先说明不完全是独立创造，参考了各位老师同学的各种意见。
其次因为是自己一步一步推导的，大家轻喷。
下面开始：
通项=(an+b)p^n（因为写an会混淆就这样了，an全部代表a乘以n）
Sn=第一项+第二项+第三项+…+第n项
=(a+b)p^1+(2a+b)p^2+(3a+b)p^3+......+(an+b)p^n.......................................①
同乘公比 得 丨 丨 ............
pSn= 0 + (a+b)p^2+(2a+b)p^3+(3a+b)p^4+......+(an+b)p^(n+1)..............②
①—② 得
(1-p)Sn=(a+b)p^1+[(2a+b)- (a+b)]p^2+...+{(an+b)-[a(n-1)+b]}p^n-(an+b)p^(n+1)
=
bp
+ap+ap^2+ap^3+...+ap^n-(an+b)p^(n+1)
为了方便查看，左右同乘-1 得
(p-1)Sn=(an+b)p^(n+1)-a(p+p^2+p^3+...+ap^n)-bp
对”a(p+p^2+p^3+...+ap^n)“使用等比数列前n项和公式 得
(p-1)Sn=(an+b)p^(n+1)-a*{[p(1-p^n)]/(1-p)}-bp
等比公式把1-p变成p-1 得
(p-1)Sn=(an+b)p^(n+1)-a*{[p(p^n-1)]/(p-1)}-bp
两边同乘p-1 得
[(p-1)^2]Sn=(an+b)(p-1)p^(n+1)-a*[p(p^n-1)]-bp(p-1)
=(an+b)(p-1)p^(n+1)-a*p^(n+1)+ap-bp^2+bp
=[(an+b)(p-1)-a]p^(n+1)-p(-a-b+bp)
=[(an+b)(p-1)-a]p^(n+1)-p[b(p-1)-a]
两边同除以p-1 得
(p-1)Sn=[(an+b)-a/(p-1)]p^(n+1)-p[b-a/(p-1)]
令A=a/(p-1) 得 a=A(p-1) 代回上式可得
(p-1)Sn={[A(p-1)n]+b-A}p^(n+1)-p(b-A)
两边同除以p-1 得
Sn={An+[(b-A)/(p-1)]}p^(n+1)-p[(b-A)/(p-1)]
又令B=(b-A)/(p-1) 得
Sn=(An+B)p^(n+1)-Bp
结束
PS：最好自己在纸上再写一遍体会下，数学的公式都是相当难背的……

不求别的，大家如果有用就最好了

以前推了一点简单形式的，刚开始挺好用做做样子直接写答案←_←现在记不住了