只对正项级数成立，而Legendre多项式对于不同n的取值并非完全正的，所以达郎贝尔判别法在这里不成立。

写错个字，“达郎贝尔”应为“达朗贝尔”。

To7L,关于D’Alembert比值审敛法的问题可以见本楼的图。将Legendre母函数的展开设成正向数级仅仅是为了讨论简便。

To7L,对于函数级数形式的展开的收敛问题，我觉得还应该加上限制条件，可以看看本楼的一个级数展开的例子。

有了10L的例子，再回过来看一开始的2L的题目。

还请继续讨论！

嗯，LZ的判断没有错，的确书中的式子，不等号反了。Jackson 经典电动力学上册102页，可以找到原式。

谢谢LS的参与，不过很遗憾的是我没有Jackson 经典电动力学的相关资料，电动力学的书籍现在手边只有两本国内的版本，其中一本是郭硕鸿的。

好象3楼第4行的母函数有误.分母应该改为....√[1+t^2-2xt].....(1)令...1+t^2=a^2+R^2....(2)则母函数分母(1)式可以改写成...√[a^2+R^2-2aRx]...(3)上式a与R完全对称,按a/R或按R/a展开应该完全一样.至于对a,R做什么解释与我们问题无关.另外当参数x=1时a=R时3)式为零,即a=R是母函数的奇点.因此将来展开式的收敛半径就是a/R=1(或R/a=1)理由是:幂级数收敛半径等于原点到最邻近奇点的距离.物理上把按a/R展开称为在球内展开,相当于数学上(3)式按a展开;按R/a展开称为在球外展开,相当于数学上(3)式按R展开.

灌水

To16L,好象3楼第4行的母函数有误.分母应该改为 ....√[1+t^2-2xt].....(1) 令...1+t^2=a^2+R^2....(2) 则母函数分母(1)式可以改写成...√[a^2+R^2-2aRx]...(3) -----------------------------这个没错，是我在t上少打了一个平方。你写到最后能否直接指名是否认同我给出关于展开式中t的范围以及（a/R）在不同形式下展开时，a与R的关系？

你的说明是合理的.3楼最后两个式子对,原书确实有不当之处.

题目早就做过，但没楼主那么细心，没发现这个问题。感谢楼主的提问以及各位吧友的发言，受教了。

我也是复习的时候偶然发现了这个问题。谢谢各位参与讨论！