ILCYX ILCYX
关注数: 2 粉丝数: 23 发帖数: 529 关注贴吧数: 41
【数学】错位相减法的一般公式(附证明) 先说明不完全是独立创造,参考了各位老师同学的各种意见。 其次因为是自己一步一步推导的,大家轻喷。 下面开始: 通项=(an+b)p^n(因为写an会混淆就这样了,an全部代表a乘以n) Sn=第一项+第二项+第三项+…+第n项 =(a+b)p^1+(2a+b)p^2+(3a+b)p^3+......+(an+b)p^n.......................................① 同乘公比 得 丨 丨 ............ pSn= 0 + (a+b)p^2+(2a+b)p^3+(3a+b)p^4+......+(an+b)p^(n+1)..............② ①—② 得 (1-p)Sn=(a+b)p^1+[(2a+b)- (a+b)]p^2+...+{(an+b)-[a(n-1)+b]}p^n-(an+b)p^(n+1) =bp+ap+ap^2+ap^3+...+ap^n-(an+b)p^(n+1) 为了方便查看,左右同乘-1 得 (p-1)Sn=(an+b)p^(n+1)-a(p+p^2+p^3+...+ap^n)-bp 对”a(p+p^2+p^3+...+ap^n)“使用等比数列前n项和公式 得 (p-1)Sn=(an+b)p^(n+1)-a*{[p(1-p^n)]/(1-p)}-bp 等比公式把1-p变成p-1 得 (p-1)Sn=(an+b)p^(n+1)-a*{[p(p^n-1)]/(p-1)}-bp 两边同乘p-1 得 [(p-1)^2]Sn=(an+b)(p-1)p^(n+1)-a*[p(p^n-1)]-bp(p-1) =(an+b)(p-1)p^(n+1)-a*p^(n+1)+ap-bp^2+bp =[(an+b)(p-1)-a]p^(n+1)-p(-a-b+bp) =[(an+b)(p-1)-a]p^(n+1)-p[b(p-1)-a] 两边同除以p-1 得 (p-1)Sn=[(an+b)-a/(p-1)]p^(n+1)-p[b-a/(p-1)] 令A=a/(p-1) 得 a=A(p-1) 代回上式可得 (p-1)Sn={[A(p-1)n]+b-A}p^(n+1)-p(b-A) 两边同除以p-1 得 Sn={An+[(b-A)/(p-1)]}p^(n+1)-p[(b-A)/(p-1)] 又令B=(b-A)/(p-1) 得 Sn=(An+B)p^(n+1)-Bp 结束 PS:最好自己在纸上再写一遍体会下,数学的公式都是相当难背的……
1 下一页